Страница 177, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

31.5 а) $4x^2 - 8x + 1 = 0;$

б) $9x^2 + 12x + 1 = 0;$

в) $4x^2 - 12x + 7 = 0;$

г) $25x^2 + 10x - 4 = 0.$

а) Для решения квадратного уравнения $4x^2 - 8x + 1 = 0$ воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Коэффициенты уравнения: $a=4$, $b=-8$, $c=1$. Поскольку коэффициент $b$ является четным числом, удобнее использовать формулу для четного второго коэффициента, где $k = b/2 = -8/2 = -4$.
Найдем дискриминант, деленный на 4: $D_1 = k^2 - ac$.
$D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
Корни уравнения вычисляются по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{4}$.
Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь: $x = \frac{2(2 \pm \sqrt{3})}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}, x_2 = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$.

б) Решим квадратное уравнение $9x^2 + 12x + 1 = 0$. Коэффициенты: $a=9$, $b=12$, $c=1$. Так как $b$ - четное, используем формулу с $k = b/2 = 12/2 = 6$.
Найдем дискриминант, деленный на 4: $D_1 = k^2 - ac$.
$D_1 = 6^2 - 9 \cdot 1 = 36 - 9 = 27$.
Корни уравнения вычисляются по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.
$x = \frac{-6 \pm \sqrt{27}}{9} = \frac{-6 \pm \sqrt{9 \cdot 3}}{9} = \frac{-6 \pm 3\sqrt{3}}{9}$.
Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим дробь: $x = \frac{3(-2 \pm \sqrt{3})}{9} = \frac{-2 \pm \sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{3}}{3}, x_2 = \frac{-2 - \sqrt{3}}{3}$.

в) Решим квадратное уравнение $4x^2 - 12x + 7 = 0$. Коэффициенты: $a=4$, $b=-12$, $c=7$. Так как $b$ - четное, используем формулу с $k = b/2 = -12/2 = -6$.
Найдем дискриминант, деленный на 4: $D_1 = k^2 - ac$.
$D_1 = (-6)^2 - 4 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.
Корни уравнения вычисляются по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.
$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 2}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{4}$.
Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь: $x = \frac{2(3 \pm \sqrt{2})}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$.

г) Решим квадратное уравнение $25x^2 + 10x - 4 = 0$. Коэффициенты: $a=25$, $b=10$, $c=-4$. Так как $b$ - четное, используем формулу с $k = b/2 = 10/2 = 5$.
Найдем дискриминант, деленный на 4: $D_1 = k^2 - ac$.
$D_1 = 5^2 - 25 \cdot (-4) = 25 + 100 = 125$.
Корни уравнения вычисляются по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{125}}{25} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 \cdot 5}}{25} = \frac{-5 \pm 5\sqrt{5}}{25}$.
Вынесем общий множитель 5 в числителе и сократим дробь: $x = \frac{5(-1 \pm \sqrt{5})}{25} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{5}, x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{5}$.

31.6 a) $\frac{x+3}{x-3} = \frac{2x+3}{x}$;

б) $\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1$;

в) $\frac{x+2}{x-2} = \frac{3x-2}{2x}$;

г) $\frac{3x+2}{x-3} - \frac{x+2}{x+3} = 1.$

Решим уравнение $\frac{x+3}{x-3} = \frac{2x+3}{x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $x-3 \neq 0$ и $x \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq 0$.
Это пропорция, поэтому мы можем использовать правило перекрестного умножения: $(x+3) \cdot x = (2x+3) \cdot (x-3)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 + 3x = 2x^2 - 6x + 3x - 9$
$x^2 + 3x = 2x^2 - 3x - 9$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$2x^2 - x^2 - 3x - 3x - 9 = 0$
$x^2 - 6x - 9 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые найдем по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 \cdot 2}}{2} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2}$.
Оба корня, $x_1 = 3 + 3\sqrt{2}$ и $x_2 = 3 - 3\sqrt{2}$, не равны 0 или 3, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3 \pm 3\sqrt{2}$.

Решим уравнение $\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1$.
ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$ и $x \neq 2$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2-4$ и умножим обе части уравнения на этот знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
$(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2) = 1 \cdot (x^2-4)$.
Раскроем скобки:
$(3x^2 - 6x + x - 2) - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4$
$(3x^2 - 5x - 2) - (x^2 + x - 2) = x^2 - 4$
$3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - 6x = x^2 - 4$
Перенесем все в левую часть:
$x^2 - 6x + 4 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$.
Найдем корни уравнения:
$x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$.
Полученные корни $x_1 = 3 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 3 - \sqrt{5}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3 \pm \sqrt{5}$.

Решим уравнение $\frac{x+2}{x-2} = \frac{3x-2}{2x}$.
ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $2x \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq 0$.
Применим правило перекрестного умножения:
$(x+2) \cdot 2x = (3x-2) \cdot (x-2)$.
Раскроем скобки:
$2x^2 + 4x = 3x^2 - 6x - 2x + 4$
$2x^2 + 4x = 3x^2 - 8x + 4$
Перенесем все члены в правую часть:
$3x^2 - 2x^2 - 8x - 4x + 4 = 0$
$x^2 - 12x + 4 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 144 - 16 = 128$.
Найдем корни:
$x = \frac{12 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{64 \cdot 2}}{2} = \frac{12 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 6 \pm 4\sqrt{2}$.
Корни $x_1 = 6 + 4\sqrt{2}$ и $x_2 = 6 - 4\sqrt{2}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $6 \pm 4\sqrt{2}$.

Решим уравнение $\frac{3x+2}{x-3} - \frac{x+2}{x+3} = 1$.
ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-3)(x+3) = x^2-9$:
$(3x+2)(x+3) - (x+2)(x-3) = 1 \cdot (x^2-9)$.
Раскроем скобки:
$(3x^2 + 9x + 2x + 6) - (x^2 - 3x + 2x - 6) = x^2 - 9$
$(3x^2 + 11x + 6) - (x^2 - x - 6) = x^2 - 9$
$3x^2 + 11x + 6 - x^2 + x + 6 = x^2 - 9$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 12x + 12 = x^2 - 9$
Перенесем все в левую часть:
$x^2 + 12x + 21 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 144 - 84 = 60$.
Найдем корни:
$x = \frac{-12 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{4 \cdot 15}}{2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -6 \pm \sqrt{15}$.
Корни $x_1 = -6 + \sqrt{15}$ и $x_2 = -6 - \sqrt{15}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-6 \pm \sqrt{15}$.

31.7 Площадь прямоугольника равна $675 \text{ см}^2$. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них на 30 см меньше другой.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Тогда, согласно условию, большая сторона будет равна $(x + 30)$ см.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его сторон:

$S = a \cdot b$

Подставим в формулу известные данные и выражения для сторон:

$x \cdot (x + 30) = 675$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$x^2 + 30x = 675$

$x^2 + 30x - 675 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-675) = 900 + 2700 = 3600$

Теперь найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-30 + \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-30 + 60}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-30 - \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-30 - 60}{2} = \frac{-90}{2} = -45$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -45$ не является решением задачи. Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна 15 см.

Найдем большую сторону:

$15 + 30 = 45$ см.

Проверим полученный результат: площадь равна $15 \cdot 45 = 675$ см², что соответствует условию.

Ответ: стороны прямоугольника равны 15 см и 45 см.

31.8 От квадратного листа отрезали полосу шириной 6 см. Площадь оставшейся части равна 135 $\text{см}^2$. Определите первоначальные размеры листа.

Пусть сторона первоначального квадратного листа равна $x$ см.

Когда от квадратного листа отрезали полосу шириной 6 см, получился прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника осталась равной стороне квадрата, то есть $x$ см, а вторая сторона стала короче на 6 см, то есть $(x - 6)$ см.

Площадь оставшейся части (прямоугольника) по условию равна 135 см². Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон. Составим уравнение:
$x \cdot (x - 6) = 135$

Для решения раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 6x = 135$
$x^2 - 6x - 135 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-135) = 36 + 540 = 576$

Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 24}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 24}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Так как $x$ представляет собой длину стороны листа, это значение не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -9$ не является решением задачи.

Следовательно, первоначальная сторона квадратного листа была равна 15 см.

Проверка: если сторона квадрата 15 см, то после отрезания полосы в 6 см останется прямоугольник со сторонами 15 см и $(15 - 6) = 9$ см. Его площадь будет $15 \cdot 9 = 135$ см², что соответствует условию задачи.

Ответ: первоначальные размеры листа 15 см × 15 см.

31.9 Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

31.9

Пусть меньшее из двух натуральных чисел равно $x$. Тогда большее число, согласно условию, будет равно $x+6$. Произведение этих чисел равно 187. Мы можем составить уравнение для нахождения $x$.

$x \cdot (x + 6) = 187$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 6x = 187$
$x^2 + 6x - 187 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a=1$, $b=6$, $c=-187$.
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-187) = 36 + 748 = 784$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$
$x_1 = \frac{-6 + 28}{2 \cdot 1} = \frac{22}{2} = 11$
$x_2 = \frac{-6 - 28}{2 \cdot 1} = \frac{-34}{2} = -17$

В условии задачи сказано, что числа натуральные, то есть положительные целые. Корень $x_2 = -17$ является отрицательным числом, поэтому он не подходит в качестве решения.

Следовательно, меньшее число равно $x = 11$.
Тогда большее число равно $x + 6 = 11 + 6 = 17$.

Проверка: $11 \cdot 17 = 187$. Условие выполнено.

Ответ: 11 и 17.

31.10 Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна сторона прямоугольника на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$, а диагональ как $d$.

По условию задачи, одна сторона на 14 см больше другой. Пусть $b$ будет большей стороной, тогда мы можем записать: $b = a + 14$ см.

Диагональ прямоугольника равна 34 см, то есть $d = 34$ см.

Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник, где стороны являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим известные значения в это уравнение. Заменим $b$ на $a + 14$ и $d$ на 34:

$a^2 + (a + 14)^2 = 34^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$a^2 + (a^2 + 2 \cdot a \cdot 14 + 14^2) = 1156$

$a^2 + a^2 + 28a + 196 = 1156$

$2a^2 + 28a + 196 - 1156 = 0$

$2a^2 + 28a - 960 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$a^2 + 14a - 480 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116$

Найдем корни уравнения:

$a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-14 \pm \sqrt{2116}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 \pm 46}{2}$

Получаем два корня:

$a_1 = \frac{-14 + 46}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$a_2 = \frac{-14 - 46}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем корень $a = 16$ см.

Теперь найдем длину второй стороны $b$:

$b = a + 14 = 16 + 14 = 30$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 16 см и 30 см.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$:

$S = 16 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} = 480 \text{ см}^2$

Ответ: $480 \text{ см}^2$.

31.11 Мотоциклист задержался с выездом на 6 мин. Чтобы наверстать потерянное время, он увеличил намеченную скорость на 10 $ \text{км/ч} $. С какой скоростью ехал мотоциклист, если весь путь равен 30 км?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение.

Пусть $v$ (км/ч) — это намеченная (плановая) скорость мотоциклиста. Поскольку он увеличил скорость на 10 км/ч, его фактическая скорость составила $v + 10$ км/ч.

Весь путь равен $S = 30$ км.

Время, которое мотоциклист планировал потратить на весь путь, можно выразить формулой $t_{план} = \frac{S}{v} = \frac{30}{v}$ часов.

Фактическое время, затраченное на путь, составило $t_{факт} = \frac{S}{v+10} = \frac{30}{v+10}$ часов.

Мотоциклист задержался с выездом на 6 минут. Чтобы наверстать это время, он ехал быстрее, и разница между плановым и фактическим временем в пути как раз равна этим 6 минутам. Переведем 6 минут в часы:

$6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч}$

Теперь составим уравнение, приравняв разницу во времени к времени задержки:

$t_{план} - t_{факт} = \frac{1}{10}$

$\frac{30}{v} - \frac{30}{v+10} = \frac{1}{10}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+10)$:

$\frac{30(v+10) - 30v}{v(v+10)} = \frac{1}{10}$

$\frac{30v + 300 - 30v}{v^2 + 10v} = \frac{1}{10}$

$\frac{300}{v^2 + 10v} = \frac{1}{10}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$v^2 + 10v = 300 \cdot 10$

$v^2 + 10v - 3000 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

Найдем корни уравнения:

$v_{1} = \frac{-10 + \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_{2} = \frac{-10 - \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи. Значит, плановая скорость мотоциклиста была $v = 50$ км/ч.

В вопросе требуется найти скорость, с которой ехал мотоциклист, то есть его фактическую скорость. Она была на 10 км/ч больше плановой:

$50 + 10 = 60$ (км/ч)

Проверка:

Плановое время: $\frac{30 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = \frac{3}{5}$ часа = 36 минут.

Фактическое время: $\frac{30 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = \frac{1}{2}$ часа = 30 минут.

Разница во времени: $36 - 30 = 6$ минут. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 60 км/ч.

31.12 Катер должен был пройти 36 км за определённое время, но был задержан с отправлением на 12 мин и поэтому, чтобы прийти вовремя, шёл со скоростью на 6 км/ч большей, чем предполагалось по расписанию. С какой скоростью шёл катер?

Пусть $v$ км/ч — это предполагавшаяся по расписанию скорость катера. Тогда фактическая скорость катера, с которой он шёл, была $(v+6)$ км/ч.

Расстояние, которое должен был пройти катер, составляет $S = 36$ км.

Время, которое катер должен был затратить по расписанию, равно $t_{план} = \frac{S}{v} = \frac{36}{v}$ ч.

Фактическое время, затраченное катером на путь, равно $t_{факт} = \frac{S}{v+6} = \frac{36}{v+6}$ ч.

Катер был задержан с отправлением на 12 минут. Чтобы использовать это значение в уравнении, переведем его в часы: $12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = \frac{1}{5}$ ч.

Поскольку катер прибыл вовремя, это означает, что он затратил на сам путь на 12 минут меньше, чем планировалось по расписанию. Таким образом, разница между плановым и фактическим временем движения составляет $\frac{1}{5}$ часа.

Составим и решим уравнение:

$t_{план} - t_{факт} = \frac{1}{5}$

$\frac{36}{v} - \frac{36}{v+6} = \frac{1}{5}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v+6)$:

$\frac{36(v+6) - 36v}{v(v+6)} = \frac{1}{5}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{36v + 216 - 36v}{v^2 + 6v} = \frac{1}{5}$

$\frac{216}{v^2 + 6v} = \frac{1}{5}$

Используя свойство пропорции ("крест-накрест"), получаем:

$v^2 + 6v = 216 \cdot 5$

$v^2 + 6v = 1080$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 6v - 1080 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1080) = 36 + 4320 = 4356$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v = \frac{-6 \pm \sqrt{4356}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 66}{2}$

Уравнение имеет два корня:

$v_1 = \frac{-6 + 66}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$v_2 = \frac{-6 - 66}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Так как скорость ($v$) не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -36$ не соответствует условию задачи. Следовательно, предполагавшаяся скорость катера по расписанию составляла $v = 30$ км/ч.

Вопрос задачи: "С какой скоростью шёл катер?". Это значит, что нам нужно найти фактическую скорость, которая была на 6 км/ч больше плановой.

Фактическая скорость $= v + 6 = 30 + 6 = 36$ км/ч.

Ответ: 36 км/ч.

31.13 Два автобуса выехали одновременно из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 48 км. Один из автобусов, двигаясь на 4 км/ч быстрее другого, прибыл в В на 10 мин раньше, чем другой. Найдите скорости автобусов.

Пусть $v$ км/ч — скорость более медленного автобуса. Тогда скорость второго, более быстрого автобуса, составляет $(v + 4)$ км/ч.

Расстояние $S$ между пунктами А и В равно 48 км.

Время, которое затратил на путь медленный автобус, вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{48}{v}$ часов.

Время, которое затратил на путь быстрый автобус, равно $t_2 = \frac{S}{v+4} = \frac{48}{v+4}$ часов.

По условию задачи, быстрый автобус прибыл в пункт В на 10 минут раньше. Выразим эту разницу во времени в часах, чтобы единицы измерения были согласованы:

10 мин = $\frac{10}{60}$ часа = $\frac{1}{6}$ часа.

Так как время медленного автобуса ($t_1$) больше времени быстрого ($t_2$) на $\frac{1}{6}$ часа, мы можем составить уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{6}$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{48}{v} - \frac{48}{v+4} = \frac{1}{6}$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+4)$:

$\frac{48(v+4) - 48v}{v(v+4)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{48v + 192 - 48v}{v^2 + 4v} = \frac{1}{6}$

$\frac{192}{v^2 + 4v} = \frac{1}{6}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$1 \cdot (v^2 + 4v) = 192 \cdot 6$

$v^2 + 4v = 1152$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 4v - 1152 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1152) = 16 + 4608 = 4624$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{4624} = 68$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_1 = \frac{-4 + 68}{2 \cdot 1} = \frac{64}{2} = 32$

$v_2 = \frac{-4 - 68}{2 \cdot 1} = \frac{-72}{2} = -36$

Скорость движения не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -36$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи и мы его отбрасываем.

Таким образом, скорость медленного автобуса равна 32 км/ч.

Скорость быстрого автобуса на 4 км/ч больше, следовательно, она равна: $32 + 4 = 36$ км/ч.

Ответ: скорости автобусов 32 км/ч и 36 км/ч.

31.14 Поезд был задержан у светофора на 24 мин и, чтобы прибыть на станцию назначения по расписанию, должен был оставшиеся 195 км пройти со скоростью, на 10 км/ч превышающей первоначальную. Найдите первоначальную скорость поезда.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Тогда, чтобы наверстать опоздание и прибыть на станцию назначения по расписанию, поезд должен был ехать со скоростью $(v + 10)$ км/ч.

Оставшееся расстояние, которое необходимо было пройти, составляет 195 км.

Время, за которое поезд должен был проехать это расстояние по расписанию, составляет $t_1 = \frac{195}{v}$ часов.

Фактическое время, за которое поезд проехал это расстояние с увеличенной скоростью, составляет $t_2 = \frac{195}{v+10}$ часов.

Задержка у семафора составила 24 минуты. Для использования в уравнении необходимо перевести минуты в часы:

$24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5}$ ч.

Чтобы компенсировать задержку, поезд должен был сократить время в пути на 24 минуты. Это означает, что разница между временем по расписанию и фактическим временем движения на оставшемся участке равна времени задержки. Составим и решим уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{2}{5}$

$\frac{195}{v} - \frac{195}{v+10} = \frac{2}{5}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v+10)$:

$\frac{195(v+10) - 195v}{v(v+10)} = \frac{2}{5}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{195v + 1950 - 195v}{v^2 + 10v} = \frac{2}{5}$

$\frac{1950}{v^2 + 10v} = \frac{2}{5}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2(v^2 + 10v) = 1950 \cdot 5$

$2(v^2 + 10v) = 9750$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v^2 + 10v = 4875$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$v^2 + 10v - 4875 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4875) = 100 + 19500 = 19600$

Найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$

$v_1 = \frac{-10 + 140}{2} = \frac{130}{2} = 65$

$v_2 = \frac{-10 - 140}{2} = \frac{-150}{2} = -75$

Поскольку скорость поезда не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -75$ не соответствует условию задачи. Таким образом, единственным решением является $v_1 = 65$.

Ответ: первоначальная скорость поезда была 65 км/ч.