Страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

33.5 Докажите, что уравнение не имеет корней:

а) $\sqrt{5 - x} + 2 = 0;$

б) $\sqrt{x - 4} + \sqrt{x^2 - 3} = 0;$

в) $\sqrt{3x - 1} + 1 = 0;$

г) $\sqrt{x - 8} + 3 = \sqrt{16 - x}.$

a)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{5 - x} + 2 = 0$.
Перенесем 2 в правую часть уравнения: $\sqrt{5 - x} = -2$.
По определению, арифметический квадратный корень из любого действительного числа является неотрицательной величиной. То есть, для любого допустимого значения $x$, левая часть уравнения $\sqrt{5 - x} \ge 0$.
Правая часть уравнения равна -2, что является отрицательным числом. Равенство между неотрицательной величиной (левая часть) и отрицательной величиной (правая часть) невозможно.
Следовательно, данное уравнение не имеет корней.
Ответ: Уравнение не имеет корней, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным числом.

б)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x - 4} + \sqrt{x^2 - 3} = 0$.
Данное уравнение представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых является арифметическим квадратным корнем. Как известно, значения арифметических квадратных корней неотрицательны: $\sqrt{x - 4} \ge 0$ и $\sqrt{x^2 - 3} \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x - 4} = 0 \\ \sqrt{x^2 - 3} = 0 \end{cases} $$ Решим каждое уравнение системы:
1) $\sqrt{x - 4} = 0 \implies x - 4 = 0 \implies x = 4$.
2) $\sqrt{x^2 - 3} = 0 \implies x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$ или $x = -\sqrt{3}$.
Для того чтобы система имела решение, необходимо, чтобы нашлось такое значение $x$, которое удовлетворяло бы обоим уравнениям одновременно. Однако, решения первого уравнения ($x=4$) не совпадают с решениями второго уравнения ($x = \pm\sqrt{3}$).
Следовательно, система не имеет решений, а значит и исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: Уравнение не имеет корней, так как не существует значения $x$, при котором оба подкоренных выражения одновременно равнялись бы нулю.

в)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{3x - 1} + 1 = 0$.
Перенесем 1 в правую часть уравнения: $\sqrt{3x - 1} = -1$.
Левая часть уравнения представляет собой арифметический квадратный корень, значение которого по определению не может быть отрицательным: $\sqrt{3x - 1} \ge 0$.
Правая часть уравнения равна -1. Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: Уравнение не имеет корней, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.

г)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x - 8} + 3 = \sqrt{16 - x}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Для этого подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} x - 8 \ge 0 \\ 16 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 8 \\ x \le 16 \end{cases} $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in [8, 16]$.
Теперь оценим значения левой и правой частей уравнения на этой области.
Левая часть: $L(x) = \sqrt{x - 8} + 3$. На ОДЗ выражение $\sqrt{x - 8}$ является неотрицательным ($\sqrt{x - 8} \ge 0$). Следовательно, $L(x) = \sqrt{x - 8} + 3 \ge 0 + 3 = 3$. Итак, левая часть уравнения всегда больше или равна 3.
Правая часть: $R(x) = \sqrt{16 - x}$. На ОДЗ $x \in [8, 16]$, значение подкоренного выражения $16 - x$ изменяется от $16-8=8$ до $16-16=0$. Следовательно, значение правой части $\sqrt{16 - x}$ изменяется от $\sqrt{8}$ до $\sqrt{0}=0$. Максимальное значение правой части на ОДЗ равно $\sqrt{8}$.
Сравним возможные значения левой и правой частей. Левая часть: $L(x) \ge 3$. Правая часть: $R(x) \le \sqrt{8}$.
Так как $9 > 8$, то $\sqrt{9} > \sqrt{8}$, что означает $3 > \sqrt{8}$.
Получается, что для любого допустимого значения $x$ левая часть уравнения ($L(x) \ge 3$) всегда строго больше правой части ($R(x) \le \sqrt{8} < 3$).
Поскольку левая часть всегда больше правой, равенство между ними невозможно.
Ответ: Уравнение не имеет корней, так как на всей области допустимых значений левая часть уравнения строго больше правой.

33.6 Решите уравнение:

а) $\sqrt{7x - 4} = \sqrt{5x + 2};$

б) $\sqrt{2x - 5} = \sqrt{4x - 7};$

в) $\sqrt{3x + 4} = \sqrt{5x + 2};$

г) $\sqrt{3x + 1} = \sqrt{2x - 3}.$

а) $\sqrt{7x - 4} = \sqrt{5x + 2}$

Для решения иррационального уравнения вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ необходимо возвести обе части в квадрат. Это преобразование будет равносильным при условии, что подкоренные выражения неотрицательны. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} 7x - 4 \ge 0 \\ 5x + 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 7x \ge 4 \\ 5x \ge -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{4}{7} \\ x \ge -\frac{2}{5} \end{cases}$

Общим решением системы является более сильное неравенство, то есть $x \ge \frac{4}{7}$.

Теперь решим само уравнение, возведя обе части в квадрат:

$(\sqrt{7x - 4})^2 = (\sqrt{5x + 2})^2$

$7x - 4 = 5x + 2$

$7x - 5x = 2 + 4$

$2x = 6$

$x = 3$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Условие $3 \ge \frac{4}{7}$ выполняется. Следовательно, $x=3$ является решением уравнения.

Ответ: 3

б) $\sqrt{2x - 5} = \sqrt{4x - 7}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 2x - 5 \ge 0 \\ 4x - 7 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge 5 \\ 4x \ge 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{5}{2} \\ x \ge \frac{7}{4} \end{cases}$

Сравним дроби: $\frac{5}{2} = 2.5$ и $\frac{7}{4} = 1.75$. Так как $2.5 > 1.75$, то ОДЗ определяется неравенством $x \ge \frac{5}{2}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x - 5})^2 = (\sqrt{4x - 7})^2$

$2x - 5 = 4x - 7$

$7 - 5 = 4x - 2x$

$2 = 2x$

$x = 1$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Условие $1 \ge \frac{5}{2}$ (или $1 \ge 2.5$) не выполняется. Следовательно, $x=1$ — посторонний корень, и уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

в) $\sqrt{3x + 4} = \sqrt{5x + 2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 3x + 4 \ge 0 \\ 5x + 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -4 \\ 5x \ge -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{4}{3} \\ x \ge -\frac{2}{5} \end{cases}$

Сравним дроби: $-\frac{4}{3} \approx -1.33$ и $-\frac{2}{5} = -0.4$. Так как $-0.4 > -1.33$, то ОДЗ определяется неравенством $x \ge -\frac{2}{5}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x + 4})^2 = (\sqrt{5x + 2})^2$

$3x + 4 = 5x + 2$

$4 - 2 = 5x - 3x$

$2 = 2x$

$x = 1$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Условие $1 \ge -\frac{2}{5}$ выполняется. Следовательно, $x=1$ является решением.

Ответ: 1

г) $\sqrt{3x + 1} = \sqrt{2x - 3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ 2x - 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -1 \\ 2x \ge 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{1}{3} \\ x \ge \frac{3}{2} \end{cases}$

Так как $\frac{3}{2} > -\frac{1}{3}$, то ОДЗ определяется неравенством $x \ge \frac{3}{2}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x + 1})^2 = (\sqrt{2x - 3})^2$

$3x + 1 = 2x - 3$

$3x - 2x = -3 - 1$

$x = -4$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Условие $-4 \ge \frac{3}{2}$ (или $-4 \ge 1.5$) не выполняется. Следовательно, $x=-4$ — посторонний корень, и уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

Решите уравнение:

33.7

a) $\sqrt{7 - 3x} = x + 7;$

б) $\sqrt{3 - x} = 3x + 5;$

в) $\sqrt{15 + 3x} = 1 - x;$

г) $\sqrt{34 - 5x} = 7 - 2x.$

а) $\sqrt{7 - 3x} = x + 7$

Решение. Для решения иррационального уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ необходимо, чтобы выполнялись два условия: подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($f(x) \ge 0$), и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной ($g(x) \ge 0$), так как она равна арифметическому квадратному корню.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 7 - 3x \ge 0 \\ x + 7 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3x \ge -7 \\ x \ge -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le \frac{7}{3} \\ x \ge -7 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $-7 \le x \le \frac{7}{3}$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{7 - 3x})^2 = (x + 7)^2$

$7 - 3x = x^2 + 14x + 49$

3. Приведем полученное уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 14x + 3x + 49 - 7 = 0$

$x^2 + 17x + 42 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -17, а их произведение равно 42. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = -14$.

5. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($-7 \le x \le \frac{7}{3}$):

• $x_1 = -3$: Условие $-7 \le -3 \le \frac{7}{3}$ выполняется. Этот корень подходит.
• $x_2 = -14$: Условие $-7 \le -14 \le \frac{7}{3}$ не выполняется, так как $-14 < -7$. Этот корень является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: -3.

б) $\sqrt{3 - x} = 3x + 5$

Решение.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3 - x \ge 0 \\ 3x + 5 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 3 \\ 3x \ge -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 3 \\ x \ge -\frac{5}{3} \end{cases}$

ОДЗ: $-\frac{5}{3} \le x \le 3$.

2. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{3 - x})^2 = (3x + 5)^2$

$3 - x = 9x^2 + 30x + 25$

3. Приведем к квадратному уравнению:

$9x^2 + 30x + x + 25 - 3 = 0$

$9x^2 + 31x + 22 = 0$

4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \cdot 9 \cdot 22 = 961 - 792 = 169 = 13^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 \pm 13}{2 \cdot 9} = \frac{-31 \pm 13}{18}$

$x_1 = \frac{-31 + 13}{18} = \frac{-18}{18} = -1$

$x_2 = \frac{-31 - 13}{18} = \frac{-44}{18} = -\frac{22}{9}$

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-\frac{5}{3} \le x \le 3$). Заметим, что $-\frac{5}{3} \approx -1.67$, а $-\frac{22}{9} \approx -2.44$.

• $x_1 = -1$: Условие $-\frac{5}{3} \le -1 \le 3$ выполняется. Этот корень подходит.
• $x_2 = -\frac{22}{9}$: Условие не выполняется, так как $-\frac{22}{9} < -\frac{5}{3}$. Этот корень посторонний.

Ответ: -1.

в) $\sqrt{15 + 3x} = 1 - x$

Решение.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 15 + 3x \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x \ge -15 \\ -x \ge -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 1 \end{cases}$

ОДЗ: $-5 \le x \le 1$.

2. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{15 + 3x})^2 = (1 - x)^2$

$15 + 3x = 1 - 2x + x^2$

3. Приведем к квадратному уравнению:

$x^2 - 2x - 3x + 1 - 15 = 0$

$x^2 - 5x - 14 = 0$

4. Решим квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней равна 5, произведение равно -14. Корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-5 \le x \le 1$):

• $x_1 = 7$: Условие не выполняется, так как $7 > 1$. Это посторонний корень.
• $x_2 = -2$: Условие $-5 \le -2 \le 1$ выполняется. Этот корень подходит.

Ответ: -2.

г) $\sqrt{34 - 5x} = 7 - 2x$

Решение.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 34 - 5x \ge 0 \\ 7 - 2x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -5x \ge -34 \\ -2x \ge -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le \frac{34}{5} \\ x \le \frac{7}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 6.8 \\ x \le 3.5 \end{cases}$

Более строгим является второе условие, поэтому ОДЗ: $x \le 3.5$.

2. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{34 - 5x})^2 = (7 - 2x)^2$

$34 - 5x = 49 - 28x + 4x^2$

3. Приведем к квадратному уравнению:

$4x^2 - 28x + 5x + 49 - 34 = 0$

$4x^2 - 23x + 15 = 0$

4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 529 - 240 = 289 = 17^2$

$x = \frac{-(-23) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{23 \pm 17}{8}$

$x_1 = \frac{23 + 17}{8} = \frac{40}{8} = 5$

$x_2 = \frac{23 - 17}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \le 3.5$):

• $x_1 = 5$: Условие не выполняется, так как $5 > 3.5$. Это посторонний корень.
• $x_2 = \frac{3}{4}$: Условие $\frac{3}{4} \le 3.5$ выполняется. Этот корень подходит.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

33.8 a) $ \sqrt{8-2x} = x; $

б) $ \sqrt{5-x} = x+15; $

в) $ \sqrt{3+2x} = x-6; $

г) $ \sqrt{1-5x} = 7+x. $

а) $\sqrt{8 - 2x} = x$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения необходимо возвести обе части в квадрат. Но перед этим найдем область допустимых значений (ОДЗ) или учтем условия, при которых такое преобразование является равносильным.

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $8 - 2x \geq 0 \implies 2x \leq 8 \implies x \leq 4$.

2. Правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной: $x \geq 0$.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $0 \leq x \leq 4$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{8 - 2x})^2 = x^2$

$8 - 2x = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-8$, а их сумма равна $-2$. Подбором находим корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -4$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($0 \leq x \leq 4$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $0 \leq 2 \leq 4$, следовательно, является решением исходного уравнения.

Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $x \geq 0$, следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: $2$

б) $\sqrt{5 - x} = x + 15$

Найдем ОДЗ. Для этого должны выполняться два условия:

1. $5 - x \geq 0 \implies x \leq 5$

2. $x + 15 \geq 0 \implies x \geq -15$

Общая область допустимых значений: $-15 \leq x \leq 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5 - x})^2 = (x + 15)^2$

$5 - x = x^2 + 30x + 225$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 + 30x + x + 225 - 5 = 0$

$x^2 + 31x + 220 = 0$

Решим уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot 220 = 961 - 880 = 81 = 9^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 \pm 9}{2}$

$x_1 = \frac{-31 + 9}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

$x_2 = \frac{-31 - 9}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-15 \leq x \leq 5$).

Корень $x_1 = -11$ удовлетворяет условию $-15 \leq -11 \leq 5$, значит, это верное решение.

Корень $x_2 = -20$ не удовлетворяет условию $x \geq -15$, значит, это посторонний корень.

Ответ: $-11$

в) $\sqrt{3 + 2x} = x - 6$

Определим область допустимых значений:

1. $3 + 2x \geq 0 \implies 2x \geq -3 \implies x \geq -1.5$

2. $x - 6 \geq 0 \implies x \geq 6$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \geq 6$.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{3 + 2x})^2 = (x - 6)^2$

$3 + 2x = x^2 - 12x + 36$

Собираем все члены в одной части:

$x^2 - 12x - 2x + 36 - 3 = 0$

$x^2 - 14x + 33 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $14$, а произведение $33$. Корни легко находятся:

$x_1 = 3$

$x_2 = 11$

Проверяем корни по ОДЗ ($x \geq 6$).

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $x \geq 6$, поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = 11$ удовлетворяет условию $11 \geq 6$, поэтому является решением уравнения.

Ответ: $11$

г) $\sqrt{1 - 5x} = 7 + x$

Найдем ОДЗ:

1. $1 - 5x \geq 0 \implies 1 \geq 5x \implies x \leq \frac{1}{5}$ (или $x \leq 0.2$)

2. $7 + x \geq 0 \implies x \geq -7$

Таким образом, ОДЗ: $-7 \leq x \leq 0.2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{1 - 5x})^2 = (7 + x)^2$

$1 - 5x = 49 + 14x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 14x + 5x + 49 - 1 = 0$

$x^2 + 19x + 48 = 0$

Используем теорему Виета: сумма корней равна $-19$, произведение равно $48$. Подбором находим корни:

$x_1 = -3$

$x_2 = -16$

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($-7 \leq x \leq 0.2$).

Корень $x_1 = -3$ удовлетворяет условию $-7 \leq -3 \leq 0.2$, следовательно, это верное решение.

Корень $x_2 = -16$ не удовлетворяет условию $x \geq -7$, так как $-16 < -7$. Это посторонний корень.

Ответ: $-3$

33.9 a) $ \sqrt{x - 4} + x = 6; $

б) $ 5x - \sqrt{3x + 4} = 2; $

в) $ \sqrt{5x + 1} + 1 = 2x; $

г) $ \sqrt{7 - 3x} + 3 - x = 0. $

а) $\sqrt{x-4} + x = 6$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо выполнить следующие шаги:
1. Уединим радикал (квадратный корень) в одной части уравнения. Для этого перенесем $x$ в правую часть:
$\sqrt{x-4} = 6 - x$
2. Определим Область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x-4 \ge 0$), и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня ($6-x \ge 0$).
Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases}$
Решая ее, находим:
$\begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 6 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ для $x$ есть промежуток $[4; 6]$.
3. Возведем обе части уравнения $\sqrt{x-4} = 6 - x$ в квадрат, чтобы избавиться от радикала:
$(\sqrt{x-4})^2 = (6-x)^2$
$x - 4 = 36 - 12x + x^2$
4. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 - 12x - x + 36 + 4 = 0$
$x^2 - 13x + 40 = 0$
5. Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 13, а их произведение равно 40. Корнями являются числа 5 и 8.
$x_1 = 5$, $x_2 = 8$.
6. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ, то есть промежутку $[4; 6]$.
- Корень $x_1 = 5$ принадлежит ОДЗ, так как $4 \le 5 \le 6$.
- Корень $x_2 = 8$ не принадлежит ОДЗ, так как $8 > 6$. Этот корень является посторонним.
Для уверенности выполним проверку подстановкой корня $x=5$ в исходное уравнение:
$\sqrt{5-4} + 5 = \sqrt{1} + 5 = 1+5=6$.
$6 = 6$. Равенство верно.
Ответ: $5$.

б) $5x - \sqrt{3x+4} = 2$

1. Уединим радикал в одной части уравнения:
$5x - 2 = \sqrt{3x+4}$
2. Определим ОДЗ. Подкоренное выражение и выражение, которому равен корень, должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 3x+4 \ge 0 \\ 5x - 2 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x \ge -4 \\ 5x \ge 2 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge -4/3 \\ x \ge 2/5 \end{cases}$
Общим решением системы является $x \ge 2/5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2/5; +\infty)$.
3. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(5x-2)^2 = (\sqrt{3x+4})^2$
$25x^2 - 20x + 4 = 3x + 4$
4. Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$25x^2 - 20x - 3x + 4 - 4 = 0$
$25x^2 - 23x = 0$
5. Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(25x - 23) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $25x - 23 = 0 \implies x_2 = 23/25$.
6. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2/5$). Отметим, что $2/5 = 0.4$, а $23/25 = 0.92$.
- $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 0.4$, следовательно, это посторонний корень.
- $x_2 = 23/25$ удовлетворяет условию $x \ge 0.4$.
Проверка подстановкой $x=23/25$ в исходное уравнение: $5(\frac{23}{25}) - \sqrt{3(\frac{23}{25})+4} = \frac{23}{5} - \sqrt{\frac{69+100}{25}} = \frac{23}{5} - \sqrt{\frac{169}{25}} = \frac{23}{5} - \frac{13}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
$2=2$. Равенство верно.
Ответ: $23/25$.

в) $\sqrt{5x+1} + 1 = 2x$

1. Уединим радикал:
$\sqrt{5x+1} = 2x - 1$
2. Определим ОДЗ:
$\begin{cases} 5x+1 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 5x \ge -1 \\ 2x \ge 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge -1/5 \\ x \ge 1/2 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 1/2$, то есть $x \in [1/2; +\infty)$.
3. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{5x+1})^2 = (2x-1)^2$
$5x+1 = 4x^2 - 4x + 1$
4. Приведем уравнение к стандартному виду:
$4x^2 - 4x - 5x + 1 - 1 = 0$
$4x^2 - 9x = 0$
5. Решим неполное квадратное уравнение:
$x(4x - 9) = 0$
$x_1 = 0$ или $4x - 9 = 0 \implies x_2 = 9/4$.
6. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1/2$).
- $x_1 = 0$ не принадлежит ОДЗ ($0 < 1/2$), это посторонний корень.
- $x_2 = 9/4$ принадлежит ОДЗ ($9/4 = 2.25 \ge 0.5$).
Проверка подстановкой $x=9/4$ в исходное уравнение:
Левая часть: $\sqrt{5(\frac{9}{4})+1} + 1 = \sqrt{\frac{45}{4}+\frac{4}{4}} + 1 = \sqrt{\frac{49}{4}} + 1 = \frac{7}{2} + 1 = \frac{9}{2}$.
Правая часть: $2x = 2(\frac{9}{4}) = \frac{9}{2}$.
Левая часть равна правой. Равенство верно.
Ответ: $9/4$.

г) $\sqrt{7-3x} + 3 - x = 0$

1. Уединим радикал:
$\sqrt{7-3x} = x - 3$
2. Определим ОДЗ:
$\begin{cases} 7-3x \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} -3x \ge -7 \\ x \ge 3 \end{cases}$
$\begin{cases} x \le 7/3 \\ x \ge 3 \end{cases}$
Поскольку $7/3 \approx 2.33$, система неравенств $x \ge 3$ и $x \le 7/3$ не имеет решений. Это означает, что область допустимых значений пуста, и уравнение не имеет действительных корней.
Для полноты решения, продолжим алгебраические преобразования, чтобы показать, что получаемые корни являются посторонними.
3. Возведем в квадрат обе части уравнения $\sqrt{7-3x} = x-3$ :
$(\sqrt{7-3x})^2 = (x-3)^2$
$7 - 3x = x^2 - 6x + 9$
4. Приведем к стандартному виду:
$x^2 - 6x + 3x + 9 - 7 = 0$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
5. По теореме Виета, $x_1+x_2=3$ и $x_1 \cdot x_2=2$. Корни: $x_1=1, x_2=2$.
6. Как было установлено на шаге 2, ОДЗ пусто. Ни один из найденных "кандидатов в корни" не может являться решением. В частности, оба корня не удовлетворяют условию $x \ge 3$.
Проверим их подстановкой в уравнение $\sqrt{7-3x} = x - 3$:
- для $x=1$: $\sqrt{7-3(1)} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $1-3 = -2$. $2 \neq -2$.
- для $x=2$: $\sqrt{7-3(2)} = \sqrt{1} = 1$. Правая часть: $2-3 = -1$. $1 \neq -1$.
Оба корня являются посторонними.
Ответ: корней нет.

Используя метод введения новой переменной, решите уравнение:

33.10 a) $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0;$

б) $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0;$

в) $x - 7\sqrt{x} + 12 = 0;$

г) $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0.$

а) Решим уравнение $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Это уравнение можно свести к квадратному с помощью введения новой переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, на новую переменную накладывается условие $t \ge 0$.

Так как $x = (\sqrt{x})^2 = t^2$, исходное уравнение принимает вид:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Отсюда находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Оба найденных значения для $t$ удовлетворяют условию $t \ge 0$, поэтому оба являются решениями квадратного уравнения.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. При $t = 2$:
$\sqrt{x} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$x = 2^2 = 4$.

2. При $t = 4$:
$\sqrt{x} = 4$
Возведем обе части в квадрат:
$x = 4^2 = 16$.

Оба корня ($x=4$ и $x=16$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $4; 16$.

б) Решим уравнение $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену: $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Уравнение преобразуется к виду:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни этого уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполняем обратную замену:

1. $\sqrt{x} = 2 \implies x = 2^2 = 4$.

2. $\sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$.

Оба значения входят в ОДЗ.
Ответ: $4; 9$.

в) Решим уравнение $x - 7\sqrt{x} + 12 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 12. Корни этого уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполняем обратную замену:

1. $\sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$.

2. $\sqrt{x} = 4 \implies x = 4^2 = 16$.

Оба значения входят в ОДЗ.
Ответ: $9; 16$.

г) Решим уравнение $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполняем обратную замену:

1. $\sqrt{x} = 1 \implies x = 1^2 = 1$.

2. $\sqrt{x} = 2 \implies x = 2^2 = 4$.

Оба значения входят в ОДЗ.
Ответ: $1; 4$.

33.11 a) $x + \sqrt{x} = 30;$

б) $x - 4\sqrt{x} - 12 = 0;$

в) $x + \sqrt{x} = 12;$

г) $x - 3\sqrt{x} - 18 = 0.$

а) $x + \sqrt{x} = 30$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Это уравнение решается методом введения новой переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2 = y^2$. Так как арифметический квадратный корень является неотрицательной величиной, то должно выполняться условие $y \ge 0$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$y^2 + y = 30$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$y^2 + y - 30 = 0$
Решим это уравнение относительно $y$. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $y_1 + y_2 = -1$
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -30$
Подбором находим корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -6$.
Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $y \ge 0$.
Корень $y_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge 0$).
Корень $y_2 = -6$ не удовлетворяет условию ($-6 < 0$), поэтому он является посторонним.
Следовательно, у нас есть одно подходящее значение для $y$: $y=5$.
Сделаем обратную замену:
$\sqrt{x} = 5$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x = 5^2 = 25$
Проверим найденный корень. $x=25$ удовлетворяет ОДЗ ($25 \ge 0$). Подставим его в исходное уравнение: $25 + \sqrt{25} = 25 + 5 = 30$. Равенство верно.
Ответ: $25$

б) $x - 4\sqrt{x} - 12 = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$.
Уравнение принимает вид:
$y^2 - 4y - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = 4$
$y_1 \cdot y_2 = -12$
Корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -2$.
Учитывая условие $y \ge 0$, корень $y_2 = -2$ является посторонним.
Остается $y_1 = 6$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x} = 6$
$x = 6^2 = 36$
Проверка: $x=36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 \ge 0$). Подставим в исходное уравнение: $36 - 4\sqrt{36} - 12 = 36 - 4 \cdot 6 - 12 = 36 - 24 - 12 = 0$. Равенство верно.
Ответ: $36$

в) $x + \sqrt{x} = 12$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$.
Уравнение принимает вид:
$y^2 + y = 12$
$y^2 + y - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = -1$
$y_1 \cdot y_2 = -12$
Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -4$.
Учитывая условие $y \ge 0$, корень $y_2 = -4$ является посторонним.
Остается $y_1 = 3$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x} = 3$
$x = 3^2 = 9$
Проверка: $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$). Подставим в исходное уравнение: $9 + \sqrt{9} = 9 + 3 = 12$. Равенство верно.
Ответ: $9$

г) $x - 3\sqrt{x} - 18 = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$.
Уравнение принимает вид:
$y^2 - 3y - 18 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = 3$
$y_1 \cdot y_2 = -18$
Корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -3$.
Учитывая условие $y \ge 0$, корень $y_2 = -3$ является посторонним.
Остается $y_1 = 6$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x} = 6$
$x = 6^2 = 36$
Проверка: $x=36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 \ge 0$). Подставим в исходное уравнение: $36 - 3\sqrt{36} - 18 = 36 - 3 \cdot 6 - 18 = 36 - 18 - 18 = 0$. Равенство верно.
Ответ: $36$

33.12 a) $\sqrt{x} - \frac{20}{\sqrt{x}} = 1;$

б) $\sqrt{x} + 3 = \frac{18}{\sqrt{x}};$

в) $\sqrt{x} - \frac{6}{\sqrt{x}} = 1;$

г) $\sqrt{x} + 4 = \frac{32}{\sqrt{x}}.$

а) Исходное уравнение: $ \sqrt{x} - \frac{20}{\sqrt{x}} = 1 $.

Область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно, $ x > 0 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt{x} $. Поскольку $ x > 0 $, то и $ t > 0 $.

Подставим $t$ в исходное уравнение:
$ t - \frac{20}{t} = 1 $

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:
$ t^2 - 20 = t $
$ t^2 - t - 20 = 0 $

Мы получили квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
Сумма корней $ t_1 + t_2 = 1 $
Произведение корней $ t_1 \cdot t_2 = -20 $
Корни уравнения: $ t_1 = 5 $ и $ t_2 = -4 $.

Проверим корни на соответствие условию $ t > 0 $:
$ t_1 = 5 $ - удовлетворяет условию.
$ t_2 = -4 $ - не удовлетворяет условию, так как $ -4 < 0 $. Этот корень является посторонним.

Вернемся к замене для $ t = 5 $:
$ \sqrt{x} = 5 $
Возведем обе части в квадрат:
$ x = 5^2 $
$ x = 25 $

Проверка: $ \sqrt{25} - \frac{20}{\sqrt{25}} = 5 - \frac{20}{5} = 5 - 4 = 1 $. Равенство верно. Корень $ x = 25 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x = 25 $.

б) Исходное уравнение: $ \sqrt{x} + 3 = \frac{18}{\sqrt{x}} $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt{x} $. Так как $ x > 0 $, то $ t > 0 $.

Подставим $t$ в уравнение:
$ t + 3 = \frac{18}{t} $

Умножим обе части на $t$ ($t \neq 0$):
$ t^2 + 3t = 18 $
$ t^2 + 3t - 18 = 0 $

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
Сумма корней $ t_1 + t_2 = -3 $
Произведение корней $ t_1 \cdot t_2 = -18 $
Корни уравнения: $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = -6 $.

Проверим корни на соответствие условию $ t > 0 $:
$ t_1 = 3 $ - удовлетворяет условию.
$ t_2 = -6 $ - не удовлетворяет условию ($ -6 < 0 $). Это посторонний корень.

Вернемся к замене для $ t = 3 $:
$ \sqrt{x} = 3 $
$ x = 3^2 $
$ x = 9 $

Проверка: $ \sqrt{9} + 3 = \frac{18}{\sqrt{9}} \implies 3 + 3 = \frac{18}{3} \implies 6 = 6 $. Равенство верно. Корень $ x = 9 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x = 9 $.

в) Исходное уравнение: $ \sqrt{x} - \frac{6}{\sqrt{x}} = 1 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt{x} $, при этом $ t > 0 $.

Подставим $t$ в уравнение:
$ t - \frac{6}{t} = 1 $

Умножим обе части на $t$ ($t \neq 0$):
$ t^2 - 6 = t $
$ t^2 - t - 6 = 0 $

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
Сумма корней $ t_1 + t_2 = 1 $
Произведение корней $ t_1 \cdot t_2 = -6 $
Корни уравнения: $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = -2 $.

Проверим корни на соответствие условию $ t > 0 $:
$ t_1 = 3 $ - удовлетворяет условию.
$ t_2 = -2 $ - не удовлетворяет условию ($ -2 < 0 $). Это посторонний корень.

Вернемся к замене для $ t = 3 $:
$ \sqrt{x} = 3 $
$ x = 3^2 $
$ x = 9 $

Проверка: $ \sqrt{9} - \frac{6}{\sqrt{9}} = 3 - \frac{6}{3} = 3 - 2 = 1 $. Равенство верно. Корень $ x = 9 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x = 9 $.

г) Исходное уравнение: $ \sqrt{x} + 4 = \frac{32}{\sqrt{x}} $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt{x} $, где $ t > 0 $.

Подставим $t$ в уравнение:
$ t + 4 = \frac{32}{t} $

Умножим обе части на $t$ ($t \neq 0$):
$ t^2 + 4t = 32 $
$ t^2 + 4t - 32 = 0 $

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
Сумма корней $ t_1 + t_2 = -4 $
Произведение корней $ t_1 \cdot t_2 = -32 $
Корни уравнения: $ t_1 = 4 $ и $ t_2 = -8 $.

Проверим корни на соответствие условию $ t > 0 $:
$ t_1 = 4 $ - удовлетворяет условию.
$ t_2 = -8 $ - не удовлетворяет условию ($ -8 < 0 $). Это посторонний корень.

Вернемся к замене для $ t = 4 $:
$ \sqrt{x} = 4 $
$ x = 4^2 $
$ x = 16 $

Проверка: $ \sqrt{16} + 4 = \frac{32}{\sqrt{16}} \implies 4 + 4 = \frac{32}{4} \implies 8 = 8 $. Равенство верно. Корень $ x = 16 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x = 16 $.