Страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

28.40 В чемпионате по волейболу было сыграно 66 матчей. Сколько команд участвовало в чемпионате, если каждая команда играла с каждой по одному разу?

Пусть в чемпионате участвовало $n$ команд.

По условию задачи, каждая команда играла с каждой другой командой ровно один раз. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний. Количество матчей равно числу способов выбрать 2 команды из $n$ имеющихся, поскольку каждый матч — это игра между двумя командами.

Число сочетаний из $n$ элементов по 2 вычисляется по формуле: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Нам известно, что всего было сыграно 66 матчей. Следовательно, мы можем составить уравнение: $\frac{n(n-1)}{2} = 66$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2: $n(n-1) = 66 \cdot 2$ $n(n-1) = 132$

Мы получили уравнение, которое можно решить подбором (найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 132) или как квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду $an^2 + bn + c = 0$: $n^2 - n = 132$ $n^2 - n - 132 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$

Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $n_1 = \frac{1 + \sqrt{529}}{2} = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $n_2 = \frac{1 - \sqrt{529}}{2} = \frac{1 - 23}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Поскольку количество команд не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -11$ не является решением задачи. Следовательно, в чемпионате участвовало 12 команд.

Ответ: 12

28.41 Несколько одноклассников после окончания школы решили обменяться фотокарточками (каждый с каждым). Сколько учащихся обменялись фотокарточками, если всего было роздано 210 фотографий?

Пусть $n$ — это количество одноклассников, которые обменялись фотокарточками.

Согласно условию, каждый ученик обменивается фотографией с каждым другим учеником. Это означает, что каждый из $n$ учеников отдает свою фотокарточку остальным $(n-1)$ ученикам.

Следовательно, общее количество розданных фотографий равно произведению числа учеников на количество фотографий, которые отдал каждый.

Составим уравнение на основе данных задачи: $n \cdot (n-1) = 210$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $an^2 + bn + c = 0$: $n^2 - n = 210$ $n^2 - n - 210 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-210$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$

Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два корня, которые мы найдем по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 29}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 29}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Количество учащихся не может быть отрицательным числом, поэтому корень $n_2 = -14$ не является решением задачи. Таким образом, количество одноклассников равно 15.

Проверим результат: если было 15 учащихся, каждый из них отдал $15-1=14$ фотографий. Общее число розданных фотографий составляет $15 \times 14 = 210$, что соответствует условию.

Ответ: 15 учащихся.

28.42 Задумали двузначное число. Оказалось, что если к квадрату этого числа прибавить 36, то получится число, большее задуманного в 20 раз. Какое число задумано?

Пусть задуманное двузначное число равно $x$.

Согласно условию задачи, если к квадрату этого числа ($x^2$) прибавить 36, то получится число, которое в 20 раз больше задуманного ($20x$).

Составим и решим уравнение на основе этого условия:

$x^2 + 36 = 20x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 20x + 36 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -20$, $c = 36$.

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 400 - 144 = 256$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$x_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 16}{2} = \frac{4}{2} = 2$

В условии сказано, что задуманное число — двузначное. Из двух найденных корней этому условию удовлетворяет только $x_1 = 18$. Корень $x_2 = 2$ является однозначным числом и, следовательно, не является решением задачи.

Выполним проверку. Задуманное число — 18.

Квадрат этого числа, увеличенный на 36: $18^2 + 36 = 324 + 36 = 360$.

Число, большее задуманного в 20 раз: $20 \cdot 18 = 360$.

$360 = 360$. Равенство выполняется, значит, число найдено верно.

Ответ: 18.

28.43 Из пункта А одновременно выехали грузовой и легковой автомобили, один на север, другой на восток. Скорость легкового автомобиля на $20 \text{ км/ч}$ больше скорости грузового. Через $1,5 \text{ ч}$ расстояние между ними составило $150 \text{ км}$. Найдите скорости автомобилей.

Пусть скорость грузового автомобиля равна $x$ км/ч. Поскольку скорость легкового автомобиля на 20 км/ч больше, то его скорость составляет $(x + 20)$ км/ч.

Автомобили выехали одновременно и двигались в течение 1,5 часов. За это время грузовой автомобиль, двигаясь на север, проехал расстояние $S_г = 1.5 \cdot x$ км. Легковой автомобиль, двигаясь на восток, проехал расстояние $S_л = 1.5 \cdot (x + 20)$ км.

Так как направления движения автомобилей (север и восток) взаимно перпендикулярны, их пути от точки А образуют катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между автомобилями через 1,5 часа (150 км) является гипотенузой этого треугольника.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:$S_г^2 + S_л^2 = d^2$

Подставим в формулу выражения для расстояний и известное значение гипотенузы:$(1.5x)^2 + (1.5(x + 20))^2 = 150^2$

Вынесем общий множитель $1.5^2$ за скобки в левой части уравнения:$1.5^2 \cdot (x^2 + (x + 20)^2) = 150^2$

Разделим обе части уравнения на $1.5^2$:$x^2 + (x + 20)^2 = (\frac{150}{1.5})^2$$x^2 + (x + 20)^2 = 100^2$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$x^2 + x^2 + 40x + 400 = 10000$$2x^2 + 40x + 400 - 10000 = 0$$2x^2 + 40x - 9600 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:$x^2 + 20x - 4800 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Найдем корни уравнения:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2} = \frac{-20 \pm 140}{2}$

$x_1 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$$x_2 = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -80$ не подходит по условию задачи. Следовательно, скорость грузового автомобиля $x = 60$ км/ч.

Найдем скорость легкового автомобиля:$x + 20 = 60 + 20 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость грузового автомобиля — 60 км/ч, скорость легкового автомобиля — 80 км/ч.

28.44 После двух последовательных повышений зарплаты она возросла на 32 % по сравнению с первоначальной. Найдите первоначальный процент повышения зарплаты, если второе повышение по количеству процентов было в 2 раза большим, чем первое.

Пусть первоначальная зарплата равна $S$, а процент первого повышения равен $x\%$. Согласно условию, второе повышение по количеству процентов было в 2 раза большим, то есть составило $2x\%$.

После первого повышения зарплата станет равной:

$S_1 = S + S \cdot \frac{x}{100} = S \cdot (1 + \frac{x}{100})$

После второго повышения новая зарплата $S_1$ увеличивается на $2x\%$. Итоговая зарплата $S_2$ составит:

$S_2 = S_1 + S_1 \cdot \frac{2x}{100} = S_1 \cdot (1 + \frac{2x}{100})$

Подставим выражение для $S_1$:

$S_2 = S \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{2x}{100})$

По условию, итоговая зарплата $S_2$ на 32% больше первоначальной $S$. Это можно записать так:

$S_2 = S + S \cdot \frac{32}{100} = S \cdot (1 + 0.32) = 1.32 \cdot S$

Теперь приравняем два полученных выражения для $S_2$:

$S \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{2x}{100}) = 1.32 \cdot S$

Так как $S \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $S$:

$(1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{2x}{100}) = 1.32$

Для упрощения решения введем замену $p = \frac{x}{100}$. Уравнение примет вид:

$(1+p)(1+2p) = 1.32$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ap^2+bp+c=0$:

$1 + 2p + p + 2p^2 = 1.32$

$2p^2 + 3p + 1 - 1.32 = 0$

$2p^2 + 3p - 0.32 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-0.32) = 9 + 2.56 = 11.56$

Найдем корни уравнения $p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$p_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{11.56}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 3.4}{4}$

Получаем два корня:

$p_1 = \frac{-3 + 3.4}{4} = \frac{0.4}{4} = 0.1$

$p_2 = \frac{-3 - 3.4}{4} = \frac{-6.4}{4} = -1.6$

Поскольку $x$ представляет собой процент повышения, это положительная величина. Следовательно, $p = \frac{x}{100}$ также должно быть положительным. Поэтому корень $p_2 = -1.6$ не является решением задачи.

Выбираем корень $p_1 = 0.1$ и делаем обратную замену, чтобы найти $x$:

$\frac{x}{100} = 0.1$

$x = 0.1 \cdot 100 = 10$

Таким образом, первоначальный процент повышения зарплаты составляет 10%.

Ответ: 10%.

28.45 Решите уравнение:

а) $x^2 + (\sqrt{x})^2 - 2 = 0;$

б) $x^2 + (\sqrt{x - 2})^2 - 4 = 0;$

в) $x^2 - 3(\sqrt{x})^2 - 4 = 0;$

г) $x^2 + (\sqrt{x + 3})^2 - 15 = 0.$

а) $x^2 + (\sqrt{x})^2 - 2 = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует выражение $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Теперь упростим уравнение. Используя свойство $(\sqrt{a})^2 = a$ для $a \ge 0$, получаем:

$x^2 + x - 2 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$). Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 0$. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 0$, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $1$.

б) $x^2 + (\sqrt{x-2})^2 - 4 = 0$

ОДЗ для данного уравнения определяется условием $x - 2 \ge 0$, что означает $x \ge 2$.

Упростим уравнение, зная, что $(\sqrt{x-2})^2 = x-2$ при $x \ge 2$:

$x^2 + (x - 2) - 4 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-6$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$). Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 2$. Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < 2$, поэтому он является посторонним.

Ответ: $2$.

в) $x^2 - 3(\sqrt{x})^2 - 4 = 0$

ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.

Упростим исходное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{3+5}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{3-5}{2} = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$). Корень $x_1 = 4$ подходит. Корень $x_2 = -1$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: $4$.

г) $x^2 + (\sqrt{x+3})^2 - 15 = 0$

ОДЗ уравнения определяется условием $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

Упростим уравнение:

$x^2 + (x + 3) - 15 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-12$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -3$). Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge -3$. Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < -3$, и является посторонним.

Ответ: $3$.

28.46 Решите уравнение с параметром p:

a) $x^2 - (2p - 2)x + p^2 - 2p = 0;$

б) $x^2 - \frac{2p + 3}{6}x + \frac{p}{6} = 0;$

в) $x^2 - (1 - p)x - 2p = 2p^2;$

г) $x^2 + \frac{3p + 2}{6}x + \frac{p}{6} = 0.$

а) Дано квадратное уравнение относительно $x$: $x^2 - (2p - 2)x + p^2 - 2p = 0$.
Для решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-(2p-2)$, $c=p^2-2p$.
$D = (-(2p - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p^2 - 2p) = (2p - 2)^2 - 4(p^2 - 2p) = (4p^2 - 8p + 4) - (4p^2 - 8p) = 4$.
Так как $D = 4 > 0$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $p$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{(2p - 2) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{2p - 2 \pm 2}{2}$.
$x_1 = \frac{2p - 2 + 2}{2} = \frac{2p}{2} = p$.
$x_2 = \frac{2p - 2 - 2}{2} = \frac{2p - 4}{2} = p - 2$.

Ответ: $x_1 = p$, $x_2 = p - 2$.

б) Дано уравнение $x^2 - \frac{2p + 3}{6}x + \frac{p}{6} = 0$.
Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:
$6x^2 - (2p + 3)x + p = 0$.
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=6$, $b=-(2p+3)$, $c=p$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-(2p + 3))^2 - 4 \cdot 6 \cdot p = (2p + 3)^2 - 24p = (4p^2 + 12p + 9) - 24p = 4p^2 - 12p + 9$.
Заметим, что дискриминант является полным квадратом: $D = (2p - 3)^2$.
Так как $D \ge 0$ при любом $p$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{(2p + 3) \pm \sqrt{(2p - 3)^2}}{2 \cdot 6} = \frac{2p + 3 \pm (2p - 3)}{12}$.
$x_1 = \frac{2p + 3 + (2p - 3)}{12} = \frac{4p}{12} = \frac{p}{3}$.
$x_2 = \frac{2p + 3 - (2p - 3)}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{p}{3}$.

в) Дано уравнение $x^2 - (1 - p)x - 2p = 2p^2$.
Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + (p - 1)x - 2p - 2p^2 = 0$.
$x^2 + (p - 1)x - (2p^2 + 2p) = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=p-1$, $c=-(2p^2+2p)$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (p - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2p^2 + 2p)) = (p^2 - 2p + 1) + (8p^2 + 8p) = 9p^2 + 6p + 1$.
Дискриминант является полным квадратом: $D = (3p + 1)^2$.
Так как $D \ge 0$ при любом $p$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(p - 1) \pm \sqrt{(3p + 1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - p \pm (3p + 1)}{2}$.
$x_1 = \frac{1 - p + (3p + 1)}{2} = \frac{2p + 2}{2} = p + 1$.
$x_2 = \frac{1 - p - (3p + 1)}{2} = \frac{1 - p - 3p - 1}{2} = \frac{-4p}{2} = -2p$.

Ответ: $x_1 = p + 1$, $x_2 = -2p$.

г) Дано уравнение $x^2 + \frac{3p + 2}{6}x + \frac{p}{6} = 0$.
Умножим обе части уравнения на 6:
$6x^2 + (3p + 2)x + p = 0$.
Коэффициенты: $a=6$, $b=3p+2$, $c=p$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (3p + 2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot p = (9p^2 + 12p + 4) - 24p = 9p^2 - 12p + 4$.
Дискриминант является полным квадратом: $D = (3p - 2)^2$.
Так как $D \ge 0$ при любом $p$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(3p + 2) \pm \sqrt{(3p - 2)^2}}{2 \cdot 6} = \frac{-(3p + 2) \pm (3p - 2)}{12}$.
$x_1 = \frac{-(3p + 2) + (3p - 2)}{12} = \frac{-3p - 2 + 3p - 2}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-(3p + 2) - (3p - 2)}{12} = \frac{-3p - 2 - 3p + 2}{12} = \frac{-6p}{12} = -\frac{p}{2}$.

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{3}$, $x_2 = -\frac{p}{2}$.

28.47 Докажите, что не существует такого значения параметра $p$, при котором уравнение $x^2 - px + p - 2 = 0$ имело бы только один корень.

Данное уравнение $x^2 - px + p - 2 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Квадратное уравнение имеет ровно один корень в том и только в том случае, когда его дискриминант равен нулю.

Найдем дискриминант $D$ данного уравнения. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-p$, $c=p-2$.

Согласно формуле $D = b^2 - 4ac$, получаем: $D = (-p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 2) = p^2 - 4p + 8$.

Чтобы исходное уравнение имело один корень, должно выполняться условие $D=0$. Это приводит нас к уравнению относительно параметра $p$: $p^2 - 4p + 8 = 0$.

Теперь необходимо выяснить, существуют ли действительные значения $p$, удовлетворяющие этому уравнению. Для этого найдем дискриминант этого нового квадратного уравнения (обозначим его $D_p$): $D_p = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$.

Поскольку $D_p < 0$, уравнение $p^2 - 4p + 8 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения параметра $p$, при котором дискриминант исходного уравнения $D$ равен нулю.

К этому же выводу можно прийти, преобразовав выражение для дискриминанта $D$ путем выделения полного квадрата: $D = p^2 - 4p + 8 = (p^2 - 4p + 4) + 4 = (p-2)^2 + 4$.

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(p-2)^2 \ge 0$. Следовательно, $D = (p-2)^2 + 4 \ge 4$. Это означает, что дискриминант $D$ всегда строго положителен при любом значении параметра $p$. Если дискриминант строго положителен, квадратное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Таким образом, мы доказали, что не существует такого значения параметра $p$, при котором данное уравнение имело бы только один корень.

Ответ: Доказано, что не существует такого значения параметра p, при котором уравнение имело бы только один корень, так как его дискриминант $D = (p-2)^2 + 4$ всегда строго больше нуля.

28.48 Решите уравнение:

a) $x^2 + 5x - \frac{6|x|}{x} = 0;$

б) $\frac{x^3}{|x|} - 7x + 12 = 0;$

в) $x^2 + \frac{5x^2}{|x|} - 6 = 0;$

г) $x \cdot |x| + 7x + 12 = 0.$

а) $x^2 + 5x - \frac{6|x|}{x} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x \neq 0$, так как в знаменателе стоит $x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Пусть $x > 0$. Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 + 5x - \frac{6x}{x} = 0$

$x^2 + 5x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а произведение равно $-6$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

Так как мы рассматриваем случай $x > 0$, то корень $x_2 = -6$ не подходит. Остается корень $x_1 = 1$.

2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 + 5x - \frac{6(-x)}{x} = 0$

$x^2 + 5x - (-6) = 0$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а произведение равно $6$. Корни: $x_3 = -2$ и $x_4 = -3$.

Оба корня удовлетворяют условию $x < 0$, поэтому оба являются решениями.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем три корня.

Ответ: $-3; -2; 1$.

б) $\frac{x^3}{|x|} - 7x + 12 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть $x > 0$. Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$\frac{x^3}{x} - 7x + 12 = 0$

$x^2 - 7x + 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $12$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $x > 0$.

2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$\frac{x^3}{-x} - 7x + 12 = 0$

$-x^2 - 7x + 12 = 0$

$x^2 + 7x - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49 + 48 = 97$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{2}$.

$x_3 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{2}$. Так как $\sqrt{97} > \sqrt{49} = 7$, то этот корень положителен ($x_3 > 0$) и не удовлетворяет условию $x < 0$.

$x_4 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{2}$. Этот корень отрицателен ($x_4 < 0$) и является решением.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем три корня.

Ответ: $3; 4; \frac{-7 - \sqrt{97}}{2}$.

в) $x^2 + \frac{5x^2}{|x|} - 6 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Перепишем уравнение:

$|x|^2 + \frac{5|x|^2}{|x|} - 6 = 0$

Так как $x \neq 0$, то $|x| \neq 0$, и мы можем сократить дробь:

$|x|^2 + 5|x| - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как $x \neq 0$, то $t > 0$.

$t^2 + 5t - 6 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.

Условию $t > 0$ удовлетворяет только $t_1 = 1$.

Вернемся к исходной переменной:

$|x| = 1$

Отсюда получаем два корня: $x = 1$ и $x = -1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1; 1$.

г) $x \cdot |x| + 7x + 12 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Пусть $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x \cdot x + 7x + 12 = 0$

$x^2 + 7x + 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение равно $12$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$.

Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x \ge 0$. В этом случае решений нет.

2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x \cdot (-x) + 7x + 12 = 0$

$-x^2 + 7x + 12 = 0$

$x^2 - 7x - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49 + 48 = 97$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{7 \pm \sqrt{97}}{2}$.

$x_3 = \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$. Так как $\sqrt{97} > 0$, этот корень очевидно положителен ($x_3 > 0$) и не удовлетворяет условию $x < 0$.

$x_4 = \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$. Так как $\sqrt{97} > \sqrt{49} = 7$, то этот корень отрицателен ($x_4 < 0$) и является решением.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $\frac{7 - \sqrt{97}}{2}$.