Страница 172, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Запишите общую формулу корней квадратного уравнения.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

1.

Квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a$, $b$, и $c$ — заданные числовые коэффициенты, причём $a \neq 0$.

Для нахождения корней этого уравнения используется общая формула. Процесс решения обычно состоит из двух шагов.

Шаг 1: Вычисление дискриминанта.

Дискриминант, обозначаемый буквой $D$, является ключевым элементом, который определяет количество действительных корней уравнения. Он вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

В зависимости от знака дискриминанта возможны три ситуации:

- Если $D > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня.

- Если $D = 0$, то уравнение имеет один действительный корень (также говорят о двух совпадающих корнях).

- Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.

Шаг 2: Применение общей формулы корней.

Если дискриминант неотрицателен ($D \geq 0$), корни уравнения ($x_1$ и $x_2$) находятся по следующей общей формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Если подставить в эту формулу выражение для дискриминанта, она примет свой полный вид, который и является общей формулой корней квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Знак "$\pm$" указывает на то, что для нахождения двух корней необходимо выполнить два вычисления: одно со знаком "плюс" перед корнем, а другое — со знаком "минус".

Ответ: Общая формула корней для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \neq 0$) имеет вид: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

2. Какую формулу удобно использовать при решении квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, если $b = 2k$?

Для решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ в случае, когда коэффициент $b$ является четным числом, то есть $b = 2k$ для некоторого числа $k$, удобно использовать специальную, упрощенную формулу. Эту формулу можно вывести из стандартной формулы корней квадратного уравнения.

Стандартная формула корней имеет вид: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Произведем подстановку $b = 2k$:
$x_{1,2} = \frac{-(2k) \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a}$
Упростим подкоренное выражение (дискриминант $D$):
$D = (2k)^2 - 4ac = 4k^2 - 4ac = 4(k^2 - ac)$
Подставим это обратно в формулу для корней:
$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4(k^2 - ac)}}{2a} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a}$
Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим его со знаменателем:
$x_{1,2} = \frac{2(-k \pm \sqrt{k^2 - ac})}{2a} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Полученная формула удобна тем, что оперирует с меньшими числами (с коэффициентом $k = b/2$ вместо $b$ и с выражением $k^2 - ac$ вместо полного дискриминанта $b^2 - 4ac$), что упрощает ручные вычисления и снижает риск арифметических ошибок.

Ответ: Если в квадратном уравнении $ax^2 + bx + c = 0$ коэффициент $b$ четный, то есть $b=2k$, удобно использовать формулу корней с четным вторым коэффициентом:
$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.

3. Решите уравнение $x^2 - 2x - 120 = 0$ двумя способами:

a) по общей формуле (1);

б) по более простой формуле (3).

В чём вы видите преимущества второго способа?

а) по общей формуле (1);

Дано квадратное уравнение $x^2 - 2x - 120 = 0$. Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -2$, $c = -120$.

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения использует дискриминант $D$.
Сначала вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Найдем значение $\sqrt{D}$: $\sqrt{484} = 22$.
Теперь вычислим корни:
$x_1 = \frac{-(-2) + 22}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 22}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$x_2 = \frac{-(-2) - 22}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 22}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Ответ: $x_1 = 12, x_2 = -10$.

б) по более простой формуле (3).

Эта формула используется, когда второй коэффициент $b$ является четным числом. В нашем уравнении $b = -2$, что является четным числом.
В этом случае можно использовать формулу с коэффициентом $k = \frac{b}{2}$.
$k = \frac{-2}{2} = -1$.

Формула для корней через коэффициент $k$: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$.
Выражение под корнем, $D_1 = k^2 - ac$, иногда называют "четвертью дискриминанта" ($D_1 = D/4$).
Вычислим $D_1$:
$D_1 = (-1)^2 - 1 \cdot (-120) = 1 + 120 = 121$.

Найдем значение $\sqrt{D_1}$: $\sqrt{121} = 11$.
Теперь вычислим корни:
$x_1 = \frac{-(-1) + 11}{1} = 1 + 11 = 12$.
$x_2 = \frac{-(-1) - 11}{1} = 1 - 11 = -10$.

Ответ: $x_1 = 12, x_2 = -10$.

В чём вы видите преимущества второго способа?

Преимущества второго способа (использование формулы для четного второго коэффициента) заключаются в упрощении вычислений, что делает решение более быстрым и менее подверженным ошибкам.

1. Работа с меньшими числами. Все вычисления производятся с меньшими по абсолютной величине числами. Например, при вычислении дискриминанта мы работали с числами $1$ и $120$, получив в итоге $121$, вместо того чтобы работать с $4$ и $480$ и получить $484$. Извлекать квадратный корень из $121$ проще, чем из $484$.

2. Снижение вероятности ошибки. Упрощение арифметических операций и работа с меньшими числами значительно снижают вероятность допустить вычислительную ошибку.

3. Более простая финальная формула. В знаменателе формулы для корней стоит $a$ вместо $2a$. Это часто позволяет избежать последнего шага — сокращения дроби. В первом способе нам пришлось сокращать дроби $\frac{24}{2}$ и $\frac{-20}{2}$, а во втором способе мы сразу получили целочисленные ответы, так как знаменатель был равен 1.

Ответ: Преимущества второго способа в том, что он упрощает арифметические расчеты за счет работы с меньшими числами, что снижает вероятность ошибок и часто позволяет получить ответ без дополнительного сокращения дроби.

30.12 Из села в город одновременно отправились автомобилист и мотоциклист. Расстояние от города до села 90 км. С какими скоростями двигались автомобиль и мотоцикл, если автомобилист прибыл в город на полчаса раньше, чем мотоциклист, а скорость его была на 15 км/ч больше?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть скорость мотоциклиста равна $x$ км/ч. Так как скорость автомобилиста на 15 км/ч больше, она составляет $(x + 15)$ км/ч.

Расстояние от села до города равно $S = 90$ км. Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое потратил мотоциклист: $t_м = \frac{90}{x}$ ч.

Время, которое потратил автомобилист: $t_а = \frac{90}{x+15}$ ч.

По условию, автомобилист прибыл в город на полчаса (0,5 ч) раньше, чем мотоциклист. Это означает, что время мотоциклиста больше времени автомобилиста на 0,5 часа. Составим уравнение:

$t_м - t_а = 0.5$

$\frac{90}{x} - \frac{90}{x+15} = 0.5$

Теперь решим это рациональное уравнение. По смыслу задачи скорость $x$ должна быть положительной, то есть $x > 0$. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+15)$:

$\frac{90(x+15) - 90x}{x(x+15)} = 0.5$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{90x + 1350 - 90x}{x^2 + 15x} = 0.5$

$\frac{1350}{x^2 + 15x} = 0.5$

Используя основное свойство пропорции, получим:

$1350 = 0.5 \cdot (x^2 + 15x)$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$2700 = x^2 + 15x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 15x - 2700 = 0$

Решим полученное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2700) = 225 + 10800 = 11025$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{11025} = 105$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-15 + 105}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$x_2 = \frac{-15 - 105}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость мотоциклиста равна 45 км/ч.

Теперь найдем скорость автомобилиста:

$x + 15 = 45 + 15 = 60$ км/ч.

Проверим результат. Время мотоциклиста: $t_м = 90 / 45 = 2$ часа. Время автомобилиста: $t_а = 90 / 60 = 1.5$ часа. Разница во времени $2 - 1.5 = 0.5$ часа. Условие выполнено.

Ответ: скорость автомобилиста — 60 км/ч, скорость мотоциклиста — 45 км/ч.

30.13 Автобус-экспресс отправился от автовокзала в аэропорт, находящийся от автовокзала на расстоянии 40 км. Через 10 мин вслед за автобусом выехал пассажир на такси. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости такси и автобуса, если в аэропорт они прибыли одновременно.

Пусть $v_б$ км/ч — скорость автобуса, тогда, согласно условию, скорость такси равна $(v_б + 20)$ км/ч. Расстояние, которое они должны проехать, составляет $S = 40$ км.

Время, которое автобус-экспресс затратил на весь путь, вычисляется по формуле $t = S/v$. Таким образом, время автобуса: $t_б = \frac{40}{v_б}$ часов.

Аналогично, время, которое такси затратило на тот же путь: $t_т = \frac{40}{v_б + 20}$ часов.

В задаче сказано, что такси выехало на 10 минут позже автобуса и они прибыли в аэропорт одновременно. Это означает, что время в пути у такси было на 10 минут меньше, чем у автобуса. Прежде всего, переведем 10 минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы: $10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$.

Теперь можно составить уравнение, отражающее разницу во времени движения: $t_б - t_т = \frac{1}{6}$

Подставим в это уравнение выражения для времени автобуса и такси: $\frac{40}{v_б} - \frac{40}{v_б + 20} = \frac{1}{6}$

Для решения этого дробно-рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_б(v_б + 20)$: $\frac{40(v_б + 20) - 40v_б}{v_б(v_б + 20)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его: $\frac{40v_б + 800 - 40v_б}{v_б^2 + 20v_б} = \frac{1}{6}$ $\frac{800}{v_б^2 + 20v_б} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»): $1 \cdot (v_б^2 + 20v_б) = 800 \cdot 6$ $v_б^2 + 20v_б = 4800$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v_б^2 + 20v_б - 4800 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать формулу для корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Теперь найдем корни уравнения $v_б = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $v_{б1} = \frac{-20 + \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$ $v_{б2} = \frac{-20 - \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Поскольку скорость транспортного средства не может быть отрицательной величиной, корень $v_{б2} = -80$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, скорость автобуса $v_б = 60$ км/ч.

Теперь найдем скорость такси, которая на 20 км/ч больше скорости автобуса: $v_т = v_б + 20 = 60 + 20 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса-экспресса составляет 60 км/ч, а скорость такси — 80 км/ч.

30.14 Колонне автомашин было дано задание перевезти со склада в речной порт 60 т груза. В связи с неблагоприятной погодой на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, и поэтому колонну дополнили ещё четырьмя машинами. Сколько машин было в колонне первоначально?

Пусть $x$ — первоначальное количество машин в колонне. Согласно плану, каждая машина должна была перевезти $\frac{60}{x}$ тонн груза.

В связи с неблагоприятной погодой фактическая загрузка каждой машины составила $(\frac{60}{x} - 0.5)$ тонн, а количество машин увеличилось до $(x+4)$.

Так как общий вес перевезенного груза остался равен 60 тоннам, мы можем составить уравнение, приравняв произведение нового количества машин на их новую загрузку к общему весу груза:

$(x + 4) \cdot (\frac{60}{x} - 0.5) = 60$

Для решения уравнения раскроем скобки. Учитываем, что по условию задачи $x > 0$.

$x \cdot \frac{60}{x} - x \cdot 0.5 + 4 \cdot \frac{60}{x} - 4 \cdot 0.5 = 60$

$60 - 0.5x + \frac{240}{x} - 2 = 60$

Приведем подобные слагаемые и вычтем 60 из обеих частей уравнения:

$-0.5x + \frac{240}{x} - 2 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на $x$:

$-0.5x^2 + 240 - 2x = 0$

Умножим уравнение на $-2$, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения с целыми коэффициентами:

$x^2 + 4x - 480 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 16 + 1920 = 1936$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{1936}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 44}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{1936}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 44}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Поскольку количество машин не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -24$ не является решением задачи. Следовательно, первоначально в колонне было 20 машин.

Ответ: 20.

30.15 Моторная лодка прошла 5 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 1 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость движения лодки по течению реки.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость движения лодки по течению реки. Тогда собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна разности скорости по течению и скорости течения: $v_{собст} = (x - 3)$ км/ч. Скорость лодки против течения, в свою очередь, равна разности собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{против} = v_{собст} - 3 = (x - 3) - 3 = (x - 6)$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, можно найти по формуле $t = S/v$. Оно составляет $t_{по} = \frac{5}{x}$ ч.
Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_{против} = \frac{6}{x-6}$ ч.

По условию, общее время в пути равно 1 часу, следовательно, мы можем составить уравнение:
$t_{по} + t_{против} = 1$
$\frac{5}{x} + \frac{6}{x-6} = 1$

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю. Так как скорость лодки против течения должна быть положительной, то $x-6 > 0$, откуда $x > 6$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-6)$ и решим уравнение:
$5(x-6) + 6x = x(x-6)$
$5x - 30 + 6x = x^2 - 6x$
$11x - 30 = x^2 - 6x$
$x^2 - 6x - 11x + 30 = 0$
$x^2 - 17x + 30 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169 = 13^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x > 6$. Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет этому условию. Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $2 > 6$, поэтому он является посторонним.
Следовательно, скорость лодки по течению реки равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

30.16 Члены школьного кружка натуралистов отправились на катере собирать лекарственные травы. Проплыв вниз по течению реки $35 \text{ км}$, они сделали трёхчасовую остановку, после чего вернулись назад. Определите скорость катера в стоячей воде, если всё путешествие заняло $7 \text{ ч}$, а скорость течения реки равна $3 \text{ км/ч}$.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость катера в стоячей воде. Тогда скорость катера по течению реки равна $(x + 3)$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $(x - 3)$ км/ч. Важно отметить, что для движения против течения собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Катер проплыл 35 км вниз по течению. Время, затраченное на этот путь, составляет $t_1 = \frac{35}{x + 3}$ часов.

На обратный путь катер также проплыл 35 км, но уже против течения. Время, затраченное на обратный путь, составляет $t_2 = \frac{35}{x - 3}$ часов.

Общее время путешествия составило 7 часов. Из этого времени 3 часа была остановка. Следовательно, время, которое катер находился непосредственно в движении, равно $7 - 3 = 4$ часа.

Общее время движения складывается из времени движения по течению и времени движения против течения: $t_1 + t_2 = 4$. Составим и решим уравнение на основе этого:
$\frac{35}{x + 3} + \frac{35}{x - 3} = 4$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$:
$\frac{35(x - 3) + 35(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 4$
$\frac{35x - 105 + 35x + 105}{x^2 - 9} = 4$
$\frac{70x}{x^2 - 9} = 4$

Умножим обе части уравнения на $(x^2 - 9)$, при условии, что $x^2 - 9 \neq 0$ (что выполняется, так как $x > 3$):
$70x = 4(x^2 - 9)$
$70x = 4x^2 - 36$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$4x^2 - 70x - 36 = 0$
Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 2:
$2x^2 - 35x - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-35)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 1225 + 144 = 1369$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1369} = 37$.
Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 + 37}{2 \cdot 2} = \frac{72}{4} = 18$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 - 37}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Корень $x_2 = -0.5$ не подходит по физическому смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 18$ удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.

30.17 Моторная лодка прошла 54 км по течению реки и 42 км против течения за то же время, что она проходит 96 км в стоячей воде. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(x + 3)$ км/ч, а скорость против течения реки — $(x - 3)$ км/ч. Заметим, что для движения против течения необходимо, чтобы собственная скорость лодки была больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Время, которое лодка затратила на путь в 54 км по течению, равно $t_1 = \frac{54}{x + 3}$ ч.

Время, которое лодка затратила на путь в 42 км против течения, равно $t_2 = \frac{42}{x - 3}$ ч.

Общее время движения по реке составляет $T_{река} = t_1 + t_2 = \frac{54}{x + 3} + \frac{42}{x - 3}$ ч.

Время, за которое лодка проходит 96 км в стоячей воде, составляет $T_{стоячая} = \frac{96}{x}$ ч.

Согласно условию задачи, эти два промежутка времени равны. Составим и решим уравнение:

$\frac{54}{x + 3} + \frac{42}{x - 3} = \frac{96}{x}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$:

$\frac{54(x - 3) + 42(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{96}{x}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{54x - 162 + 42x + 126}{x^2 - 9} = \frac{96}{x}$

$\frac{96x - 36}{x^2 - 9} = \frac{96}{x}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая область допустимых значений $x > 3$:

$x(96x - 36) = 96(x^2 - 9)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$96x^2 - 36x = 96x^2 - 864$

Вычтем $96x^2$ из обеих частей уравнения:

$-36x = -864$

Найдем $x$:

$x = \frac{-864}{-36} = 24$

Полученное значение $x=24$ удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде равна 24 км/ч.

Проверка:

Время движения по реке: $\frac{54}{24+3} + \frac{42}{24-3} = \frac{54}{27} + \frac{42}{21} = 2 + 2 = 4$ часа.

Время движения в стоячей воде: $\frac{96}{24} = 4$ часа.

$4 = 4$. Решение верно.

Ответ: 24 км/ч.

30.18 Турист проплыл на байдарке 24 км по озеру и 9 км против течения реки за то же время, какое понадобилось ему, чтобы проплыть по течению 45 км. С какой скоростью плыл турист по озеру, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$?

Пусть собственная скорость байдарки, которая равна скорости движения в стоячей воде (по озеру), составляет $x$ км/ч.

Скорость течения реки дана в условии и равна 2 км/ч. Исходя из этого, можем выразить скорости движения байдарки по реке:

• Скорость по течению реки: $(x + 2)$ км/ч.
• Скорость против течения реки: $(x - 2)$ км/ч.

Для того чтобы турист мог плыть против течения, его собственная скорость должна быть выше скорости течения. Следовательно, должно выполняться условие: $x > 2$.

Теперь найдем время, затраченное на каждый из участков пути, по формуле $t = \frac{S}{v}$ (время = расстояние / скорость).

• Время движения по озеру (24 км): $t_1 = \frac{24}{x}$ ч.
• Время движения против течения (9 км): $t_2 = \frac{9}{x-2}$ ч.
• Время движения по течению (45 км): $t_3 = \frac{45}{x+2}$ ч.

По условию задачи, время, затраченное на путь по озеру и против течения, равно времени, затраченному на путь по течению. Составим уравнение, приравняв эти временные промежутки: $$ t_1 + t_2 = t_3 $$ $$ \frac{24}{x} + \frac{9}{x-2} = \frac{45}{x+2} $$

Для решения уравнения сначала приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-2)$: $$ \frac{24(x-2) + 9x}{x(x-2)} = \frac{45}{x+2} $$ $$ \frac{24x - 48 + 9x}{x^2 - 2x} = \frac{45}{x+2} $$ $$ \frac{33x - 48}{x^2 - 2x} = \frac{45}{x+2} $$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение). Область допустимых значений для $x$ исключает значения 0, 2 и -2. $$ (33x - 48)(x+2) = 45(x^2 - 2x) $$ Раскроем скобки: $$ 33x^2 + 66x - 48x - 96 = 45x^2 - 90x $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 33x^2 + 18x - 96 = 45x^2 - 90x $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$: $$ 45x^2 - 33x^2 - 90x - 18x + 96 = 0 $$ $$ 12x^2 - 108x + 96 = 0 $$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 12: $$ x^2 - 9x + 8 = 0 $$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 8. Корнями уравнения являются: $$ x_1 = 1, \quad x_2 = 8 $$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию задачи $x > 2$.

• Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x > 2$. Этот корень не имеет физического смысла в контексте задачи, так как с такой скоростью турист не смог бы плыть против течения.
• Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $x > 2$.

Следовательно, скорость туриста по озеру составляет 8 км/ч.

Ответ: 8 км/ч.