Страница 179, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

31.25 Велосипедист проехал 40 км от города до фермы. Возвращаясь, он сначала 2 ч ехал с той же скоростью, а затем сделал остановку на 20 мин. После остановки велосипедист увеличил скорость на 4 км/ч и затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь от города до фермы. С какой скоростью двигался велосипедист после остановки?

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость велосипедиста (с которой он ехал от города до фермы и первые 2 часа на обратном пути). Тогда время, затраченное на путь от города до фермы, составляет $t_1 = \frac{40}{v}$ часов.

На обратном пути велосипедист сначала ехал 2 часа со скоростью $v$ км/ч. За это время он проехал расстояние $S_1 = 2v$ км.

Затем он сделал остановку на 20 минут. Переведем это время в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3}$ часа.

После остановки скорость велосипедиста увеличилась на 4 км/ч и стала равной $v + 4$ км/ч. Оставшееся расстояние, которое ему нужно было проехать, составляет $S_2 = 40 - S_1 = 40 - 2v$ км. Время, затраченное на этот участок пути, равно $t_2 = \frac{40 - 2v}{v + 4}$ часов.

Общее время, затраченное на обратный путь, складывается из времени движения до остановки, времени самой остановки и времени движения после остановки: $t_{обр} = 2 + \frac{1}{3} + \frac{40 - 2v}{v + 4}$ часов.

По условию задачи, время на путь от города до фермы равно времени на обратный путь, значит $t_1 = t_{обр}$. Составим уравнение: $\frac{40}{v} = 2 + \frac{1}{3} + \frac{40 - 2v}{v + 4}$

Приступим к решению уравнения. Сначала упростим правую часть: $\frac{40}{v} = \frac{7}{3} + \frac{40 - 2v}{v + 4}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $3(v+4)$: $\frac{40}{v} = \frac{7(v+4) + 3(40 - 2v)}{3(v+4)}$ $\frac{40}{v} = \frac{7v + 28 + 120 - 6v}{3v+12}$ $\frac{40}{v} = \frac{v + 148}{3v+12}$

Используем свойство пропорции (умножим крест-накрест), учитывая, что $v \neq 0$ и $v \neq -4$: $40(3v+12) = v(v + 148)$ $120v + 480 = v^2 + 148v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v^2 + 148v - 120v - 480 = 0$ $v^2 + 28v - 480 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 28^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 784 + 1920 = 2704$ $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$

Теперь найдем возможные значения скорости $v$: $v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 + 52}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 - 52}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -40$ не имеет физического смысла. Следовательно, первоначальная скорость велосипедиста была $v = 12$ км/ч.

В задаче спрашивается, с какой скоростью двигался велосипедист после остановки. Эта скорость равна $v + 4$. $12 + 4 = 16$ км/ч.

Ответ: 16 км/ч.

31.26 В начале года завод выпускал 800 изделий в месяц. В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. На сколько процентов завод увеличивал выпуск продукции каждый раз, если в конце года он выпускал уже 1152 изделия в месяц?

Решение:

Пусть начальный выпуск продукции составляет $A_0 = 800$ изделий в месяц. По условию, в течение года выпуск дважды увеличивали на одно и то же число процентов. Обозначим этот искомый процент как $p$.

Увеличение некоторой величины на $p$ процентов эквивалентно умножению этой величины на коэффициент $k = (1 + \frac{p}{100})$.

После первого увеличения выпуск продукции стал равен:

$A_1 = A_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})$

После второго увеличения, которое применялось к новому значению $A_1$, итоговый выпуск $A_2$ составил:

$A_2 = A_1 \cdot (1 + \frac{p}{100}) = \left(A_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})\right) \cdot (1 + \frac{p}{100}) = A_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Из условия задачи нам известно, что в конце года завод выпускал $A_2 = 1152$ изделия. Подставим известные значения $A_0 = 800$ и $A_2 = 1152$ в полученную формулу:

$1152 = 800 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Теперь решим это уравнение. Сначала разделим обе части на 800:

$\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 = \frac{1152}{800}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{1152}{800} = \frac{1152 \div 8}{800 \div 8} = \frac{144}{100} = 1.44$

Уравнение принимает вид:

$\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 = 1.44$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как речь идет об увеличении, основание степени $(1 + \frac{p}{100})$ должно быть положительным.

$1 + \frac{p}{100} = \sqrt{1.44}$

$1 + \frac{p}{100} = 1.2$

Выразим $\frac{p}{100}$:

$\frac{p}{100} = 1.2 - 1$

$\frac{p}{100} = 0.2$

Теперь найдем $p$:

$p = 0.2 \cdot 100 = 20$

Таким образом, завод каждый раз увеличивал выпуск продукции на 20%.

Ответ: на 20%.

$0 = r - xs + s^2/s (r$

$0 = E) r - xst - s(r (a$

31.27 Университет в течение двух лет увеличивал количество принятых студентов на один и тот же процент. На сколько процентов увеличивался приём студентов ежегодно, если количество поступивших возросло с 2000 человек до 2880?

Пусть $N_0$ — начальное количество студентов, а $N_2$ — количество студентов через два года. По условию, $N_0 = 2000$ человек, а $N_2 = 2880$ человек.

Обозначим ежегодный процент увеличения приема студентов как $p$. Тогда коэффициент, на который умножается количество студентов каждый год, равен $k = 1 + \frac{p}{100}$.

После первого года количество студентов составит:

$N_1 = N_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})$

После второго года количество студентов будет рассчитываться уже от нового значения $N_1$:

$N_2 = N_1 \cdot (1 + \frac{p}{100}) = N_0 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p}{100}) = N_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Мы получили формулу для нахождения количества студентов через два года. Подставим в нее известные значения:

$2880 = 2000 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Теперь решим это уравнение относительно $p$.

Разделим обе части уравнения на 2000:

$\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 = \frac{2880}{2000}$

Упростим дробь в правой части:

$\frac{2880}{2000} = \frac{288}{200} = \frac{144}{100} = 1.44$

Уравнение принимает вид:

$\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 = 1.44$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $p$ — это процент увеличения, то $1 + \frac{p}{100}$ должно быть положительным числом.

$1 + \frac{p}{100} = \sqrt{1.44}$

$1 + \frac{p}{100} = 1.2$

Теперь найдем $\frac{p}{100}$:

$\frac{p}{100} = 1.2 - 1$

$\frac{p}{100} = 0.2$

И, наконец, найдем $p$:

$p = 0.2 \cdot 100 = 20$

Таким образом, ежегодный прирост студентов составлял 20%.

Проверим решение:

1. После первого года: $2000 + 2000 \cdot 0.20 = 2000 \cdot 1.2 = 2400$ студентов.

2. После второго года: $2400 + 2400 \cdot 0.20 = 2400 \cdot 1.2 = 2880$ студентов.

Полученное значение совпадает с данными в задаче.

Ответ: на 20%.

31.28 Для очистки пруда, содержащего $2800 \text{ м}^3$ воды, предполагалось к определённому сроку выкачать всю воду с помощью насосов. Так как насосов было прислано меньше, чем ожидалось, то ежедневно выкачивали на $20 \text{ м}^3$ меньше предполагаемой нормы. Через день после истечения намеченного срока оставалось выкачать ещё $100 \text{ м}^3$ воды. За сколько дней предполагалось выкачать воду первоначально?

Пусть $x$ — количество дней, за которое предполагалось выкачать воду первоначально.

Общий объем воды в пруду составляет $2800 \text{ м}^3$.

Плановая ежедневная норма выкачки воды (производительность) составляет $\frac{2800}{x}$ м³/день.

Так как насосов было прислано меньше, фактическая ежедневная норма оказалась на $20 \text{ м}^3$ меньше плановой. Таким образом, фактическая производительность равна $(\frac{2800}{x} - 20)$ м³/день.

Работа продолжалась на один день дольше запланированного срока, то есть $(x + 1)$ день. За это время в пруду осталось еще $100 \text{ м}^3$ воды, значит, было выкачано $2800 - 100 = 2700 \text{ м}^3$ воды.

Составим уравнение, умножив фактическую производительность на фактическое время работы, чтобы получить фактический объем выкачанной воды:

$(\frac{2800}{x} - 20) \cdot (x + 1) = 2700$

Решим это уравнение. Раскроем скобки:

$\frac{2800}{x} \cdot x + \frac{2800}{x} - 20x - 20 = 2700$
$2800 + \frac{2800}{x} - 20x - 20 = 2700$
$2780 + \frac{2800}{x} - 20x = 2700$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\frac{2800}{x} - 20x + 2780 - 2700 = 0$
$\frac{2800}{x} - 20x + 80 = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что очевидно из условия задачи):

$2800 - 20x^2 + 80x = 0$

Разделим все уравнение на $-20$ для упрощения и расположим члены в стандартном порядке для квадратного уравнения:

$x^2 - 4x - 140 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 16 + 560 = 576$

$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 24}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 24}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Так как количество дней не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначально планировалось выкачать всю воду за 14 дней.

Ответ: 14 дней.

32.1 У какого из заданных квадратных уравнений сумма корней рав-на $-6$, а произведение корней равно $-11$:

а) $x^2 - 6x + 11 = 0$;

б) $x^2 + 6x - 11 = 0$;

в) $x^2 - 11x - 6 = 0$;

г) $x^2 + 11x - 6 = 0$?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Она гласит, что если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма $x_1 + x_2 = -p$ и их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

По условию задачи, сумма корней искомого уравнения равна $-6$, а произведение корней равно $-11$.

Определим коэффициенты $p$ и $q$ для нашего уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -6$, отсюда $p = 6$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = -11$.

Подставив найденные значения $p$ и $q$ в общую формулу приведенного квадратного уравнения, получим:
$x^2 + 6x - 11 = 0$.

Теперь сравним это уравнение с вариантами, предложенными в задаче:

а) В уравнении $x^2 - 6x + 11 = 0$ коэффициенты $p = -6$ и $q = 11$. Сумма корней равна $-(-6) = 6$, а произведение равно $11$. Этот вариант не подходит.

б) В уравнении $x^2 + 6x - 11 = 0$ коэффициенты $p = 6$ и $q = -11$. Сумма корней равна $-6$, а произведение равно $-11$. Этот вариант полностью соответствует условиям.

в) В уравнении $x^2 - 11x - 6 = 0$ коэффициенты $p = -11$ и $q = -6$. Сумма корней равна $-(-11) = 11$, а произведение равно $-6$. Этот вариант не подходит.

г) В уравнении $x^2 + 11x - 6 = 0$ коэффициенты $p = 11$ и $q = -6$. Сумма корней равна $-11$, а произведение равно $-6$. Этот вариант не подходит.

Таким образом, искомое уравнение находится под буквой б).

Ответ: б) $x^2 + 6x - 11 = 0$.