Страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Назовите три этапа математического моделирования.

Математическое моделирование — это метод исследования реальных объектов, процессов или систем путем их замены на математические модели и последующего анализа этих моделей. Процесс математического моделирования можно условно разделить на три крупных, последовательных этапа.

1. Построение математической модели
Это первый и наиболее творческий этап, на котором реальная ситуация или проблема переводится на формальный язык математики. Этот этап включает несколько шагов: во-первых, определение цели моделирования и анализ объекта, выделение его самых существенных свойств и связей при отбрасывании второстепенных (этот процесс называется идеализацией); во-вторых, введение переменных для описания состояния системы и параметров, характеризующих ее свойства; в-третьих, формулирование математических соотношений (уравнений, неравенств, функций, систем уравнений, логических условий и т.д.), которые связывают эти переменные и параметры. В результате создается математическая модель. Например, для описания движения маятника при малых отклонениях мы пренебрегаем сопротивлением воздуха и трением в подвесе, и тогда моделью его движения будет дифференциальное уравнение $x'' + \omega^2 x = 0$, где $\omega^2 = g/L$.
Ответ: Первый этап — построение математической модели, то есть описание реального явления или процесса с помощью математических терминов, формул и уравнений.

2. Исследование математической модели
На этом этапе происходит работа исключительно в рамках построенной математической модели. Цель — получить из этой модели определенные следствия, то есть решить поставленную математическую задачу. Работа ведется чисто математическими методами, без обращения к реальному объекту. Это может быть аналитическое решение уравнений, применение численных методов для получения приближенного решения (часто с использованием компьютеров), исследование функции на экстремумы, доказательство теорем о свойствах модели и т.д. В примере с маятником на этом этапе мы бы решали дифференциальное уравнение и получили бы закон движения в виде функции $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$.
Ответ: Второй этап — исследование модели, то есть решение поставленной математической задачи с помощью математических методов для получения количественных или качественных результатов в математической форме.

3. Интерпретация и проверка адекватности модели
Это заключительный этап, на котором осуществляется "обратный перевод" с языка математики на язык реального мира. Он включает в себя два важных компонента. Интерпретация — это осмысление полученного математического решения в терминах исходной реальной задачи. Например, полученная функция $x(t)$ интерпретируется как зависимость отклонения маятника от времени. Проверка адекватности — это сравнение результатов, предсказанных моделью, с реальными данными, полученными из наблюдений или экспериментов. Если предсказания модели достаточно точно совпадают с реальностью, модель считается адекватной. Если расхождения велики, модель признается неадекватной, и это означает, что на первом этапе были сделаны слишком грубые допущения. В таком случае необходимо вернуться к первому этапу и усовершенствовать модель (например, учесть трение). Это показывает, что процесс моделирования часто является циклическим.
Ответ: Третий этап — интерпретация полученного математического решения в терминах исходной задачи и проверка его соответствия реальности (проверка адекватности модели).

2. Что является математической моделью каждой разобранной вами в этом параграфе задачи?

Математическая модель — это представление реальной (нематематической) задачи с помощью математических понятий и соотношений. Процесс построения математической модели называется математическим моделированием. Он состоит из трех основных этапов:

1. Построение модели: перевод условия задачи с обыденного языка на язык математики. На этом этапе выбираются переменные и составляются уравнения, неравенства или системы, описывающие связи между ними.
2. Работа с моделью: решение полученного уравнения, неравенства или системы математическими методами.
3. Интерпретация результата: перевод полученного математического решения обратно на язык исходной задачи и анализ его соответствия реальности.

Вопрос касается именно первого этапа — определения математической модели для задач. Поскольку конкретные задачи из параграфа не предоставлены, рассмотрим несколько типичных примеров, для которых строятся математические модели в курсе алгебры.

Задача 1

Условие: На одной полке стояло в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с первой полки убрали 8 книг, а на вторую поставили 14, на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг было на каждой полке изначально?

Для составления математической модели введем неизвестную величину. Пусть $x$ — это количество книг, которое было на второй полке изначально.

Согласно условию, на первой полке было в 3 раза больше книг, то есть $3x$.

После изменений на первой полке стало $(3x - 8)$ книг.

На второй полке стало $(x + 14)$ книг.

Поскольку количество книг на полках стало равным, мы можем приравнять эти два выражения. Полученное уравнение и будет математической моделью задачи.

Ответ: Математической моделью задачи является линейное уравнение $3x - 8 = x + 14$.

Задача 2

Условие: Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника переменными $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Из условия $2(a+b) = 34$, что можно упростить до $a+b = 17$. Это первое уравнение нашей модели.

Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = d^2$. Подставив значение диагонали $d=13$, получаем второе уравнение: $a^2 + b^2 = 13^2$, то есть $a^2 + b^2 = 169$.

Чтобы найти стороны $a$ и $b$, нужно решить систему этих двух уравнений.

Ответ: Математической моделью задачи является система уравнений $\begin{cases} a+b = 17 \\ a^2 + b^2 = 169 \end{cases}$.

Задача 3

Условие: Катер прошел 24 км по течению реки и 15 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Собственная скорость катера равна 14 км/ч. Найдите скорость течения реки.

Обозначим искомую скорость течения реки за $v$ км/ч.

Скорость катера по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $(14 + v)$ км/ч.

Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $(14 - v)$ км/ч.

Время движения находится по формуле $t = S/V$.

Время движения по течению: $t_1 = \frac{24}{14+v}$ часов.

Время движения против течения: $t_2 = \frac{15}{14-v}$ часов.

Общее время в пути равно сумме $t_1$ и $t_2$, и по условию оно составляет 3 часа. Составим уравнение, которое и будет математической моделью.

Ответ: Математической моделью задачи является дробно-рациональное уравнение $\frac{24}{14+v} + \frac{15}{14-v} = 3$.

3. Какая из разобранных задач оказалась наиболее трудной для вашего понимания?

3.

Этот вопрос является субъективным и обращен к личному опыту учащегося. Как у искусственного интеллекта, у меня нет личного опыта, эмоций или "понимания" в человеческом смысле. Я обрабатываю информацию на основе заложенных в меня алгоритмов и не могу испытывать трудности при решении задач.

Кроме того, вопрос ссылается на "разобранные задачи", но сам список или содержание этих задач не предоставлены. Чтобы ответить, какая из них была наиболее трудной, необходимо знать, о каких именно задачах идет речь.

По этим причинам я не могу дать ответ на поставленный вопрос. Ответ должен основываться на вашем личном опыте анализа предыдущих заданий.

Ответ: Невозможно дать ответ, поскольку вопрос требует субъективной оценки на основе личного опыта и предполагает наличие контекста (ранее разобранных задач), который отсутствует.

4. Какая из разобранных задач оказалась для вас наиболее интересной?

4. Наиболее интересной для меня оказалась задача о нахождении суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Эта задача особенно увлекательна, так как на первый взгляд кажется парадоксальным, что сумма бесконечного числа положительных слагаемых может быть конечным числом. Рассмотрим, например, задачу нахождения суммы ряда: $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$ Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = \frac{1}{2}$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Поскольку $|q| < 1$, прогрессия является сходящейся, и ее сумма может быть вычислена по формуле: $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставив наши значения, получаем: $S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$. Результат, что сумма этих бесконечно уменьшающихся дробей в точности равна единице, является очень изящным и наглядным. Он демонстрирует мощь математического анализа и помогает глубже понять концепцию предела.
Ответ: Задача о нахождении суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

29.21 a) $\frac{x + 1}{x^3 - 3x^2 + x - 3} + \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{x - 2}{x^3 - 3x^2 - x + 3}$

б) $\frac{25}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{16x^4 - 1} = \frac{18x + 5}{8x^3 + 4x^2 + 2x + 1}$

в) $\frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 + 2x^2 + 4x + 8} = \frac{2x + 2}{x^2 - 4}$

г) $\frac{5}{x^3 - 2x^2 - 2x + 1} - \frac{2}{x^3 - 4x^2 + 4x - 1} = \frac{1}{x^2 - 1}$

а) $\frac{x+1}{x^3 - 3x^2 + x - 3} + \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{x-2}{x^3 - 3x^2 - x + 3}$

1. Разложим знаменатели на множители.

$x^3 - 3x^2 + x - 3 = x^2(x - 3) + 1(x - 3) = (x^2 + 1)(x - 3)$

$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$

$x^3 - 3x^2 - x + 3 = x^2(x - 3) - 1(x - 3) = (x^2 - 1)(x - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)$

2. Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{x+1}{(x^2+1)(x-3)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} = \frac{x-2}{(x-1)(x+1)(x-3)}$

3. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$ $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$ $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$ ($x^2+1 \neq 0$ для всех действительных $x$). Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 1, x \neq 3$.

4. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x^2+1)(x-3)(x-1)(x+1)$:

$(x+1)(x-1)(x+1) + 1(x-3) = (x-2)(x^2+1)$

5. Упростим и решим полученное уравнение:

$(x+1)^2(x-1) + x - 3 = x^3 + x - 2x^2 - 2$

$(x^2 + 2x + 1)(x - 1) + x - 3 = x^3 - 2x^2 + x - 2$

$x^3 - x^2 + 2x^2 - 2x + x - 1 + x - 3 = x^3 - 2x^2 + x - 2$

$x^3 + x^2 - 4 = x^3 - 2x^2 + x - 2$

$x^2 + 2x^2 - x - 4 + 2 = 0$

$3x^2 - x - 2 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

7. Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 1$. Корень $x_2 = -2/3$ входит в ОДЗ. Следовательно, единственным решением является $x = -2/3$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

б) $\frac{25}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{16x^4 - 1} = \frac{18x + 5}{8x^3 + 4x^2 + 2x + 1}$

1. Разложим знаменатели на множители.

$16x^4 - 1 = (4x^2 - 1)(4x^2 + 1) = (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)$

$8x^3 + 4x^2 + 2x + 1 = 4x^2(2x + 1) + 1(2x + 1) = (4x^2 + 1)(2x + 1)$

2. Перепишем уравнение:

$\frac{25}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)} = \frac{18x + 5}{(4x^2 + 1)(2x + 1)}$

3. ОДЗ: $2x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1/2$; $2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1/2$. Итак, $x \neq \pm 1/2$.

4. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)$:

$25(2x - 1)(2x + 1) - (8x + 29) = (18x + 5)(2x - 1)$

5. Упростим и решим уравнение:

$25(4x^2 - 1) - 8x - 29 = 36x^2 - 18x + 10x - 5$

$100x^2 - 25 - 8x - 29 = 36x^2 - 8x - 5$

$100x^2 - 8x - 54 = 36x^2 - 8x - 5$

$100x^2 - 36x^2 - 8x + 8x - 54 + 5 = 0$

$64x^2 - 49 = 0$

$64x^2 = 49$

$x^2 = \frac{49}{64}$

$x = \pm \sqrt{\frac{49}{64}} \implies x = \pm \frac{7}{8}$

6. Оба корня, $x = 7/8$ и $x = -7/8$, входят в ОДЗ.

Ответ: $\pm\frac{7}{8}$.

в) $\frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 + 2x^2 + 4x + 8} = \frac{2x + 2}{x^2 - 4}$

1. Разложим знаменатели на множители.

$x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = x^2(x - 2) + 4(x - 2) = (x^2 + 4)(x - 2)$

$x^3 + 2x^2 + 4x + 8 = x^2(x + 2) + 4(x + 2) = (x^2 + 4)(x + 2)$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

2. Перепишем уравнение:

$\frac{x^2 - 2x + 4}{(x^2 + 4)(x - 2)} + \frac{x^2 + 2x + 4}{(x^2 + 4)(x + 2)} = \frac{2x + 2}{(x - 2)(x + 2)}$

3. ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$; $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Итак, $x \neq \pm 2$.

4. Умножим обе части на общий знаменатель $(x^2 + 4)(x - 2)(x + 2)$:

$(x^2 - 2x + 4)(x + 2) + (x^2 + 2x + 4)(x - 2) = (2x + 2)(x^2 + 4)$

5. Левая часть представляет собой сумму формул суммы и разности кубов:

$(x^3 + 2^3) + (x^3 - 2^3) = (2x + 2)(x^2 + 4)$

$x^3 + 8 + x^3 - 8 = 2x^3 + 8x + 2x^2 + 8$

$2x^3 = 2x^3 + 2x^2 + 8x + 8$

$0 = 2x^2 + 8x + 8$

6. Разделим уравнение на 2:

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x + 2)^2 = 0$

$x + 2 = 0 \implies x = -2$

7. Проверим корень на соответствие ОДЗ. Корень $x = -2$ не входит в ОДЗ ($x \neq -2$), поэтому является посторонним.

Ответ: корней нет.

г) $\frac{5}{x^3 - 2x^2 - 2x + 1} - \frac{2}{x^3 - 4x^2 + 4x - 1} = \frac{1}{x^2 - 1}$

1. Разложим знаменатели на множители. Для кубических многочленов найдем рациональные корни.

Для $P(x) = x^3 - 2x^2 - 2x + 1$: $P(-1) = -1 - 2 + 2 + 1 = 0$, значит $(x+1)$ является множителем. Делением в столбик получаем: $x^3 - 2x^2 - 2x + 1 = (x + 1)(x^2 - 3x + 1)$.

Для $Q(x) = x^3 - 4x^2 + 4x - 1$: $Q(1) = 1 - 4 + 4 - 1 = 0$, значит $(x-1)$ является множителем. Делением в столбик получаем: $x^3 - 4x^2 + 4x - 1 = (x - 1)(x^2 - 3x + 1)$.

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

2. Перепишем уравнение:

$\frac{5}{(x + 1)(x^2 - 3x + 1)} - \frac{2}{(x - 1)(x^2 - 3x + 1)} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)}$

3. ОДЗ: $x \neq \pm 1$ и $x^2 - 3x + 1 \neq 0$. Корни $x^2 - 3x + 1 = 0$ равны $x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 1, x \neq \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

4. Умножим обе части на общий знаменатель $(x - 1)(x + 1)(x^2 - 3x + 1)$:

$5(x - 1) - 2(x + 1) = 1(x^2 - 3x + 1)$

5. Упростим и решим уравнение:

$5x - 5 - 2x - 2 = x^2 - 3x + 1$

$3x - 7 = x^2 - 3x + 1$

$0 = x^2 - 3x - 3x + 1 + 7$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 2, x_2 = 4$.

7. Оба корня $x = 2$ и $x = 4$ входят в ОДЗ, так как они не равны $\pm 1$ и $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $2; 4$.

Решите уравнение, используя метод введения новой переменной:

29.22 а) $(3x - 4)^2 - 5(3x - 4) + 6 = 0;$

б) $3(2x + 1)^2 + 10(2x + 1) + 3 = 0;$

в) $(5x + 1)^2 - 3(5x + 1) - 4 = 0;$

г) $2(7x - 6)^2 + 3(7x - 6) + 1 = 0.$

а) $(3x - 4)^2 - 5(3x - 4) + 6 = 0$

Это биквадратное уравнение, которое можно решить методом введения новой переменной. Пусть $t = 3x - 4$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = 3$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти $x$:

1. Для $t_1 = 2$:

$3x - 4 = 2$

$3x = 2 + 4$

$3x = 6$

$x_1 = 2$

2. Для $t_2 = 3$:

$3x - 4 = 3$

$3x = 3 + 4$

$3x = 7$

$x_2 = \frac{7}{3}$

Ответ: $2; \frac{7}{3}$.

б) $3(2x + 1)^2 + 10(2x + 1) + 3 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = 2x + 1$. Подставим ее в уравнение:

$3t^2 + 10t + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Корни уравнения для $t$:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

$t_2 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Выполним обратную замену:

1. Для $t_1 = -3$:

$2x + 1 = -3$

$2x = -3 - 1$

$2x = -4$

$x_1 = -2$

2. Для $t_2 = -\frac{1}{3}$:

$2x + 1 = -\frac{1}{3}$

$2x = -\frac{1}{3} - 1$

$2x = -\frac{4}{3}$

$x_2 = -\frac{4}{3 \cdot 2} = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-2; -\frac{2}{3}$.

в) $(5x + 1)^2 - 3(5x + 1) - 4 = 0$

Пусть $t = 5x + 1$. Заменяем выражение в исходном уравнении:

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни:

$t_1 = 4$

$t_2 = -1$

Выполним обратную замену:

1. Для $t_1 = 4$:

$5x + 1 = 4$

$5x = 3$

$x_1 = \frac{3}{5} = 0.6$

2. Для $t_2 = -1$:

$5x + 1 = -1$

$5x = -2$

$x_2 = -\frac{2}{5} = -0.4$

Ответ: $-0.4; 0.6$.

г) $2(7x - 6)^2 + 3(7x - 6) + 1 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 7x - 6$. Уравнение примет вид:

$2t^2 + 3t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4}$

$t_1 = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. Для $t_1 = -1$:

$7x - 6 = -1$

$7x = 5$

$x_1 = \frac{5}{7}$

2. Для $t_2 = -\frac{1}{2}$:

$7x - 6 = -\frac{1}{2}$

$7x = 6 - \frac{1}{2}$

$7x = \frac{11}{2}$

$x_2 = \frac{11}{14}$

Ответ: $\frac{5}{7}; \frac{11}{14}$.

29.23 a) $(x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = 0;$

б) $2(x^2 + 3)^2 - 7(x^2 + 3) + 3 = 0;$

в) $(x^2 + 1)^2 - 6(x^2 + 1) + 5 = 0;$

г) $2(x^2 + 4x)^2 + 17(x^2 + 4x) + 36 = 0.$

а) $(x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = 0$

Данное уравнение решается методом введения новой переменной. Заметим, что выражение $(x^2 + 2x)$ повторяется.
Пусть $t = x^2 + 2x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 2$
$t_1 \cdot t_2 = -3$
Отсюда получаем $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Если $t = 3$, то:
$x^2 + 2x = 3$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

2. Если $t = -1$, то:
$x^2 + 2x = -1$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
Это формула квадрата суммы: $(x+1)^2 = 0$.
Отсюда получаем корень $x_3 = -1$.

Объединяя все найденные корни, получаем решение исходного уравнения.
Ответ: $-3; -1; 1$.

б) $2(x^2 + 3)^2 - 7(x^2 + 3) + 3 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 3$. Тогда уравнение примет вид:
$2t^2 - 7t + 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Выполним обратную замену.
1. Если $t = 3$, то:
$x^2 + 3 = 3$
$x^2 = 0$
$x_1 = 0$

2. Если $t = \frac{1}{2}$, то:
$x^2 + 3 = \frac{1}{2}$
$x^2 = \frac{1}{2} - 3$
$x^2 = -\frac{5}{2}$
Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, в этом случае действительных корней нет.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $0$.

в) $(x^2 + 1)^2 - 6(x^2 + 1) + 5 = 0$

Используем метод замены переменной. Пусть $t = x^2 + 1$. Уравнение преобразуется к виду:
$t^2 - 6t + 5 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Выполним обратную замену.
1. Если $t = 1$, то:
$x^2 + 1 = 1$
$x^2 = 0$
$x_1 = 0$

2. Если $t = 5$, то:
$x^2 + 1 = 5$
$x^2 = 4$
Отсюда $x_2 = 2$ и $x_3 = -2$.

Таким образом, получаем три корня.
Ответ: $-2; 0; 2$.

г) $2(x^2 + 4x)^2 + 17(x^2 + 4x) + 36 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 4x$. Уравнение примет вид:
$2t^2 + 17t + 36 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 2 \cdot 36 = 289 - 288 = 1$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-17 + 1}{4} = \frac{-16}{4} = -4$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-17 - 1}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}$

Выполним обратную замену.
1. Если $t = -4$, то:
$x^2 + 4x = -4$
$x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x+2)^2 = 0$
$x_1 = -2$

2. Если $t = -\frac{9}{2}$, то:
$x^2 + 4x = -\frac{9}{2}$
$x^2 + 4x + \frac{9}{2} = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения: $D_x = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{9}{2} = 16 - 18 = -2$.
Так как $D_x < 0$, действительных корней нет.

Следовательно, исходное уравнение имеет один корень.
Ответ: $-2$.

29.24 a) $(x^2 - 9)^2 - 8(x^2 - 9) + 7 = 0;$

б) $(x^2 - 4x + 4)^2 + 2(x - 2)^2 = 3;$

в) $(x^2 - 3x)^2 + 3(x^2 - 3x) - 28 = 0;$

г) $2(x^2 + 2x + 1)^2 - (x + 1)^2 = 1.$

а) $(x^2 - 9)^2 - 8(x^2 - 9) + 7 = 0;$

Это биквадратное уравнение относительно выражения $(x^2 - 9)$. Введем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 9$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 8y + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = 7$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая.

Случай 1: $y_1 = 1$

$x^2 - 9 = 1$

$x^2 = 10$

$x = \pm\sqrt{10}$

Случай 2: $y_2 = 7$

$x^2 - 9 = 7$

$x^2 = 16$

$x = \pm\sqrt{16}$

$x = \pm 4$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x_1 = -\sqrt{10}, x_2 = \sqrt{10}, x_3 = -4, x_4 = 4$.

б) $(x^2 - 4x + 4)^2 + 2(x - 2)^2 = 3;$

Заметим, что выражение в первой скобке является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Подставим это в исходное уравнение:

$((x - 2)^2)^2 + 2(x - 2)^2 = 3$

$(x - 2)^4 + 2(x - 2)^2 - 3 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = (x - 2)^2$. Так как $y$ представляет собой квадрат выражения, то $y \ge 0$. Уравнение примет вид:

$y^2 + 2y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = -3$

Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним. Рассматриваем только $y_1 = 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$(x - 2)^2 = 1$

Это уравнение распадается на два:

1) $x - 2 = 1 \implies x = 3$

2) $x - 2 = -1 \implies x = 1$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 3$.

в) $(x^2 - 3x)^2 + 3(x^2 - 3x) - 28 = 0;$

Это уравнение также решается методом замены переменной. Пусть $y = x^2 - 3x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$y^2 + 3y - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -28. Корни:

$y_1 = 4$

$y_2 = -7$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y_1 = 4$

$x^2 - 3x = 4$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна 3, а произведение -4. Корни:

$x_1 = 4$

$x_2 = -1$

Случай 2: $y_2 = -7$

$x^2 - 3x = -7$

$x^2 - 3x + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только два корня.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 4$.

г) $2(x^2 + 2x + 1)^2 - (x + 1)^2 = 1.$

Заметим, что выражение в первой скобке является полным квадратом: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$. Подставим это в уравнение:

$2((x + 1)^2)^2 - (x + 1)^2 = 1$

$2(x + 1)^4 - (x + 1)^2 - 1 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = (x + 1)^2$. Учитываем, что $y \ge 0$. Уравнение примет вид:

$2y^2 - y - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$

$y_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$y_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Корень $y_2 = -1/2$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому отбрасываем его. Остается только $y_1 = 1$.

Выполним обратную замену:

$(x + 1)^2 = 1$

Это уравнение распадается на два:

1) $x + 1 = 1 \implies x = 0$

2) $x + 1 = -1 \implies x = -2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 0$.

29.25 а) $48 - 14x^{-1} + x^{-2} = 0;$

б) $9(x + 2)^{-2} - 6(x + 2)^{-1} + 1 = 0;$

в) $24 - 10x^{-1} + x^{-2} = 0;$

г) $16(x - 3)^{-2} + 8(x - 3)^{-1} + 1 = 0.$

а) Исходное уравнение: $48 - 14x^{-1} + x^{-2} = 0$. Это уравнение сводится к квадратному путем введения замены. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$. Пусть $y = x^{-1}$, тогда $y^2 = x^{-2}$. Подставив замену в уравнение, получаем: $y^2 - 14y + 48 = 0$. По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 6$ и $y_2 = 8$, так как $6 \cdot 8 = 48$ и $6 + 8 = 14$. Теперь выполним обратную замену. 1) $x^{-1} = 6$, что означает $\frac{1}{x} = 6$, откуда $x_1 = \frac{1}{6}$. 2) $x^{-1} = 8$, что означает $\frac{1}{x} = 8$, откуда $x_2 = \frac{1}{8}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{8}; \frac{1}{6}$.

б) Исходное уравнение: $9(x + 2)^{-2} - 6(x + 2)^{-1} + 1 = 0$. ОДЗ: $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Введем замену $y = (x + 2)^{-1}$. Тогда уравнение принимает вид: $9y^2 - 6y + 1 = 0$. Это выражение является полным квадратом: $(3y - 1)^2 = 0$. Отсюда $3y - 1 = 0$, следовательно $y = \frac{1}{3}$. Выполним обратную замену: $(x + 2)^{-1} = \frac{1}{3}$, или $\frac{1}{x+2} = \frac{1}{3}$. Из этого равенства следует, что $x + 2 = 3$. Решая это уравнение, находим $x = 1$. Корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: 1.

в) Исходное уравнение: $24 - 10x^{-1} + x^{-2} = 0$. ОДЗ: $x \neq 0$. Сделаем замену переменной $y = x^{-1}$. Уравнение преобразуется к виду: $y^2 - 10y + 24 = 0$. По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 4$ и $y_2 = 6$, так как $4 \cdot 6 = 24$ и $4 + 6 = 10$. Производим обратную замену: 1) $x^{-1} = 4$, то есть $\frac{1}{x} = 4$, откуда $x_1 = \frac{1}{4}$. 2) $x^{-1} = 6$, то есть $\frac{1}{x} = 6$, откуда $x_2 = \frac{1}{6}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{6}; \frac{1}{4}$.

г) Исходное уравнение: $16(x - 3)^{-2} + 8(x - 3)^{-1} + 1 = 0$. ОДЗ: $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$. Введем замену $y = (x - 3)^{-1}$. Тогда уравнение принимает вид: $16y^2 + 8y + 1 = 0$. Левая часть является полным квадратом: $(4y + 1)^2 = 0$. Отсюда $4y + 1 = 0$, следовательно $y = -\frac{1}{4}$. Выполним обратную замену: $(x - 3)^{-1} = -\frac{1}{4}$, или $\frac{1}{x-3} = -\frac{1}{4}$. Из этого равенства следует, что $x - 3 = -4$. Решая это уравнение, находим $x = -1$. Корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: -1.

29.26 a) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) = 3;$

б) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = 2.9;$

в) $(x^2 - 5x + 7)^2 - (x - 2)(x - 3) = 1;$

г) $\frac{x^2 + x - 5}{x} + \frac{3x}{x^2 + x - 5} + 4 = 0.$

а) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) = 3$

Это уравнение можно упростить, введя замену. Заметим, что выражение $x^2 - 3x$ повторяется в обоих множителях.
Пусть $t = x^2 - 3x$. Тогда уравнение принимает вид:
$(t + 1)(t + 3) = 3$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$t^2 + 3t + t + 3 = 3$
$t^2 + 4t + 3 = 3$

Перенесем 3 в левую часть:
$t^2 + 4t = 0$

Вынесем $t$ за скобки:
$t(t + 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = 0$ или $t_2 = -4$.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.
1) Если $t = 0$, то:
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Получаем корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

2) Если $t = -4$, то:
$x^2 - 3x = -4$
$x^2 - 3x + 4 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 3$.

б) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = 2,9$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $x^2 + 1 \neq 0$. Второе условие выполняется для любого действительного $x$. Итак, ОДЗ: $x \neq 0$.
Заметим, что дроби в левой части являются взаимно обратными. Введем замену.
Пусть $t = \frac{x^2 + 1}{x}$. Тогда $\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{t}$.
Представим 2,9 в виде обыкновенной дроби: $2,9 = \frac{29}{10}$.

Уравнение принимает вид:
$t + \frac{1}{t} = \frac{29}{10}$

Умножим обе части уравнения на $10t$ (при условии $t \neq 0$):
$10t^2 + 10 = 29t$
$10t^2 - 29t + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$.
$D = (-29)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 10 = 841 - 400 = 441 = 21^2$.
$t = \frac{29 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 10} = \frac{29 \pm 21}{20}$.
$t_1 = \frac{29 + 21}{20} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$.
$t_2 = \frac{29 - 21}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.

Выполним обратную замену.
1) Если $t = \frac{5}{2}$, то:
$\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{5}{2}$
$2(x^2 + 1) = 5x$
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$x = \frac{5 \pm 3}{4}$.
$x_1 = \frac{5+3}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$.

2) Если $t = \frac{2}{5}$, то:
$\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{2}{5}$
$5(x^2 + 1) = 2x$
$5x^2 - 2x + 5 = 0$
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 4 - 100 = -96$.
Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Оба найденных корня $2$ и $0,5$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0,5; 2$.

в) $(x^2 - 5x + 7)^2 - (x - 2)(x - 3) = 1$

Раскроем скобки во втором слагаемом:
$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(x^2 - 5x + 7)^2 - (x^2 - 5x + 6) = 1$.

Заметим, что выражения в скобках очень похожи. Введем замену.
Пусть $t = x^2 - 5x + 6$. Тогда $x^2 - 5x + 7 = t + 1$.

Уравнение принимает вид:
$(t + 1)^2 - t = 1$

Раскроем скобки и упростим:
$t^2 + 2t + 1 - t = 1$
$t^2 + t = 0$

Вынесем $t$ за скобки:
$t(t + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = 0$ или $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену.
1) Если $t = 0$, то:
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

2) Если $t = -1$, то:
$x^2 - 5x + 6 = -1$
$x^2 - 5x + 7 = 0$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.
Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Ответ: $2; 3$.

г) $\frac{x^2 + x - 5}{x} + \frac{3x}{x^2 + x - 5} + 4 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x^2 + x - 5 \neq 0$.
Введем замену. Пусть $t = \frac{x^2 + x - 5}{x}$.
Тогда $\frac{3x}{x^2 + x - 5} = \frac{3}{t}$.

Уравнение принимает вид:
$t + \frac{3}{t} + 4 = 0$

Умножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$):
$t^2 + 3 + 4t = 0$
$t^2 + 4t + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета:
$t_1 = -1$, $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену.
1) Если $t = -1$, то:
$\frac{x^2 + x - 5}{x} = -1$
$x^2 + x - 5 = -x$
$x^2 + 2x - 5 = 0$
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}$.
$x_1 = -1 + \sqrt{6}$, $x_2 = -1 - \sqrt{6}$.

2) Если $t = -3$, то:
$\frac{x^2 + x - 5}{x} = -3$
$x^2 + x - 5 = -3x$
$x^2 + 4x - 5 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_3 = 1$, $x_4 = -5$.

Все четыре найденных корня $(-1 \pm \sqrt{6}, 1, -5)$ не равны нулю. Проверим условие $x^2 + x - 5 \neq 0$. Корни этого уравнения $x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$. Ни один из наших ответов не совпадает с этими значениями. Следовательно, все четыре корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-5; 1; -1 - \sqrt{6}; -1 + \sqrt{6}$.