Страница 183, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

32.27 Докажите, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет корень, равный 1, если $a + b + c = 0$.

Чтобы доказать, что число является корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной. Если в результате получается верное числовое равенство, то данное число действительно является корнем.

Рассмотрим уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Нам необходимо доказать, что $x=1$ является его корнем при условии, что $a + b + c = 0$.

Подставим значение $x=1$ в левую часть уравнения:

$a \cdot (1)^2 + b \cdot (1) + c$

Упростим полученное выражение:

$a \cdot 1 + b \cdot 1 + c = a + b + c$

По условию задачи мы знаем, что сумма коэффициентов равна нулю: $a + b + c = 0$.

Таким образом, при подстановке $x=1$ левая часть уравнения становится равной 0, что совпадает с правой частью уравнения. Мы получили верное равенство $0=0$.

Это доказывает, что $x=1$ является корнем уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, если $a + b + c = 0$.

Ответ: Утверждение доказано.

32.28 Используя теорему Виета и утверждение, доказанное в предыдущем упражнении, найдите корни уравнения:

a) $13x^2 + 18x - 31 = 0$;

б) $5x^2 - 27x + 22 = 0$;

в) $6x^2 - 26x + 20 = 0$;

г) $3x^2 + 35x - 38 = 0$.

В задаче требуется использовать свойство коэффициентов квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Утверждение, упомянутое в условии, заключается в следующем: если сумма коэффициентов $a+b+c=0$, то один из корней уравнения равен 1 ($x_1=1$), а второй, согласно теореме Виета для произведения корней ($x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$), равен $\frac{c}{a}$. Проверим это свойство для каждого уравнения.

а) $13x^2 + 18x - 31 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a = 13$, $b = 18$, $c = -31$.
Проверим сумму коэффициентов: $a + b + c = 13 + 18 + (-31) = 31 - 31 = 0$.
Так как сумма коэффициентов равна нулю, один из корней уравнения $x_1 = 1$.
Второй корень найдем по теореме Виета: $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-31}{13}$.
Ответ: $1; -\frac{31}{13}$.

б) $5x^2 - 27x + 22 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a = 5$, $b = -27$, $c = 22$.
Проверим сумму коэффициентов: $a + b + c = 5 + (-27) + 22 = 27 - 27 = 0$.
Так как сумма коэффициентов равна нулю, один из корней уравнения $x_1 = 1$.
Второй корень найдем по теореме Виета: $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{22}{5}$.
Ответ: $1; \frac{22}{5}$.

в) $6x^2 - 26x + 20 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a = 6$, $b = -26$, $c = 20$.
Проверим сумму коэффициентов: $a + b + c = 6 + (-26) + 20 = 26 - 26 = 0$.
Так как сумма коэффициентов равна нулю, один из корней уравнения $x_1 = 1$.
Второй корень найдем по теореме Виета: $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.
Ответ: $1; \frac{10}{3}$.

г) $3x^2 + 35x - 38 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 35$, $c = -38$.
Проверим сумму коэффициентов: $a + b + c = 3 + 35 + (-38) = 38 - 38 = 0$.
Так как сумма коэффициентов равна нулю, один из корней уравнения $x_1 = 1$.
Второй корень найдем по теореме Виета: $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-38}{3}$.
Ответ: $1; -\frac{38}{3}$.

32.29 Докажите, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет корень, равный $-1$, если $a - b + c = 0$.

32.29 Чтобы доказать, что число является корнем уравнения, необходимо подставить это число в уравнение вместо переменной. Если в результате подстановки левая часть уравнения окажется равной правой части (в данном случае нулю), то число является корнем.

Нам дано квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ и дополнительное условие, связывающее его коэффициенты: $a - b + c = 0$.

Проверим, является ли $x = -1$ корнем уравнения. Для этого подставим значение $x = -1$ в левую часть уравнения:

$a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c$

Выполним вычисления:

$a \cdot 1 + b \cdot (-1) + c = a - b + c$

Согласно условию задачи, мы знаем, что выражение $a - b + c$ равно нулю.

Следовательно, при подстановке $x = -1$ в уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ мы получаем верное равенство $0 = 0$. Это доказывает, что $x = -1$ является корнем данного уравнения при выполнении указанного условия.

Ответ: Что и требовалось доказать.

32.30 Используя теорему Виета и утверждение, доказанное в предыдущем упражнении, найдите корни уравнения:

а) $3x^2 + 18x + 15 = 0;$

б) $67x^2 - 105x - 172 = 0;$

в) $11x^2 + 17x + 6 = 0;$

г) $14x^2 - 37x - 51 = 0.$

Условие задачи предлагает использовать теорему Виета и утверждение, доказанное в предыдущем упражнении. Этим утверждением, по всей видимости, является следующее свойство коэффициентов квадратного уравнения:

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, если выполняется равенство $a - b + c = 0$, то один из его корней равен $x_1 = -1$.

Это легко проверить, подставив $x = -1$ в уравнение: $a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$. Если $a - b + c = 0$, то $x=-1$ действительно является корнем.

Второй корень $x_2$ можно найти, используя теорему Виета, согласно которой произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = c/a$. Подставив известный корень $x_1 = -1$, получим: $-1 \cdot x_2 = c/a$, откуда $x_2 = -c/a$.

Применим это свойство для решения данных уравнений.

а) $3x^2 + 18x + 15 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 18$, $c = 15$.
Проверим выполнение условия $a - b + c = 0$:
$3 - 18 + 15 = -15 + 15 = 0$.
Так как равенство выполняется, то один из корней уравнения $x_1 = -1$.
Второй корень найдем по формуле $x_2 = -c/a$:
$x_2 = - \frac{15}{3} = -5$.

Ответ: $-5; -1$.

б) $67x^2 - 105x - 172 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 67$, $b = -105$, $c = -172$.
Проверим выполнение условия $a - b + c = 0$:
$67 - (-105) + (-172) = 67 + 105 - 172 = 172 - 172 = 0$.
Так как равенство выполняется, то один из корней уравнения $x_1 = -1$.
Второй корень найдем по формуле $x_2 = -c/a$:
$x_2 = - \frac{-172}{67} = \frac{172}{67}$.

Ответ: $-1; \frac{172}{67}$.

в) $11x^2 + 17x + 6 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 11$, $b = 17$, $c = 6$.
Проверим выполнение условия $a - b + c = 0$:
$11 - 17 + 6 = -6 + 6 = 0$.
Так как равенство выполняется, то один из корней уравнения $x_1 = -1$.
Второй корень найдем по формуле $x_2 = -c/a$:
$x_2 = - \frac{6}{11}$.

Ответ: $-1; -\frac{6}{11}$.

г) $14x^2 - 37x - 51 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 14$, $b = -37$, $c = -51$.
Проверим выполнение условия $a - b + c = 0$:
$14 - (-37) + (-51) = 14 + 37 - 51 = 51 - 51 = 0$.
Так как равенство выполняется, то один из корней уравнения $x_1 = -1$.
Второй корень найдем по формуле $x_2 = -c/a$:
$x_2 = - \frac{-51}{14} = \frac{51}{14}$.

Ответ: $-1; \frac{51}{14}$.

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

32.31 а) $x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = -\sqrt{2}$;

б) $x_1 = 3\sqrt{5}$, $x_2 = -3\sqrt{5}$;

в) $x_1 = \sqrt{7}$, $x_2 = -\sqrt{7}$;

г) $x_1 = 9\sqrt{2}$, $x_2 = -9\sqrt{2}$.

Для составления квадратного уравнения по его известным корням $x_1$ и $x_2$ можно использовать теорему, обратную теореме Виета. Согласно ей, приведенное квадратное уравнение (с коэффициентом при $x^2$ равным 1) имеет вид:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$

Этот метод будет использован для решения всех подпунктов.

а) Даны корни $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

1. Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$.
2. Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^2 = -2$.
3. Подставим найденные значения в общую формулу уравнения: $x^2 - (0)x + (-2) = 0$.
4. Упростив, получаем итоговое уравнение: $x^2 - 2 = 0$.
Ответ: $x^2 - 2 = 0$.

б) Даны корни $x_1 = 3\sqrt{5}$ и $x_2 = -3\sqrt{5}$.

1. Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = 3\sqrt{5} + (-3\sqrt{5}) = 0$.
2. Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (3\sqrt{5}) \cdot (-3\sqrt{5}) = -(3^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = -(9 \cdot 5) = -45$.
3. Подставим значения в формулу: $x^2 - (0)x + (-45) = 0$.
4. Упростив, получаем: $x^2 - 45 = 0$.
Ответ: $x^2 - 45 = 0$.

в) Даны корни $x_1 = \sqrt{7}$ и $x_2 = -\sqrt{7}$.

1. Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \sqrt{7} + (-\sqrt{7}) = 0$.
2. Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{7} \cdot (-\sqrt{7}) = -(\sqrt{7})^2 = -7$.
3. Подставим значения в формулу: $x^2 - (0)x + (-7) = 0$.
4. Упростив, получаем: $x^2 - 7 = 0$.
Ответ: $x^2 - 7 = 0$.

г) Даны корни $x_1 = 9\sqrt{2}$ и $x_2 = -9\sqrt{2}$.

1. Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = 9\sqrt{2} + (-9\sqrt{2}) = 0$.
2. Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (9\sqrt{2}) \cdot (-9\sqrt{2}) = -(9^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = -(81 \cdot 2) = -162$.
3. Подставим значения в формулу: $x^2 - (0)x + (-162) = 0$.
4. Упростив, получаем: $x^2 - 162 = 0$.
Ответ: $x^2 - 162 = 0$.

32.32 a) $x_1 = 3 + \sqrt{2}$, $x_2 = 3 - \sqrt{2}$;

б) $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$;

в) $x_1 = 2 + \sqrt{5}$, $x_2 = 2 - \sqrt{5}$;

г) $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{3}}{7}$, $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{3}}{7}$.

а)

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1 = 3 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 3 - \sqrt{2}$ воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ справедливы соотношения: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = (3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 3 + 3 + \sqrt{2} - \sqrt{2} = 6$.

Таким образом, $-p = 6$, откуда $p = -6$.

2. Найдем произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$x_1 \cdot x_2 = (3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$.

Таким образом, $q = 7$.

3. Подставим найденные коэффициенты в уравнение $x^2 + px + q = 0$:

$x^2 - 6x + 7 = 0$.

Ответ: $x^2 - 6x + 7 = 0$.

б)

Даны корни $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$. Воспользуемся теоремой Виета.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{1^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

3. Составим уравнение, используя общую формулу $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (1)x + (-1) = 0$.

$x^2 - x - 1 = 0$.

Ответ: $x^2 - x - 1 = 0$.

в)

Даны корни $x_1 = 2 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{5}$. Воспользуемся теоремой Виета.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 2 + 2 = 4$.

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$.

3. Составим уравнение:

$x^2 - (4)x + (-1) = 0$.

$x^2 - 4x - 1 = 0$.

Ответ: $x^2 - 4x - 1 = 0$.

г)

Даны корни $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{3}}{7}$ и $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{3}}{7}$. Воспользуемся теоремой Виета.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = \frac{-4 - \sqrt{3}}{7} + \frac{-4 + \sqrt{3}}{7} = \frac{-4 - \sqrt{3} - 4 + \sqrt{3}}{7} = -\frac{8}{7}$.

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-4 - \sqrt{3}}{7}\right)\left(\frac{-4 + \sqrt{3}}{7}\right) = \frac{(-4)^2 - (\sqrt{3})^2}{7^2} = \frac{16 - 3}{49} = \frac{13}{49}$.

3. Составим приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - \left(-\frac{8}{7}\right)x + \frac{13}{49} = 0$.

$x^2 + \frac{8}{7}x + \frac{13}{49} = 0$.

Для получения уравнения с целыми коэффициентами, умножим обе части на 49:

$49x^2 + 49 \cdot \frac{8}{7}x + 49 \cdot \frac{13}{49} = 0$.

$49x^2 + 56x + 13 = 0$.

Ответ: $49x^2 + 56x + 13 = 0$.

Разложите выражение на множители:

32.33 a) $x + 6\sqrt{x} + 8;$

б) $x - 7\sqrt{x} - 18;$

в) $x - 12\sqrt{x} + 35;$

г) $x + 3\sqrt{x} - 40.$

а) $x + 6\sqrt{x} + 8$
Для разложения данного выражения на множители, заметим, что оно является квадратным относительно $\sqrt{x}$. Введем замену переменной: пусть $y = \sqrt{x}$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2 = y^2$. Подставив новую переменную в исходное выражение, получим квадратный трехчлен:
$y^2 + 6y + 8$
Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 + 6y + 8 = 0$. Это можно сделать с помощью теоремы Виета:

• Сумма корней: $y_1 + y_2 = -6$
• Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = 8$

Подбором находим корни: $y_1 = -4$ и $y_2 = -2$.
Разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $ay^2 + by + c = a(y - y_1)(y - y_2)$:
$y^2 + 6y + 8 = 1 \cdot (y - (-4))(y - (-2)) = (y + 4)(y + 2)$.
Теперь выполним обратную замену, подставив $\sqrt{x}$ вместо $y$:
$(\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} + 2)$.
Ответ: $(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 4)$.

б) $x - 7\sqrt{x} - 18$
Данное выражение также является квадратным относительно $\sqrt{x}$. Сделаем замену: пусть $y = \sqrt{x}$, тогда $x = y^2$. Получаем квадратный трехчлен:
$y^2 - 7y - 18$
Найдем корни уравнения $y^2 - 7y - 18 = 0$ по теореме Виета:

• Сумма корней: $y_1 + y_2 = 7$
• Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -18$

Корни уравнения: $y_1 = 9$ и $y_2 = -2$.
Раскладываем трехчлен на множители:
$y^2 - 7y - 18 = (y - 9)(y - (-2)) = (y - 9)(y + 2)$.
Выполняем обратную замену $y = \sqrt{x}$:
$(\sqrt{x} - 9)(\sqrt{x} + 2)$.
Ответ: $(\sqrt{x} - 9)(\sqrt{x} + 2)$.

в) $x - 12\sqrt{x} + 35$
Выполним замену переменной $y = \sqrt{x}$, что дает $x = y^2$. Исходное выражение превращается в квадратный трехчлен:
$y^2 - 12y + 35$
Решим квадратное уравнение $y^2 - 12y + 35 = 0$. По теореме Виета:

• Сумма корней: $y_1 + y_2 = 12$
• Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = 35$

Корни уравнения: $y_1 = 5$ и $y_2 = 7$.
Разложим трехчлен на множители:
$y^2 - 12y + 35 = (y - 5)(y - 7)$.
Возвращаемся к исходной переменной, подставляя $y = \sqrt{x}$:
$(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} - 7)$.
Ответ: $(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} - 7)$.

г) $x + 3\sqrt{x} - 40$
Произведем замену $y = \sqrt{x}$, отсюда $x = y^2$. Получаем следующее выражение:
$y^2 + 3y - 40$
Найдем корни уравнения $y^2 + 3y - 40 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $y_1 + y_2 = -3$
• Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -40$

Корни уравнения: $y_1 = 5$ и $y_2 = -8$.
Разложим квадратный трехчлен на множители:
$y^2 + 3y - 40 = (y - 5)(y - (-8)) = (y - 5)(y + 8)$.
Делаем обратную замену $y = \sqrt{x}$:
$(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 8)$.
Ответ: $(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 8)$.

32.34 a) $7x + 23\sqrt{x} + 16;$

б) $3x^3 - 10x\sqrt{x} + 3;$

в) $9x + 4\sqrt{x} - 5;$

г) $2x^3 - 5x\sqrt{x} + 2.$

a) $7x + 23\sqrt{x} + 16$

Чтобы разложить данное выражение на множители, введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{x}$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2 = t^2$. Заметим, что по определению квадратного корня $x \ge 0$ и $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное выражение:

$7t^2 + 23t + 16$

Мы получили квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7t^2 + 23t + 16 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 7 \cdot 16 = 529 - 448 = 81 = 9^2$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 + 9}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 - 9}{2 \cdot 7} = \frac{-32}{14} = -\frac{16}{7}$

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(t-t_1)(t-t_2)$:

$7(t - (-1))(t - (-\frac{16}{7})) = 7(t+1)(t+\frac{16}{7}) = (t+1)(7t+16)$

Выполним обратную замену, подставив $t = \sqrt{x}$:

$(\sqrt{x}+1)(7\sqrt{x}+16)$

Ответ: $(\sqrt{x}+1)(7\sqrt{x}+16)$

б) $3x^3 - 10x\sqrt{x} + 3$

Для разложения на множители введем замену. Заметим, что $x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$, а $x^3 = (x^{3/2})^2$. Пусть $t = x\sqrt{x}$. Тогда $x^3 = t^2$. Подразумевается, что $x \ge 0$.

Подставим новую переменную в выражение:

$3t^2 - 10t + 3$

Найдем корни квадратного уравнения $3t^2 - 10t + 3 = 0$ для разложения на множители.

Дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Разложим на множители:

$3(t-3)(t-\frac{1}{3}) = (t-3)(3t-1)$

Выполним обратную замену $t = x\sqrt{x}$:

$(x\sqrt{x}-3)(3x\sqrt{x}-1)$

Ответ: $(x\sqrt{x}-3)(3x\sqrt{x}-1)$

в) $9x + 4\sqrt{x} - 5$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, тогда $x = t^2$ ($x \ge 0$, $t \ge 0$).

Выражение принимает вид:

$9t^2 + 4t - 5$

Найдем корни уравнения $9t^2 + 4t - 5 = 0$.

Дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-5) = 16 + 180 = 196 = 14^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-4 + 14}{2 \cdot 9} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

$t_2 = \frac{-4 - 14}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1$

Разложим на множители:

$9(t - \frac{5}{9})(t - (-1)) = 9(t - \frac{5}{9})(t+1) = (9t-5)(t+1)$

Выполним обратную замену $t = \sqrt{x}$:

$(9\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+1)$

Ответ: $(9\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+1)$

г) $2x^3 - 5x\sqrt{x} + 2$

Сделаем замену, как и в пункте б). Пусть $t = x\sqrt{x} = x^{3/2}$, тогда $x^3 = t^2$ ($x \ge 0$).

Получим квадратный трехчлен:

$2t^2 - 5t + 2$

Найдем корни уравнения $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Разложение на множители:

$2(t-2)(t-\frac{1}{2}) = (t-2)(2t-1)$

Вернемся к исходной переменной, подставив $t = x\sqrt{x}$:

$(x\sqrt{x}-2)(2x\sqrt{x}-1)$

Ответ: $(x\sqrt{x}-2)(2x\sqrt{x}-1)$

32.35 а) $x^4 - 13x^2 + 36;$
б) $-2x^6 + 9x^3 - 4;$
в) $-x^4 + 20x^2 - 64;$
г) $15x^6 - 8x^3 + 1.$

а) Для разложения на множители биквадратного многочлена $x^4 - 13x^2 + 36$ введем замену переменной.
Пусть $y = x^2$. Так как $x^4 = (x^2)^2 = y^2$, исходное выражение можно переписать в виде квадратного трехчлена относительно переменной $y$:
$y^2 - 13y + 36$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 13y + 36 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней $y_1 + y_2 = 13$.
Произведение корней $y_1 \cdot y_2 = 36$.
Подбором находим корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = 9$.
Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(y-y_1)(y-y_2)$:
$y^2 - 13y + 36 = (y - 4)(y - 9)$.
Выполним обратную замену, подставив $x^2$ вместо $y$:
$(x^2 - 4)(x^2 - 9)$.
Оба множителя в полученном выражении являются разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$
Таким образом, окончательное разложение многочлена на множители имеет вид:
$(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)$.
Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)$.

б) Для разложения на множители выражения $-2x^6 + 9x^3 - 4$ сделаем замену переменной.
Пусть $y = x^3$. Тогда $x^6 = (x^3)^2 = y^2$. Исходное выражение принимает вид:
$-2y^2 + 9y - 4$.
Найдем корни квадратного уравнения $-2y^2 + 9y - 4 = 0$. Для удобства умножим обе части на -1:
$2y^2 - 9y + 4 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
Теперь разложим квадратный трехчлен $-2y^2 + 9y - 4$ на множители:
$-2(y - y_1)(y - y_2) = -2(y - \frac{1}{2})(y - 4)$.
Внесем множитель -2 в первую скобку:
$(-2y + 1)(y - 4)$ или $(1 - 2y)(y - 4)$.
Выполним обратную замену $y = x^3$:
$(1 - 2x^3)(x^3 - 4)$.
Также можно было записать как $-(2x^3 - 1)(x^3 - 4)$.
Ответ: $(1 - 2x^3)(x^3 - 4)$ или $-(2x^3 - 1)(x^3 - 4)$.

в) Для разложения на множители выражения $-x^4 + 20x^2 - 64$ вынесем за скобки -1:
$-(x^4 - 20x^2 + 64)$.
Выражение в скобках является биквадратным. Сделаем замену $y = x^2$:
$y^2 - 20y + 64$.
Найдем корни уравнения $y^2 - 20y + 64 = 0$ с помощью теоремы Виета:
$y_1 + y_2 = 20$, $y_1 \cdot y_2 = 64$.
Отсюда корни $y_1 = 4$, $y_2 = 16$.
Разложим трехчлен на множители: $y^2 - 20y + 64 = (y - 4)(y - 16)$.
Выполним обратную замену $y = x^2$:
$(x^2 - 4)(x^2 - 16)$.
Оба множителя являются разностью квадратов. Разложим их по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$
Подставим разложенные множители в исходное выражение, не забывая про знак минуса:
$-(x - 2)(x + 2)(x - 4)(x + 4)$.
Ответ: $-(x - 2)(x + 2)(x - 4)(x + 4)$.

г) Для разложения на множители выражения $15x^6 - 8x^3 + 1$ введем замену переменной.
Пусть $y = x^3$. Тогда выражение примет вид:
$15y^2 - 8y + 1$.
Найдем корни квадратного уравнения $15y^2 - 8y + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 1 = 64 - 60 = 4$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 15} = \frac{8 - 2}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 15} = \frac{8 + 2}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
Разложим квадратный трехчлен на множители:
$15(y - \frac{1}{5})(y - \frac{1}{3})$.
Представим множитель 15 как $5 \cdot 3$ и внесем каждый из множителей в соответствующую скобку:
$(5 \cdot (y - \frac{1}{5})) \cdot (3 \cdot (y - \frac{1}{3})) = (5y - 1)(3y - 1)$.
Выполним обратную замену $y = x^3$:
$(5x^3 - 1)(3x^3 - 1)$.
Ответ: $(5x^3 - 1)(3x^3 - 1)$.

32.36 Разложите квадратный трёхчлен на множители:

a) $x^2 - 12x + 24;$

б) $4x^2 - 4x - 1;$

в) $x^2 - 6x + 1;$

г) $4x^2 - 12x + 7.$

Чтобы разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

а) $x^2 - 12x + 24$

Сначала найдём корни уравнения $x^2 - 12x + 24 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -12$, $c = 24$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 144 - 96 = 48$.

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{16 \cdot 3}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{3}$.

Корни уравнения: $x_1 = 6 + 2\sqrt{3}$ и $x_2 = 6 - 2\sqrt{3}$.

Теперь подставим найденные корни и коэффициент $a=1$ в формулу разложения:

$x^2 - 12x + 24 = 1 \cdot (x - (6 + 2\sqrt{3}))(x - (6 - 2\sqrt{3})) = (x - 6 - 2\sqrt{3})(x - 6 + 2\sqrt{3})$.

Ответ: $(x - 6 - 2\sqrt{3})(x - 6 + 2\sqrt{3})$.

б) $4x^2 - 4x - 1$

Найдём корни уравнения $4x^2 - 4x - 1 = 0$.

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -4$, $c = -1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32$.

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm \sqrt{16 \cdot 2}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$.

Подставим корни и коэффициент $a=4$ в формулу разложения:

$4x^2 - 4x - 1 = 4\left(x - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right)\left(x - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}\right)$.

Упростим выражение, внеся множитель 4 в скобки ($4 = 2 \cdot 2$):

$\left[2\left(x - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right)\right]\left[2\left(x - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}\right)\right] = (2x - (1 + \sqrt{2}))(2x - (1 - \sqrt{2})) = (2x - 1 - \sqrt{2})(2x - 1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $(2x - 1 - \sqrt{2})(2x - 1 + \sqrt{2})$.

в) $x^2 - 6x + 1$

Найдём корни уравнения $x^2 - 6x + 1 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -6$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$.

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{16 \cdot 2}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = 3 + 2\sqrt{2}$ и $x_2 = 3 - 2\sqrt{2}$.

Подставим корни и коэффициент $a=1$ в формулу разложения:

$x^2 - 6x + 1 = 1 \cdot (x - (3 + 2\sqrt{2}))(x - (3 - 2\sqrt{2})) = (x - 3 - 2\sqrt{2})(x - 3 + 2\sqrt{2})$.

Ответ: $(x - 3 - 2\sqrt{2})(x - 3 + 2\sqrt{2})$.

г) $4x^2 - 12x + 7$

Найдём корни уравнения $4x^2 - 12x + 7 = 0$.

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -12$, $c = 7$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 144 - 112 = 32$.

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4} = \frac{12 \pm \sqrt{16 \cdot 2}}{8} = \frac{12 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$.

Подставим корни и коэффициент $a=4$ в формулу разложения:

$4x^2 - 12x + 7 = 4\left(x - \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\right)\left(x - \frac{3 - \sqrt{2}}{2}\right)$.

Упростим выражение, внеся множитель 4 в скобки ($4 = 2 \cdot 2$):

$\left[2\left(x - \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\right)\right]\left[2\left(x - \frac{3 - \sqrt{2}}{2}\right)\right] = (2x - (3 + \sqrt{2}))(2x - (3 - \sqrt{2})) = (2x - 3 - \sqrt{2})(2x - 3 + \sqrt{2})$.

Ответ: $(2x - 3 - \sqrt{2})(2x - 3 + \sqrt{2})$.