Страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

30.43 Велосипедист проехал 96 км на 2 ч быстрее, чем предполагал. При этом за каждый час он проезжал на 1 км больше, чем намеривался проезжать за 1 ч 15 мин. С какой скоростью ехал велосипедист?

1. Составление математической модели

Пусть $v$ (в км/ч) – это планируемая скорость велосипедиста. Общее расстояние, которое нужно проехать, составляет $S = 96$ км.
Планируемое время в пути: $t_{пл} = \frac{S}{v} = \frac{96}{v}$ часов.

Обозначим фактическую скорость как $v_{ф}$, а фактическое время как $t_{ф}$.
Согласно первому условию, велосипедист ехал на 2 часа быстрее, чем планировал:
$t_{ф} = t_{пл} - 2 = \frac{96}{v} - 2$.

Второе условие связывает фактическую и планируемую скорости. "За каждый час он проезжал на 1 км больше, чем намеревался проезжать за 1 ч 15 мин".
Сначала переведем 1 час 15 минут в часы:
$1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 1 + 0.25 \text{ ч} = 1.25$ часа.
Расстояние, которое велосипедист намеревался проехать за 1.25 часа с планируемой скоростью $v$, равно $1.25 \cdot v$ км.
Расстояние, которое он проезжал за 1 час фактически, — это его фактическая скорость $v_{ф}$.
Из этого условия следует уравнение:
$v_{ф} = (1.25 \cdot v) + 1$.

Теперь у нас есть система уравнений. Мы знаем, что $t_{ф} = \frac{96}{v_{ф}}$. Подставим сюда известные нам выражения:
$\frac{96}{v} - 2 = \frac{96}{1.25v + 1}$

2. Решение уравнения

Мы получили уравнение с одной неизвестной $v$. Решим его.
$\frac{96 - 2v}{v} = \frac{96}{1.25v + 1}$
Используем свойство пропорции:
$(96 - 2v)(1.25v + 1) = 96v$
Раскроем скобки в левой части:
$96 \cdot 1.25v + 96 \cdot 1 - 2v \cdot 1.25v - 2v \cdot 1 = 96v$
$120v + 96 - 2.5v^2 - 2v = 96v$
Приведем подобные слагаемые:
$118v + 96 - 2.5v^2 = 96v$
Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2.5v^2 - 118v + 96v - 96 = 0$
$2.5v^2 - 22v - 96 = 0$
Умножим уравнение на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:
$5v^2 - 44v - 192 = 0$

Найдем корни уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$a=5, b=-44, c=-192$
$D = (-44)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-192) = 1936 + 3840 = 5776$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{5776} = 76$.
Найдем возможные значения $v$:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{44 + 76}{2 \cdot 5} = \frac{120}{10} = 12$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{44 - 76}{2 \cdot 5} = \frac{-32}{10} = -3.2$
Скорость не может быть отрицательной, поэтому планируемая скорость велосипедиста $v = 12$ км/ч.

3. Нахождение фактической скорости

В задаче спрашивается, с какой скоростью ехал велосипедист, то есть необходимо найти фактическую скорость $v_{ф}$.
Воспользуемся формулой, выведенной ранее:
$v_{ф} = 1.25v + 1$
Подставим найденное значение $v = 12$ км/ч:
$v_{ф} = 1.25 \cdot 12 + 1 = 15 + 1 = 16$
Фактическая скорость велосипедиста равна 16 км/ч.

Проверка:
Планируемое время: $t_{пл} = 96 \text{ км} / 12 \text{ км/ч} = 8$ часов.
Фактическое время: $t_{ф} = 96 \text{ км} / 16 \text{ км/ч} = 6$ часов.
$8 - 6 = 2$ часа. Первое условие выполнено.
Планируемое расстояние за 1.25 часа: $12 \text{ км/ч} \cdot 1.25 \text{ ч} = 15$ км.
Фактическая скорость $16$ км/ч на $1$ км/ч больше, чем $15$ км. Второе условие выполнено.

Ответ: 16 км/ч.

30.44 В сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, добавили 100 г золота. В результате содержание золота в сплаве увеличилось на 20 %. Сколько граммов серебра в сплаве?

Пусть масса серебра в первоначальном сплаве равна $x$ граммов.

Тогда исходный сплав имел следующие характеристики:
Масса золота: $80$ г.
Масса серебра: $x$ г.
Общая масса сплава: $M_1 = 80 + x$ г.
Содержание (концентрация) золота в исходном сплаве в долях от единицы составляло: $C_1 = \frac{80}{80 + x}$.

После того как в сплав добавили 100 г чистого золота, его характеристики стали следующими:
Новая масса золота: $80 + 100 = 180$ г.
Масса серебра не изменилась: $x$ г.
Общая масса нового сплава: $M_2 = (80 + x) + 100 = 180 + x$ г.
Новое содержание золота в сплаве: $C_2 = \frac{180}{180 + x}$.

По условию задачи, содержание золота в сплаве увеличилось на 20%. Это означает, что новая концентрация стала на 0,2 (что эквивалентно 20%) больше первоначальной. Математически это выражается как:
$C_2 = C_1 + 0.2$

Составим уравнение, подставив в него выражения для $C_1$ и $C_2$:
$\frac{180}{180 + x} = \frac{80}{80 + x} + 0.2$

Для решения уравнения перенесем дробь с переменной в левую часть:
$\frac{180}{180 + x} - \frac{80}{80 + x} = 0.2$

Умножим обе части уравнения на $(180 + x)(80 + x)$, чтобы избавиться от знаменателей. Поскольку масса $x$ должна быть положительной, знаменатели не могут быть равны нулю.
$180(80 + x) - 80(180 + x) = 0.2(180 + x)(80 + x)$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$14400 + 180x - 14400 - 80x = 0.2(180 + x)(80 + x)$
После упрощения левой части получаем:
$100x = 0.2(180 + x)(80 + x)$

Разделим обе части уравнения на 0.2 (что эквивалентно умножению на 5):
$500x = (180 + x)(80 + x)$

Теперь раскроем скобки в правой части:
$500x = 14400 + 180x + 80x + x^2$
$500x = x^2 + 260x + 14400$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 260x - 500x + 14400 = 0$
$x^2 - 240x + 14400 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$ и $b=120$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(x - 120)^2 = 0$

Решая это простое уравнение, получаем:
$x - 120 = 0$
$x = 120$

Следовательно, масса серебра в сплаве составляет 120 граммов.

Проведем проверку найденного решения.
Первоначальная концентрация золота: $C_1 = \frac{80}{80 + 120} = \frac{80}{200} = 0.4$, что составляет 40%.
Конечная концентрация золота: $C_2 = \frac{180}{180 + 120} = \frac{180}{300} = 0.6$, что составляет 60%.
Увеличение концентрации: $60\% - 40\% = 20\%$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 120 граммов.

30.45 В сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, добавили 15 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на 30 %. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нём меди было больше, чем цинка?

Пусть $M$ кг — первоначальная масса сплава. По условию, в сплаве содержалось 5 кг цинка. Следовательно, масса меди в первоначальном сплаве составляла $(M - 5)$ кг.

Процентное содержание цинка в первоначальном сплаве (в долях от единицы) равно:

$C_1 = \frac{\text{масса цинка}}{\text{масса сплава}} = \frac{5}{M}$

Также по условию известно, что в первоначальном сплаве меди было больше, чем цинка. Запишем это в виде неравенства:

$M - 5 > 5$

$M > 10$ кг.

Это условие понадобится нам для выбора правильного корня уравнения.

После того как в сплав добавили 15 кг цинка, масса цинка в новом сплаве стала $5 + 15 = 20$ кг, а общая масса нового сплава стала $(M + 15)$ кг. Процентное содержание цинка в новом сплаве равно:

$C_2 = \frac{20}{M + 15}$

Из условия известно, что содержание цинка в сплаве повысилось на 30%, что означает, что разница между новым и старым процентным содержанием составляет 30 процентных пунктов, или 0,3 в долях от единицы. Составим уравнение:

$C_2 - C_1 = 0.3$

$\frac{20}{M + 15} - \frac{5}{M} = 0.3$

Теперь решим это уравнение. Для этого умножим обе части на общий знаменатель $M(M + 15)$, при условии что $M \neq 0$ и $M \neq -15$, что очевидно для массы сплава.

$20M - 5(M + 15) = 0.3M(M + 15)$

$20M - 5M - 75 = 0.3M^2 + 4.5M$

$15M - 75 = 0.3M^2 + 4.5M$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $aM^2 + bM + c = 0$:

$0.3M^2 - 10.5M + 75 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все члены уравнения на 10:

$3M^2 - 105M + 750 = 0$

Разделим все члены на 3 для упрощения:

$M^2 - 35M + 250 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета или формулой для корней. Посчитаем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 250 = 1225 - 1000 = 225$

$\sqrt{D} = 15$

Корни уравнения:

$M_1 = \frac{-(-35) + 15}{2 \cdot 1} = \frac{35 + 15}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$M_2 = \frac{-(-35) - 15}{2 \cdot 1} = \frac{35 - 15}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Мы получили два возможных значения для первоначальной массы сплава: 25 кг и 10 кг. Теперь нужно проверить их на соответствие условию $M > 10$ кг.

• Корень $M_2 = 10$ не удовлетворяет условию $M > 10$. Если бы масса сплава была 10 кг, то масса меди была бы $10 - 5 = 5$ кг, что не больше массы цинка (5 кг).
• Корень $M_1 = 25$ удовлетворяет условию $25 > 10$. В этом случае масса меди составляет $25 - 5 = 20$ кг, что больше 5 кг.

Таким образом, единственное подходящее решение — 25 кг.

Ответ: 25 кг.

Решите уравнение:

31.1 а) $x^2 - 14x + 33 = 0$;

б) $x^2 - 10x - 39 = 0$;

в) $x^2 + 12x - 28 = 0$;

г) $x^2 + 12x + 35 = 0$.

а) Решим квадратное уравнение $x^2 - 14x + 33 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a=1$, $b=-14$, $c=33$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64$.
Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11$.
$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: 3; 11.

б) Решим квадратное уравнение $x^2 - 10x - 39 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-10$, $c=-39$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-39) = 100 + 156 = 256$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-10) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 16}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
$x_2 = \frac{-(-10) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 16}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Ответ: -3; 13.

в) Решим квадратное уравнение $x^2 + 12x - 28 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=12$, $c=-28$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-12 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-12 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{-28}{2} = -14$.
Ответ: -14; 2.

г) Решим квадратное уравнение $x^2 + 12x + 35 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=12$, $c=35$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-12 + 2}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$.
$x_2 = \frac{-12 - 2}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$.
Ответ: -7; -5.

31.2 a) $x^2 + 34x + 280 = 0$;

б) $x^2 - 16x - 132 = 0$;

B) $x^2 - 24x + 108 = 0$;

г) $x^2 + 26x - 120 = 0$.

а)

Решим квадратное уравнение $x^2 + 34x + 280 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты $a=1$, $b=34$, $c=280$. Так как коэффициент $b$ является четным числом, для решения удобно использовать формулу корней квадратного уравнения через четверть дискриминанта ($D_1$ или $D/4$). Сначала вычислим $k = \frac{b}{2}$: $k = \frac{34}{2} = 17$. Теперь вычислим $D_1$ по формуле $D_1 = k^2 - ac$: $D_1 = 17^2 - 1 \cdot 280 = 289 - 280 = 9$. Поскольку $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$: $x_1 = \frac{-17 - \sqrt{9}}{1} = -17 - 3 = -20$. $x_2 = \frac{-17 + \sqrt{9}}{1} = -17 + 3 = -14$.

Ответ: $-20; -14$.

б)

Решим квадратное уравнение $x^2 - 16x - 132 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-16$, $c=-132$. Поскольку коэффициент $b$ четный, воспользуемся формулой с $D_1$. $k = \frac{b}{2} = \frac{-16}{2} = -8$. Вычисляем $D_1$: $D_1 = k^2 - ac = (-8)^2 - 1 \cdot (-132) = 64 + 132 = 196$. $D_1 > 0$, следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня. Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$: $x_1 = \frac{-(-8) - \sqrt{196}}{1} = 8 - 14 = -6$. $x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{196}}{1} = 8 + 14 = 22$.

Ответ: $-6; 22$.

в)

Решим квадратное уравнение $x^2 - 24x + 108 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-24$, $c=108$. Коэффициент $b$ четный, поэтому применяем формулу с $D_1$. $k = \frac{b}{2} = \frac{-24}{2} = -12$. Вычисляем $D_1$: $D_1 = k^2 - ac = (-12)^2 - 1 \cdot 108 = 144 - 108 = 36$. $D_1 > 0$, значит, у уравнения два различных действительных корня. Находим корни: $x_1 = \frac{-(-12) - \sqrt{36}}{1} = 12 - 6 = 6$. $x_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{36}}{1} = 12 + 6 = 18$.

Ответ: $6; 18$.

г)

Решим квадратное уравнение $x^2 + 26x - 120 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=26$, $c=-120$. Коэффициент $b$ четный, используем формулу с $D_1$. $k = \frac{b}{2} = \frac{26}{2} = 13$. Вычисляем $D_1$: $D_1 = k^2 - ac = 13^2 - 1 \cdot (-120) = 169 + 120 = 289$. $D_1 > 0$, следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня. Находим корни: $x_1 = \frac{-13 - \sqrt{289}}{1} = -13 - 17 = -30$. $x_2 = \frac{-13 + \sqrt{289}}{1} = -13 + 17 = 4$.

Ответ: $-30; 4$.

31.3 a) $9x^2 - 20x - 21 = 0;$

б) $7x^2 + 6x - 1 = 0;$

в) $5x^2 + 8x - 4 = 0;$

г) $5x^2 - 4x - 1 = 0.$

а) Решим квадратное уравнение $9x^2 - 20x - 21 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=9$, $b=-20$, $c=-21$.
Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-21) = 400 + 756 = 1156$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:
$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.
$x_1 = \frac{-(-20) + 34}{2 \cdot 9} = \frac{20 + 34}{18} = \frac{54}{18} = 3$.
$x_2 = \frac{-(-20) - 34}{2 \cdot 9} = \frac{20 - 34}{18} = \frac{-14}{18} = -\frac{7}{9}$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -\frac{7}{9}$.

б) Решим квадратное уравнение $7x^2 + 6x - 1 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=7$, $b=6$, $c=-1$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$.
$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-6 + 8}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.
$x_2 = \frac{-6 - 8}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{7}, x_2 = -1$.

в) Решим квадратное уравнение $5x^2 + 8x - 4 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=8$, $c=-4$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$.
$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
$x_2 = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$.
Ответ: $x_1 = \frac{2}{5}, x_2 = -2$.

г) Решим квадратное уравнение $5x^2 - 4x - 1 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=-4$, $c=-1$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.
$\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-4) + 6}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
$x_2 = \frac{-(-4) - 6}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{5}$.

31.4 а) $x^2 - 2x - 1 = 0;$

б) $x^2 + 4x + 1 = 0;$

в) $x^2 + 2x - 2 = 0;$

г) $x^2 - 6x + 7 = 0.$

а) $x^2 - 2x - 1 = 0$

Решим данное квадратное уравнение методом выделения полного квадрата. Для этого перенесем свободный член (-1) в правую часть уравнения:

$x^2 - 2x = 1$

Чтобы выражение в левой части стало полным квадратом $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$, нам нужно добавить к нему член $a^2$. В нашем случае $2ax = 2x$, значит $a=1$. Следовательно, нужно добавить $a^2 = 1^2 = 1$ к обеим частям уравнения:

$x^2 - 2x + 1 = 1 + 1$

Теперь левая часть является полным квадратом $(x-1)^2$:

$(x - 1)^2 = 2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x - 1 = \pm\sqrt{2}$

Отсюда находим два корня, перенеся -1 в правую часть:

$x_1 = 1 + \sqrt{2}$, $x_2 = 1 - \sqrt{2}$

Ответ: $1 \pm \sqrt{2}$

б) $x^2 + 4x + 1 = 0$

Решим уравнение методом выделения полного квадрата. Перенесем свободный член (1) в правую часть:

$x^2 + 4x = -1$

Чтобы левая часть стала полным квадратом $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$, нужно добавить $a^2$. У нас $2ax=4x$, значит $a=2$. Добавляем $a^2 = 2^2 = 4$ к обеим частям:

$x^2 + 4x + 4 = -1 + 4$

Сворачиваем левую часть в полный квадрат:

$(x + 2)^2 = 3$

Извлекаем квадратный корень:

$x + 2 = \pm\sqrt{3}$

Находим корни уравнения:

$x_1 = -2 + \sqrt{3}$, $x_2 = -2 - \sqrt{3}$

Ответ: $-2 \pm \sqrt{3}$

в) $x^2 + 2x - 2 = 0$

Решим уравнение методом выделения полного квадрата. Перенесем свободный член (-2) в правую часть:

$x^2 + 2x = 2$

Для получения полного квадрата в левой части, определим недостающий член. Для $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$, имеем $2ax=2x$, откуда $a=1$. Добавим $a^2 = 1^2 = 1$ к обеим частям:

$x^2 + 2x + 1 = 2 + 1$

Свернем левую часть:

$(x + 1)^2 = 3$

Извлечем квадратный корень:

$x + 1 = \pm\sqrt{3}$

Находим корни уравнения:

$x_1 = -1 + \sqrt{3}$, $x_2 = -1 - \sqrt{3}$

Ответ: $-1 \pm \sqrt{3}$

г) $x^2 - 6x + 7 = 0$

Решим уравнение методом выделения полного квадрата. Перенесем свободный член (7) в правую часть:

$x^2 - 6x = -7$

Чтобы левая часть стала полным квадратом $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$, нужно добавить $a^2$. У нас $2ax = 6x$, значит $a=3$. Добавляем $a^2 = 3^2 = 9$ к обеим частям:

$x^2 - 6x + 9 = -7 + 9$

Сворачиваем левую часть в полный квадрат:

$(x - 3)^2 = 2$

Извлекаем квадратный корень:

$x - 3 = \pm\sqrt{2}$

Находим корни уравнения:

$x_1 = 3 + \sqrt{2}$, $x_2 = 3 - \sqrt{2}$

Ответ: $3 \pm \sqrt{2}$