Страница 180, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Не решая уравнения, определите, имеет ли оно корни. Для уравнений, имеющих корни, найдите их сумму и произведение:

32.2

а) $x^2 + 2x - 5 = 0$;

б) $x^2 - 15x + 16 = 0$;

в) $x^2 - 19x + 1 = 0$;

г) $x^2 + 8x + 10 = 0$.

Для определения наличия корней у квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, то уравнение имеет действительные корни. Если корни существуют, их сумму и произведение можно найти по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -b/a$, $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

а) $x^2 + 2x - 5 = 0$

1. Проверка наличия корней.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2$, $c=-5$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$.
Так как $D = 24 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Нахождение суммы и произведения корней.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -2/1 = -2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -5/1 = -5$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна -2, произведение корней равно -5.

б) $x^2 - 15x + 16 = 0$

1. Проверка наличия корней.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-15$, $c=16$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 225 - 64 = 161$.
Так как $D = 161 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Нахождение суммы и произведения корней.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-15)/1 = 15$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 16/1 = 16$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна 15, произведение корней равно 16.

в) $x^2 - 19x + 1 = 0$

1. Проверка наличия корней.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-19$, $c=1$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 361 - 4 = 357$.
Так как $D = 357 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Нахождение суммы и произведения корней.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-19)/1 = 19$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 1/1 = 1$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна 19, произведение корней равно 1.

г) $x^2 + 8x + 10 = 0$

1. Проверка наличия корней.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=8$, $c=10$.
Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 64 - 40 = 24$.
Так как $D = 24 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Нахождение суммы и произведения корней.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -8/1 = -8$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 10/1 = 10$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна -8, произведение корней равно 10.

32.3 a) $2x^2 + 9x - 10 = 0$;

б) $5x^2 + 12x + 7 = 0$;

в) $19x^2 - 23x + 5 = 0$;

г) $3x^2 + 113x - 7 = 0$.

а) Дано квадратное уравнение $2x^2 + 9x - 10 = 0$.
Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант. Сначала определим коэффициенты $a, b, c$:
$a=2, b=9, c=-10$.
Теперь вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 81 + 80 = 161$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm \sqrt{161}}{4}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-9 - \sqrt{161}}{4}, x_2 = \frac{-9 + \sqrt{161}}{4}$.

б) Дано квадратное уравнение $5x^2 + 12x + 7 = 0$.
Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Определим коэффициенты $a, b, c$:
$a=5, b=12, c=7$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 - 140 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Поскольку $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$, корни будут рациональными.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-12 \pm 2}{2 \cdot 5} = \frac{-12 \pm 2}{10}$.
Вычислим каждый корень отдельно:
$x_1 = \frac{-12 - 2}{10} = \frac{-14}{10} = -1.4$.
$x_2 = \frac{-12 + 2}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
Ответ: $x_1 = -1.4, x_2 = -1$.

в) Дано квадратное уравнение $19x^2 - 23x + 5 = 0$.
Для его решения используем формулу корней квадратного уравнения. Определим коэффициенты $a, b, c$:
$a=19, b=-23, c=5$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 5 = 529 - 380 = 149$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-23) \pm \sqrt{149}}{2 \cdot 19} = \frac{23 \pm \sqrt{149}}{38}$.
Ответ: $x_1 = \frac{23 - \sqrt{149}}{38}, x_2 = \frac{23 + \sqrt{149}}{38}$.

г) Дано квадратное уравнение $3x^2 + 113x - 7 = 0$.
Для его решения используем формулу корней квадратного уравнения. Определим коэффициенты $a, b, c$:
$a=3, b=113, c=-7$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 113^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 12769 + 84 = 12853$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-113 \pm \sqrt{12853}}{2 \cdot 3} = \frac{-113 \pm \sqrt{12853}}{6}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-113 - \sqrt{12853}}{6}, x_2 = \frac{-113 + \sqrt{12853}}{6}$.

32.4 a) $x^2 - 6 = 0;$

б) $2x^2 + 3x = 0;$

в) $x^2 + 5x = 0;$

г) $7x^2 - 1 = 0.$

а)

Дано неполное квадратное уравнение $x^2 - 6 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения перенесем свободный член (число без $x$) в правую часть уравнения:

$x^2 = 6$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{6}$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = \sqrt{6}$, $x_2 = -\sqrt{6}$.

б)

Дано неполное квадратное уравнение $2x^2 + 3x = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$ (это первый корень)

2) $2x + 3 = 0$

Решаем второе уравнение:

$2x = -3$

$x = -\frac{3}{2} = -1.5$ (это второй корень)

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -1.5$.

в)

Дано неполное квадратное уравнение $x^2 + 5x = 0$.

Это уравнение, как и в предыдущем пункте, вида $ax^2 + bx = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $x = 0$ (первый корень)

2) $x + 5 = 0$

Из второго уравнения находим второй корень:

$x = -5$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -5$.

г)

Дано неполное квадратное уравнение $7x^2 - 1 = 0$.

Это уравнение, как и в пункте а), вида $ax^2 + c = 0$. Перенесем свободный член в правую часть:

$7x^2 = 1$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 7:

$x^2 = \frac{1}{7}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{7}} = \pm\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}} = \pm\frac{1}{\sqrt{7}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, можно умножить числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$x = \pm\frac{1 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{7}$

Ответ: $x_1 = \frac{\sqrt{7}}{7}$, $x_2 = -\frac{\sqrt{7}}{7}$.

32.5 а) $0.2x^2 - 4x - 1 = 0;$

б) $\sqrt{3}x^2 - 12x - 7\sqrt{3} = 0;$

в) $x^2 - \sqrt{5}x + 1 = 0;$

г) $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 1 = 0.$

а) Дано квадратное уравнение $0,2x^2 - 4x - 1 = 0$.
Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$5 \cdot (0,2x^2 - 4x - 1) = 5 \cdot 0$
$x^2 - 20x - 5 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-20$, $c=-5$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 400 + 20 = 420$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{420} = \sqrt{4 \cdot 105} = 2\sqrt{105}$.
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(-20) \pm 2\sqrt{105}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm 2\sqrt{105}}{2} = 10 \pm \sqrt{105}$.
Ответ: $10 \pm \sqrt{105}$.

б) Дано квадратное уравнение $\sqrt{3}x^2 - 12x - 7\sqrt{3} = 0$.
Для упрощения разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$\frac{\sqrt{3}x^2}{\sqrt{3}} - \frac{12x}{\sqrt{3}} - \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 0$
$x^2 - \frac{12\sqrt{3}}{3}x - 7 = 0$
$x^2 - 4\sqrt{3}x - 7 = 0$
Коэффициенты полученного уравнения: $a=1$, $b=-4\sqrt{3}$, $c=-7$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 16 \cdot 3 + 28 = 48 + 28 = 76$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$.
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(-4\sqrt{3}) \pm 2\sqrt{19}}{2 \cdot 1} = \frac{4\sqrt{3} \pm 2\sqrt{19}}{2} = 2\sqrt{3} \pm \sqrt{19}$.
Ответ: $2\sqrt{3} \pm \sqrt{19}$.

в) Дано квадратное уравнение $x^2 - \sqrt{5}x + 1 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-\sqrt{5}$, $c=1$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 - 4 = 1$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(-\sqrt{5}) \pm 1}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{5} \pm 1}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5} \pm 1}{2}$.

г) Дано квадратное уравнение $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 1 = 0$.
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби в коэффициенте:
$3 \cdot (\frac{2}{3}x^2 + 2x - 1) = 3 \cdot 0$
$2x^2 + 6x - 3 = 0$
Коэффициенты полученного уравнения: $a=2$, $b=6$, $c=-3$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 36 + 24 = 60$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$.
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{2(-3 \pm \sqrt{15})}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}$.
Ответ: $\frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}$.

32.6 Может ли квадратное уравнение $x^2 + bx - 8 = 0$:

а) не иметь корней;

б) иметь равные корни;

в) иметь два различных корня разных знаков;

г) иметь два различных корня одного и того же знака?

Для анализа квадратного уравнения $x^2 + bx - 8 = 0$ и ответа на поставленные вопросы, рассмотрим его дискриминант и применим теорему Виета.

Дискриминант $D$ для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Он определяет количество действительных корней. В нашем уравнении коэффициенты $a=1$, $b$ является параметром, а $c=-8$.Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = b^2 + 32$.Поскольку квадрат любого действительного числа $b$ неотрицателен ($b^2 \ge 0$), то дискриминант $D = b^2 + 32$ всегда будет строго положителен ($D \ge 32 > 0$). Это означает, что при любом действительном значении параметра $b$ данное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Теперь обратимся к теореме Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения: $x_1+x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.Для нашего уравнения $x^2 + bx - 8 = 0$ имеем:$x_1 + x_2 = -b$$x_1 \cdot x_2 = -8$Так как произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -8$ является отрицательным числом, это означает, что корни уравнения всегда имеют разные знаки (один корень положительный, а другой — отрицательный).

а) не иметь корней
Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен ($D < 0$). Как было показано выше, дискриминант данного уравнения $D = b^2 + 32$ всегда положителен. Следовательно, уравнение не может не иметь корней.

Ответ: не может.

б) иметь равные корни
Уравнение имеет равные корни (один корень кратности 2), если его дискриминант равен нулю ($D = 0$). В нашем случае $D = b^2 + 32$. Уравнение $b^2 + 32 = 0$ не имеет действительных решений для $b$, так как $b^2 = -32$. Следовательно, дискриминант никогда не равен нулю, и уравнение не может иметь равных корней.

Ответ: не может.

в) иметь два различных корня разных знаков
Для того чтобы уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть положителен ($D > 0$). Для того чтобы корни имели разные знаки, их произведение должно быть отрицательным ($x_1 \cdot x_2 < 0$). Как мы установили, $D = b^2 + 32 > 0$ и $x_1 \cdot x_2 = -8 < 0$ для любого действительного значения $b$. Оба условия выполняются, значит, уравнение всегда имеет два различных корня разных знаков.

Ответ: может.

г) иметь два различных корня одного и того же знака
Для того чтобы корни были одного знака, их произведение должно быть положительным ($x_1 \cdot x_2 > 0$). Однако по теореме Виета произведение корней нашего уравнения равно -8, то есть оно отрицательно. Это противоречит условию, следовательно, уравнение не может иметь два корня одного знака.

Ответ: не может.

32.7 Пуcть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Найдите:

a) $b$ и $c$, если $a = 2$, $x_1 = 3$, $x_2 = -0,5$;

б) $a$ и $c$, если $b = -1$, $x_1 = 3$, $x_2 = -4$;

в) $a$ и $b$, если $c = 4$, $x_1 = -2$, $x_2 = -0,25$;

г) $a$ и $c$, если $b = 6$, $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.

а) b и c, если a = 2, x₁ = 3, x₂ = -0,5;

Для нахождения неизвестных коэффициентов воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

Сначала найдем коэффициент $b$. Вычислим сумму корней:
$x_1 + x_2 = 3 + (-0,5) = 2,5$.
Подставим известные значения $a=2$ и сумму корней в формулу:
$2,5 = -b/2$
Отсюда $b = -2,5 \cdot 2 = -5$.

Теперь найдем коэффициент $c$. Вычислим произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-0,5) = -1,5$.
Подставим известные значения $a=2$ и произведение корней в формулу:
$-1,5 = c/2$
Отсюда $c = -1,5 \cdot 2 = -3$.
Ответ: $b = -5$, $c = -3$.

б) a и c, если b = -1, x₁ = 3, x₂ = -4;

Используем теорему Виета. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

Найдем коэффициент $a$. Вычислим сумму корней:
$x_1 + x_2 = 3 + (-4) = -1$.
Подставим известные значения $b=-1$ и сумму корней в формулу:
$-1 = -(-1)/a$
$-1 = 1/a$
Отсюда $a = -1$.

Найдем коэффициент $c$. Вычислим произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-4) = -12$.
Подставим найденное значение $a=-1$ и произведение корней в формулу:
$-12 = c/(-1)$
Отсюда $c = 12$.
Ответ: $a = -1$, $c = 12$.

в) a и b, если c = 4, x₁ = -2, x₂ = -0,25;

Применим теорему Виета: $x_1 + x_2 = -b/a$ и $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

Найдем коэффициент $a$. Вычислим произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot (-0,25) = 0,5$.
Подставим известные значения $c=4$ и произведение корней в формулу:
$0,5 = 4/a$
$a = 4 / 0,5 = 8$.

Найдем коэффициент $b$. Вычислим сумму корней:
$x_1 + x_2 = -2 + (-0,25) = -2,25$.
Подставим найденное значение $a=8$ и сумму корней в формулу:
$-2,25 = -b/8$
$b = 2,25 \cdot 8 = 18$.
Ответ: $a = 8$, $b = 18$.

г) a и c, если b = 6, x₁ = 3, x₂ = -4.

Воспользуемся теоремой Виета: $x_1 + x_2 = -b/a$ и $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

Найдем коэффициент $a$. Вычислим сумму корней:
$x_1 + x_2 = 3 + (-4) = -1$.
Подставим известные значения $b=6$ и сумму корней в формулу:
$-1 = -6/a$
Отсюда $a = 6$.

Найдем коэффициент $c$. Вычислим произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-4) = -12$.
Подставим найденное значение $a=6$ и произведение корней в формулу:
$-12 = c/6$
$c = -12 \cdot 6 = -72$.
Ответ: $a = 6$, $c = -72$.

32.8 При каких значениях параметра $p$ сумма корней квадратного уравнения $x^2 + (p^2 + 4p - 5)x - p = 0$ равна нулю?

Дано квадратное уравнение $x^2 + (p^2 + 4p - 5)x - p = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + Bx + C = 0$, где коэффициент при $x$ равен $B = p^2 + 4p - 5$, а свободный член $C = -p$.

Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком:

$x_1 + x_2 = -B = -(p^2 + 4p - 5)$

По условию задачи требуется, чтобы сумма корней была равна нулю:

$x_1 + x_2 = 0$

Следовательно, мы можем составить уравнение для параметра $p$:

$-(p^2 + 4p - 5) = 0$

$p^2 + 4p - 5 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $p$. Найдем его корни. Можно разложить левую часть на множители:

$(p + 5)(p - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $p$: $p_1 = -5$ и $p_2 = 1$.

Однако, теорема Виета применима только в том случае, если у квадратного уравнения существуют корни. В контексте школьной программы обычно подразумеваются действительные корни. Условием существования действительных корней является неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$).

Дискриминант исходного уравнения $x^2 + (p^2 + 4p - 5)x - p = 0$ равен:

$D = B^2 - 4C = (p^2 + 4p - 5)^2 - 4(1)(-p) = (p^2 + 4p - 5)^2 + 4p$

Проверим найденные значения $p$ на выполнение условия $D \ge 0$.

1. Для $p = 1$:

Выражение в скобках $p^2 + 4p - 5$ обращается в ноль, как мы нашли ранее. Поэтому дискриминант равен:

$D = (1^2 + 4 \cdot 1 - 5)^2 + 4 \cdot 1 = 0^2 + 4 = 4$

Так как $D = 4 > 0$, уравнение при $p=1$ имеет два различных действительных корня, и их сумма равна нулю. Следовательно, $p=1$ является решением.

2. Для $p = -5$:

Выражение в скобках $p^2 + 4p - 5$ также обращается в ноль. Дискриминант равен:

$D = ((-5)^2 + 4(-5) - 5)^2 + 4(-5) = 0^2 - 20 = -20$

Так как $D = -20 < 0$, уравнение при $p=-5$ не имеет действительных корней. Поэтому говорить о сумме действительных корней в этом случае некорректно, и это значение не является решением задачи.

Таким образом, единственное значение параметра $p$, удовлетворяющее условию, — это $1$.

Ответ: $1$

32.9 При каких значениях параметра $p$ произведение корней квадратного уравнения $x^2 + 3x + (p^2 - 7p + 12) = 0$ равно нулю?

Данное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где его коэффициенты:
$a = 1$
$b = 3$
$c = p^2 - 7p + 12$

Для того чтобы у квадратного уравнения существовали действительные корни, его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным, то есть $D \ge 0$.

Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения равно отношению свободного члена к старшему коэффициенту:$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

По условию задачи, произведение корней равно нулю:$x_1 \cdot x_2 = 0$.

Следовательно, должно выполняться равенство:$\frac{c}{a} = \frac{p^2 - 7p + 12}{1} = 0$.

Отсюда получаем квадратное уравнение относительно параметра $p$:$p^2 - 7p + 12 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Подбором находим корни:
$p_1 = 3$
$p_2 = 4$

Теперь необходимо убедиться, что при этих значениях параметра $p$ исходное уравнение имеет действительные корни. Для этого проверим условие $D \ge 0$.
Дискриминант исходного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p^2 - 7p + 12)$.

Для найденных значений $p=3$ и $p=4$ выражение в скобках $p^2 - 7p + 12$ равно нулю. Поэтому для этих значений $p$ дискриминант будет равен:$D = 3^2 - 4 \cdot 0 = 9$.

Так как $D = 9 > 0$, при $p=3$ и $p=4$ исходное уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, эти значения параметра $p$ являются решением задачи.

Ответ: $p=3$, $p=4$.

Разложите на множители квадратный трёхчлен:

32.10 a) $x^2 - 11x + 24;$

б) $x^2 - 2x - 15;$

в) $x^2 + 7x + 12;$

г) $x^2 + 3x - 10.$

а) Для того чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $x^2 - 11x + 24$, необходимо найти его корни. Для этого приравняем трёхчлен к нулю и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 11x + 24 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-11$, $c=24$.
Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Теперь используем формулу разложения квадратного трёхчлена на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
Подставляем наши значения ($a=1$, $x_1=8$, $x_2=3$):
$x^2 - 11x + 24 = 1 \cdot (x - 8)(x - 3) = (x - 8)(x - 3)$.
Ответ: $(x - 8)(x - 3)$.

б) Разложим на множители трёхчлен $x^2 - 2x - 15$. Сначала найдём его корни, решив уравнение:
$x^2 - 2x - 15 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-15$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Применяем формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 - 2x - 15 = 1 \cdot (x - 5)(x - (-3)) = (x - 5)(x + 3)$.
Ответ: $(x - 5)(x + 3)$.

в) Разложим на множители трёхчлен $x^2 + 7x + 12$. Для этого решим уравнение:
$x^2 + 7x + 12 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=7$, $c=12$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Применяем формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 7x + 12 = 1 \cdot (x - (-3))(x - (-4)) = (x + 3)(x + 4)$.
Ответ: $(x + 3)(x + 4)$.

г) Разложим на множители трёхчлен $x^2 + 3x - 10$. Решим уравнение:
$x^2 + 3x - 10 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=3$, $c=-10$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Применяем формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 3x - 10 = 1 \cdot (x - 2)(x - (-5)) = (x - 2)(x + 5)$.
Ответ: $(x - 2)(x + 5)$.