Страница 182, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

32.20 а) $x_1 = 4; x_2 = 2;$

б) $x_1 = 3; x_2 = -5;$

в) $x_1 = -8; x_2 = 1;$

г) $x_1 = -6; x_2 = -2.$

Для составления квадратного уравнения, зная его корни $x_1$ и $x_2$, можно воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета. Согласно этой теореме, приведенное квадратное уравнение (т.е. уравнение, в котором коэффициент при $x^2$ равен 1) можно записать в виде:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$

Эта формула означает, что коэффициент при $x$ равен сумме корней, взятой с противоположным знаком, а свободный член равен их произведению.

а) Даны корни $x_1 = 4$ и $x_2 = 2$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = 4 + 2 = 6$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения:

$x^2 - (6)x + 8 = 0$

Ответ: $x^2 - 6x + 8 = 0$.

б) Даны корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = 3 + (-5) = -2$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-5) = -15$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения:

$x^2 - (-2)x + (-15) = 0$

Упростив выражение, получим:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Ответ: $x^2 + 2x - 15 = 0$.

в) Даны корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 1$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = -8 + 1 = -7$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = -8 \cdot 1 = -8$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения:

$x^2 - (-7)x + (-8) = 0$

Упростив выражение, получим:

$x^2 + 7x - 8 = 0$

Ответ: $x^2 + 7x - 8 = 0$.

г) Даны корни $x_1 = -6$ и $x_2 = -2$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = -6 + (-2) = -8$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-6) \cdot (-2) = 12$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения:

$x^2 - (-8)x + 12 = 0$

Упростив выражение, получим:

$x^2 + 8x + 12 = 0$

Ответ: $x^2 + 8x + 12 = 0$.

32.21 a) $x_1 = 2,5$; $x_2 = -2$;

б) $x_1 = \frac{2}{3}$; $x_2 = -1\frac{1}{2}$;

в) $x_1 = -2,4$; $x_2 = -1,5$;

г) $x_1 = \frac{3}{5}$; $x_2 = -1\frac{2}{3}$.

Чтобы составить квадратное уравнение по его корням $x_1$ и $x_2$, можно использовать теорему, обратную теореме Виета. Приведенное квадратное уравнение ($a=1$) будет иметь вид $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Найдем сумму и произведение корней для каждого случая и составим уравнение.

а) Даны корни $x_1 = 2,5$ и $x_2 = -2$.

1. Найдем сумму корней:

$S = x_1 + x_2 = 2,5 + (-2) = 0,5$.

2. Найдем произведение корней:

$P = x_1 \cdot x_2 = 2,5 \cdot (-2) = -5$.

3. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:

$x^2 - 0,5x - 5 = 0$.

4. Чтобы избавиться от десятичной дроби в коэффициенте, умножим обе части уравнения на 2:

$2(x^2 - 0,5x - 5) = 2 \cdot 0$

$2x^2 - x - 10 = 0$.

Ответ: $2x^2 - x - 10 = 0$.

б) Даны корни $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = -1\frac{1}{2}$.

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $x_2 = -1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

2. Найдем сумму корней, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$S = x_1 + x_2 = \frac{2}{3} + (-\frac{3}{2}) = \frac{4}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{5}{6}$.

3. Найдем произведение корней:

$P = x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -1$.

4. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:

$x^2 - (-\frac{5}{6})x + (-1) = 0$

$x^2 + \frac{5}{6}x - 1 = 0$.

5. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 6:

$6(x^2 + \frac{5}{6}x - 1) = 6 \cdot 0$

$6x^2 + 5x - 6 = 0$.

Ответ: $6x^2 + 5x - 6 = 0$.

в) Даны корни $x_1 = -2,4$ и $x_2 = -1,5$.

1. Найдем сумму корней:

$S = x_1 + x_2 = -2,4 + (-1,5) = -3,9$.

2. Найдем произведение корней:

$P = x_1 \cdot x_2 = (-2,4) \cdot (-1,5) = 3,6$.

3. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:

$x^2 - (-3,9)x + 3,6 = 0$

$x^2 + 3,9x + 3,6 = 0$.

4. Чтобы избавиться от десятичных дробей в коэффициентах, умножим обе части уравнения на 10:

$10(x^2 + 3,9x + 3,6) = 10 \cdot 0$

$10x^2 + 39x + 36 = 0$.

Ответ: $10x^2 + 39x + 36 = 0$.

г) Даны корни $x_1 = \frac{3}{5}$ и $x_2 = -1\frac{2}{3}$.

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $x_2 = -1\frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$.

2. Найдем сумму корней, приведя дроби к общему знаменателю 15:

$S = x_1 + x_2 = \frac{3}{5} + (-\frac{5}{3}) = \frac{9}{15} - \frac{25}{15} = -\frac{16}{15}$.

3. Найдем произведение корней:

$P = x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{5}{3}) = -1$.

4. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:

$x^2 - (-\frac{16}{15})x + (-1) = 0$

$x^2 + \frac{16}{15}x - 1 = 0$.

5. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 15:

$15(x^2 + \frac{16}{15}x - 1) = 15 \cdot 0$

$15x^2 + 16x - 15 = 0$.

Ответ: $15x^2 + 16x - 15 = 0$.

32.22 Упростите выражение:

a) $(\frac{1}{x+2} + \frac{5}{x^2-x-6} + \frac{2x}{x-3}) \cdot \frac{x}{2x+1};$

б) $(\frac{2}{x+1} + \frac{10}{x^2-3x-4} + \frac{3x}{x-4}) : \frac{3x+2}{3}.$

а)

Сначала упростим выражение в скобках: $ \frac{1}{x+2} + \frac{5}{x^2 - x - 6} + \frac{2x}{x-3} $.

Для этого найдем общий знаменатель. Разложим на множители знаменатель второй дроби: $x^2 - x - 6$. Корнями уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Следовательно, $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.

Теперь выражение в скобках имеет вид: $ \frac{1}{x+2} + \frac{5}{(x-3)(x+2)} + \frac{2x}{x-3} $.

Общий знаменатель для этих дробей – $(x-3)(x+2)$. Приведем все дроби к общему знаменателю и сложим их:

$ \frac{1 \cdot (x-3)}{(x+2)(x-3)} + \frac{5}{(x-3)(x+2)} + \frac{2x \cdot (x+2)}{(x-3)(x+2)} = \frac{x-3+5+2x(x+2)}{(x-3)(x+2)} $

Упростим числитель:

$ x - 3 + 5 + 2x^2 + 4x = 2x^2 + 5x + 2 $

Разложим числитель $2x^2 + 5x + 2$ на множители. Корнями уравнения $2x^2 + 5x + 2=0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = -1/2$. Тогда $2x^2 + 5x + 2 = 2(x+2)(x+1/2) = (x+2)(2x+1)$.

Выражение в скобках принимает вид:

$ \frac{(2x+1)(x+2)}{(x-3)(x+2)} $

Сократим дробь на $(x+2)$ (при условии, что $x \neq -2$):

$ \frac{2x+1}{x-3} $

Теперь выполним умножение (в условии задачи стоит знак умножения):

$ \frac{2x+1}{x-3} \cdot \frac{x}{2x+1} $

Сократим дробь на $(2x+1)$ (при условии, что $x \neq -1/2$):

$ \frac{x}{x-3} $

Ответ: $ \frac{x}{x-3} $.

б)

Сначала упростим выражение в скобках: $ \frac{2}{x+1} + \frac{10}{x^2 - 3x - 4} + \frac{3x}{x-4} $.

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $x^2 - 3x - 4$. Корнями уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$. Следовательно, $x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)$.

Теперь выражение в скобках имеет вид: $ \frac{2}{x+1} + \frac{10}{(x-4)(x+1)} + \frac{3x}{x-4} $.

Общий знаменатель – $(x-4)(x+1)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2(x-4)}{(x-4)(x+1)} + \frac{10}{(x-4)(x+1)} + \frac{3x(x+1)}{(x-4)(x+1)} = \frac{2(x-4)+10+3x(x+1)}{(x-4)(x+1)} $

Упростим числитель:

$ 2x - 8 + 10 + 3x^2 + 3x = 3x^2 + 5x + 2 $

Разложим числитель $3x^2 + 5x + 2$ на множители. Корнями уравнения $3x^2 + 5x + 2=0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = -2/3$. Тогда $3x^2 + 5x + 2 = 3(x+1)(x+2/3) = (x+1)(3x+2)$.

Выражение в скобках принимает вид:

$ \frac{(3x+2)(x+1)}{(x-4)(x+1)} $

Сократим дробь на $(x+1)$ (при условии, что $x \neq -1$):

$ \frac{3x+2}{x-4} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{3x+2}{x-4} : \frac{3x+2}{3} = \frac{3x+2}{x-4} \cdot \frac{3}{3x+2} $

Сократим дробь на $(3x+2)$ (при условии, что $x \neq -2/3$):

$ \frac{3}{x-4} $

Ответ: $ \frac{3}{x-4} $.

Решите уравнение:

32.23 а) $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 4x + 3} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x - 3}$;

б) $\frac{18}{x - 8} = \frac{x^2 - 7}{x^2 - 7x - 8} - \frac{6}{x + 1}$.

а) $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 4x + 3} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x - 3}$

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби $x^2 - 4x + 3$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Следовательно, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\frac{x^2 + 1}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x - 3}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x - 1 \neq 0$ и $x - 3 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x - 3)$ и умножим обе части уравнения на него:

$(x^2 + 1) + 2(x - 3) = 3(x - 1)$

Раскроем скобки:

$x^2 + 1 + 2x - 6 = 3x - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 2x - 5 = 3x - 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 + 2x - 3x - 5 + 3 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Снова воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Оба найденных корня, 2 и -1, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1, x \neq 3$).

Ответ: $-1; 2$.

б) $\frac{18}{x - 8} = \frac{x^2 - 7}{x^2 - 7x - 8} - \frac{6}{x + 1}$

Разложим на множители знаменатель $x^2 - 7x - 8$. Решим уравнение $x^2 - 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно -8. Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$. Значит, $x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1)$.

Перепишем уравнение с разложенным знаменателем:

$\frac{18}{x - 8} = \frac{x^2 - 7}{(x - 8)(x + 1)} - \frac{6}{x + 1}$

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x - 8 \neq 0$ и $x + 1 \neq 0$. Отсюда $x \neq 8$ и $x \neq -1$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 8)(x + 1)$:

$18(x + 1) = (x^2 - 7) - 6(x - 8)$

Раскроем скобки:

$18x + 18 = x^2 - 7 - 6x + 48$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$18x + 18 = x^2 - 6x + 41$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0 = x^2 - 6x - 18x + 41 - 18$

$x^2 - 24x + 23 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 24, а произведение равно 23. Очевидно, что корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 23$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 8, x \neq -1$). Оба корня, 1 и 23, удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $1; 23$.

32.24 а) $\frac{x^2 + 14}{x^2 - x - 2} + \frac{10}{x + 1} = \frac{3x}{x - 2}$;

б) $\frac{6}{x - 4} - \frac{3x}{x + 2} = \frac{x^2 + 20}{x^2 - 2x - 8}$.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2+14}{x^2-x-2} + \frac{10}{x+1} = \frac{3x}{x-2} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль.
$x^2-x-2 \neq 0$; $x+1 \neq 0$; $x-2 \neq 0$.
Разложим квадратный трехчлен $x^2-x-2$ на множители. Для этого решим уравнение $x^2-x-2=0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни: $x_1=2$ и $x_2=-1$.
Таким образом, $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$.
Условия для ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+1)$.
$ \frac{x^2+14}{(x-2)(x+1)} + \frac{10(x-2)}{(x+1)(x-2)} = \frac{3x(x+1)}{(x-2)(x+1)} $

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+1)$, который не равен нулю в ОДЗ, и перейдем к уравнению с числителями.
$ x^2+14 + 10(x-2) = 3x(x+1) $

4. Раскроем скобки и упростим полученное уравнение.
$ x^2+14 + 10x - 20 = 3x^2 + 3x $
$ x^2 + 10x - 6 = 3x^2 + 3x $
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$ 3x^2 - x^2 + 3x - 10x + 6 = 0 $
$ 2x^2 - 7x + 6 = 0 $

5. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1 $
Найдем корни:
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5 $

6. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -1$).
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, является посторонним.
Корень $x_2 = 1.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1.5$

б)

Исходное уравнение: $ \frac{6}{x-4} - \frac{3x}{x+2} = \frac{x^2+20}{x^2-2x-8} $

1. Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю.
$x-4 \neq 0$; $x+2 \neq 0$; $x^2-2x-8 \neq 0$.
Разложим на множители $x^2-2x-8$. Корни уравнения $x^2-2x-8=0$ по теореме Виета: $x_1=4$ и $x_2=-2$.
Значит, $x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)$.
Условия для ОДЗ: $x \neq 4$ и $x \neq -2$.

2. Общий знаменатель дробей равен $(x-4)(x+2)$. Приведем уравнение к общему знаменателю.
$ \frac{6(x+2)}{(x-4)(x+2)} - \frac{3x(x-4)}{(x+2)(x-4)} = \frac{x^2+20}{(x-4)(x+2)} $

3. Избавимся от знаменателя, умножив обе части на $(x-4)(x+2)$.
$ 6(x+2) - 3x(x-4) = x^2+20 $

4. Раскроем скобки и решим полученное уравнение.
$ 6x + 12 - (3x^2 - 12x) = x^2+20 $
$ 6x + 12 - 3x^2 + 12x = x^2+20 $
$ -3x^2 + 18x + 12 = x^2+20 $
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$ 0 = x^2 + 3x^2 - 18x + 20 - 12 $
$ 4x^2 - 18x + 8 = 0 $
Для удобства разделим все уравнение на 2:
$ 2x^2 - 9x + 4 = 0 $

5. Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 $
Найдем корни:
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5 $

6. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 4$ и $x \neq -2$).
Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.
Корень $x_2 = 0.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $0.5$

32.25 a) $\frac{x^2 - 5}{x^2 - 3x + 2} = \frac{x+3}{x-1} + \frac{2x+2}{x-2}$

б) $\frac{2x^2 + 9x}{x^2 - x - 6} + \frac{3x+2}{x+2} = \frac{2x+3}{x-3}$

а)

Исходное уравнение:

$\frac{x^2 - 5}{x^2 - 3x + 2} = \frac{x + 3}{x - 1} + \frac{2x + 2}{x - 2}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

Разложим знаменатель $x^2 - 3x + 2$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Знаменатели равны нулю при $x - 1 = 0 \implies x = 1$ и $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 2$.

2. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю.

Общий знаменатель для всех дробей в уравнении — $(x - 1)(x - 2)$. Перепишем уравнение:

$\frac{x^2 - 5}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{(x + 3)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} + \frac{(2x + 2)(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)}$

Поскольку знаменатели равны, мы можем приравнять числители (с учетом ОДЗ):

$x^2 - 5 = (x + 3)(x - 2) + (2x + 2)(x - 1)$

3. Раскроем скобки и решим полученное уравнение.

$x^2 - 5 = (x^2 - 2x + 3x - 6) + (2x^2 - 2x + 2x - 2)$

$x^2 - 5 = (x^2 + x - 6) + (2x^2 - 2)$

$x^2 - 5 = 3x^2 + x - 8$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 - x^2 + x - 8 + 5 = 0$

$2x^2 + x - 3 = 0$

4. Найдем корни квадратного уравнения.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Корень $x_1 = -1.5$ удовлетворяет условиям ОДЗ ($x \neq 1, x \neq 2$).

Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=1$ знаменатели обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: $x = -1.5$.

б)

Исходное уравнение:

$\frac{2x^2 + 9x}{x^2 - x - 6} + \frac{3x + 2}{x + 2} = \frac{2x + 3}{x - 3}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Разложим знаменатель $x^2 - x - 6$ на множители. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.

Знаменатели равны нулю при $x + 2 = 0 \implies x = -2$ и $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq -2$ и $x \neq 3$.

2. Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $(x - 3)(x + 2)$.

$\frac{2x^2 + 9x}{(x - 3)(x + 2)} + \frac{(3x + 2)(x - 3)}{(x + 2)(x - 3)} = \frac{(2x + 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)}$

Приравняем числители (с учетом ОДЗ):

$2x^2 + 9x + (3x + 2)(x - 3) = (2x + 3)(x + 2)$

3. Раскроем скобки и решим полученное уравнение.

$2x^2 + 9x + (3x^2 - 9x + 2x - 6) = (2x^2 + 4x + 3x + 6)$

$2x^2 + 9x + 3x^2 - 7x - 6 = 2x^2 + 7x + 6$

$5x^2 + 2x - 6 = 2x^2 + 7x + 6$

Перенесем все члены в одну сторону:

$5x^2 - 2x^2 + 2x - 7x - 6 - 6 = 0$

$3x^2 - 5x - 12 = 0$

4. Найдем корни квадратного уравнения.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169$.

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 13}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 13}{6} = \frac{18}{6} = 3$

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Корень $x_1 = -\frac{4}{3}$ удовлетворяет условиям ОДЗ ($x \neq -2, x \neq 3$).

Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=3$ знаменатели обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: $x = -\frac{4}{3}$.

32.26 Не используя формулу корней, найдите корни квадратного уравнения:

а) $x^2 - 88x + 780 = 0;$

б) $x^2 - 26x + 120 = 0;$

в) $x^2 - 26x + 105 = 0;$

г) $x^2 + 35x - 114 = 0.$

а) Для решения уравнения $x^2 - 88x + 780 = 0$ воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В данном случае $p = -88$ и $q = 780$. Таким образом, для корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться условия: $x_1 + x_2 = -(-88) = 88$ и $x_1 \cdot x_2 = 780$. Методом подбора находим, что этим условиям удовлетворяют числа 10 и 78, поскольку их сумма $10 + 78 = 88$, а их произведение $10 \cdot 78 = 780$. Следовательно, корни уравнения – это 10 и 78.
Ответ: 10; 78.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 - 26x + 120 = 0$. Применим теорему Виета. Здесь $p = -26$ и $q = 120$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -(-26) = 26$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 120$. Необходимо найти два числа, произведение которых равно 120, а сумма – 26. Такими числами являются 6 и 20, так как $6 + 20 = 26$ и $6 \cdot 20 = 120$. Таким образом, корни уравнения – это 6 и 20.
Ответ: 6; 20.

в) Для уравнения $x^2 - 26x + 105 = 0$ снова используем теорему Виета. В этом уравнении $p = -26$ и $q = 105$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -(-26) = 26$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 105$. Ищем два числа, которые в произведении дают 105, а в сумме – 26. Этими числами являются 5 и 21, поскольку $5 + 21 = 26$ и $5 \cdot 21 = 105$. Значит, корни уравнения – 5 и 21.
Ответ: 5; 21.

г) Решим уравнение $x^2 + 35x - 114 = 0$ с помощью теоремы Виета. Здесь $p = 35$ и $q = -114$. Получаем условия для корней: $x_1 + x_2 = -35$ и $x_1 \cdot x_2 = -114$. Так как произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Так как их сумма отрицательна, корень с большим модулем является отрицательным. Разложим 114 на множители: $114 = 2 \cdot 57 = 2 \cdot 3 \cdot 19$. Нам нужны два множителя, разность которых равна 35. Это числа 3 и 38 ($38 - 3 = 35$). Учитывая знаки, получаем корни -38 и 3. Проверяем: $-38 + 3 = -35$ и $-38 \cdot 3 = -114$. Условия выполняются.
Ответ: -38; 3.