Страница 216, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

5 При каких значениях x имеет смысл выражение $\sqrt{x^2 + 9x + 14} - \frac{x + 2}{x^2 - 4x + 3}$?

Для того чтобы данное выражение имело смысл, должны одновременно выполняться два условия: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Рассмотрим первое условие: подкоренное выражение $x^2 + 9x + 14$ должно быть больше или равно нулю.

$x^2 + 9x + 14 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 9x + 14 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а произведение равно $14$. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = -7$ и $x_2 = -2$.

Поскольку ветви параболы $y = x^2 + 9x + 14$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 9x + 14 \ge 0$ выполняется при значениях $x$ за пределами интервала между корнями. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -7] \cup [-2, +\infty)$.

Рассмотрим второе условие: знаменатель дроби $x^2 - 4x + 3$ не должен быть равен нулю.

$x^2 - 4x + 3 \ne 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а произведение равно $3$. Корни уравнения: $x_3 = 1$ и $x_4 = 3$.

Это означает, что $x$ не может принимать значения $1$ и $3$.

Теперь объединим оба условия. Из множества решений первого неравенства $x \in (-\infty, -7] \cup [-2, +\infty)$ необходимо исключить точки $x=1$ и $x=3$.

Обе точки, $1$ и $3$, принадлежат промежутку $[-2, +\infty)$. Исключив их, мы разбиваем этот промежуток на три: $[-2, 1)$, $(1, 3)$ и $(3, +\infty)$.

Таким образом, область определения исходного выражения представляет собой объединение следующих промежутков: $(-\infty, -7]$, $[-2, 1)$, $(1, 3)$, $(3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [-2, 1) \cup (1, 3) \cup (3, +\infty)$.

6 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2, & \text{если } x < -2; \\ 2|x| - 2, & \text{если } -2 \le x \le 6. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-7)$, $f(0)$, $f(5)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

а) Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках, необходимо определить, какому интервалу принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

1. Вычислим $f(-7)$.
Поскольку $x = -7$ удовлетворяет условию $x < -2$, используем первую формулу $f(x) = x^2 - 2$.
$f(-7) = (-7)^2 - 2 = 49 - 2 = 47$.

2. Вычислим $f(0)$.
Поскольку $x = 0$ удовлетворяет условию $-2 \le x \le 6$, используем вторую формулу $f(x) = 2|x| - 2$.
$f(0) = 2|0| - 2 = 2 \cdot 0 - 2 = -2$.

3. Вычислим $f(5)$.
Поскольку $x = 5$ удовлетворяет условию $-2 \le x \le 6$, используем вторую формулу $f(x) = 2|x| - 2$.
$f(5) = 2|5| - 2 = 2 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8$.

Ответ: $f(-7) = 47$, $f(0) = -2$, $f(5) = 8$.

б)

Для построения графика функции $y = f(x)$ рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $(-\infty, -2)$ функция задана формулой $y = x^2 - 2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -2)$. Найдём значение на границе интервала: при $x \to -2$, $y \to (-2)^2 - 2 = 2$. Так как неравенство строгое ($x < -2$), точка $(-2, 2)$ на этом куске графика является выколотой. Для построения возьмем еще одну контрольную точку, например, $x = -3$, тогда $y = (-3)^2 - 2 = 7$.

2. На отрезке $[-2, 6]$ функция задана формулой $y = 2|x| - 2$. Раскроем модуль:
- при $-2 \le x < 0$ имеем $y = 2(-x) - 2 = -2x - 2$. Это отрезок прямой. Найдём значения на концах: при $x = -2$, $y = -2(-2) - 2 = 2$. Точка $(-2, 2)$ принадлежит этому участку графика. при $x = 0$, $y = -2(0) - 2 = -2$.
- при $0 \le x \le 6$ имеем $y = 2x - 2$. Это также отрезок прямой. Найдём значения на концах: при $x = 0$, $y = 2(0) - 2 = -2$. при $x = 6$, $y = 2(6) - 2 = 10$. Точка $(6, 10)$ принадлежит графику.

Соединяя все части, получаем график функции. В точке $x=-2$ разрыва нет, так как предел слева равен значению функции в этой точке.

Ответ: График функции состоит из левой ветви параболы $y=x^2-2$ для $x < -2$ и двух отрезков, соединяющих точки $(-2, 2)$, $(0, -2)$ и $(6, 10)$.

в)

Перечислим свойства функции $y=f(x)$ на основании её определения и графика.

• Область определения функции: $D(f) = (-\infty, 6]$.
• Область значений функции: $E(f) = [-2, +\infty)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $f(x) = 0$ при $x = -1$ и $x = 1$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, 6]$.
  $f(x) < 0$ при $x \in (-1, 1)$.
• Промежутки монотонности:
  Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
  Функция возрастает на промежутке $[0, 6]$.
• Точки экстремума:
  $x_{min} = 0$ — точка минимума.
  $y_{min} = f(0) = -2$ — наименьшее значение функции.
• Чётность и нечётность: функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида), так как её область определения несимметрична относительно начала координат.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $(-\infty, 6]$.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.

7. Вычислите $2\sqrt{5} - \sqrt{125} + 0,5\sqrt{20}$ с точностью до 0,1.

Чтобы вычислить значение выражения $2\sqrt{5} - \sqrt{125} + 0,5\sqrt{20}$ с точностью до 0,1, необходимо сначала упростить данное выражение.

1. Упрощение выражения.

Мы видим, что под знаками корней находятся числа, которые можно разложить на множители, чтобы вынести часть из-под корня. Общим множителем является 5.

• Упростим $\sqrt{125}$. Число 125 можно представить как произведение $25 \cdot 5$. Тогда:
  $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.

• Упростим $0,5\sqrt{20}$. Число 20 можно представить как произведение $4 \cdot 5$. Тогда:
  $0,5\sqrt{20} = 0,5\sqrt{4 \cdot 5} = 0,5 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 0,5 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 1 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5}$.

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$2\sqrt{5} - \sqrt{125} + 0,5\sqrt{20} = 2\sqrt{5} - 5\sqrt{5} + \sqrt{5}$.

2. Приведение подобных слагаемых.

Все члены выражения содержат $\sqrt{5}$, поэтому они являются подобными. Мы можем сложить их коэффициенты:

$(2 - 5 + 1)\sqrt{5} = (-3 + 1)\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$.

3. Вычисление и округление.

Теперь нам нужно вычислить приближенное значение выражения $-2\sqrt{5}$ с точностью до 0,1. Для этого используем приближенное значение $\sqrt{5}$. Чтобы обеспечить точность до десятых в ответе, возьмем значение корня с большим количеством знаков после запятой, например, $\sqrt{5} \approx 2,236$.

Вычисляем произведение:

$-2 \cdot \sqrt{5} \approx -2 \cdot 2,236 = -4,472$.

Округляем результат до десятых (до одного знака после запятой). Так как следующая цифра после разряда десятых — это 7 (а $7 \ge 5$), мы увеличиваем цифру в разряде десятых на единицу:

$-4,472 \approx -4,5$.

Ответ: $-4,5$

8 Найдите порядок произведения чисел $4,115 \cdot 10^3$ и $1,234 \cdot 10^{-6}$.

Чтобы найти порядок произведения двух чисел, записанных в стандартном виде, необходимо сначала найти их произведение, а затем привести результат к стандартному виду $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$. Порядок числа — это показатель степени $n$.

Даны два числа: $4,115 \cdot 10^3$ и $1,234 \cdot 10^{-6}$.

Найдем их произведение:

$(4,115 \cdot 10^3) \cdot (1,234 \cdot 10^{-6})$

Сгруппируем мантиссы и степени десяти отдельно:

$(4,115 \cdot 1,234) \cdot (10^3 \cdot 10^{-6})$

Вычислим произведение мантисс (значащих частей):

$4,115 \cdot 1,234 = 5,07791$

Вычислим произведение степеней десяти, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$10^3 \cdot 10^{-6} = 10^{3+(-6)} = 10^{3-6} = 10^{-3}$

Теперь объединим результаты:

$5,07791 \cdot 10^{-3}$

Полученное число уже записано в стандартном виде, так как его мантисса $a = 5,07791$ удовлетворяет условию $1 \le a < 10$.

Порядком числа, записанного в стандартном виде, является показатель степени у 10. В данном случае это $-3$.

Ответ: -3

9 Выбрали произвольное целое число, которое является решением неравенства $1 < 2x < 41$. Какова вероятность того, что выбранное число будет кратно 3?

Для решения задачи сначала определим множество всех целых чисел, которые являются решением данного неравенства. Затем найдем, сколько из этих чисел кратны 3, и вычислим вероятность.

1. Найдем все целые решения неравенства $1 < 2x < 41$.
Для этого разделим все части двойного неравенства на 2:

$\frac{1}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{41}{2}$

Получим:

$0.5 < x < 20.5$

Целыми числами $x$, удовлетворяющими этому неравенству, являются все целые числа от 1 до 20 включительно: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Общее число возможных исходов (количество всех целых решений) $N$ равно $20 - 1 + 1 = 20$.

2. Теперь найдем количество благоприятных исходов. Благоприятным исходом является выбор числа, кратного 3. Выберем из найденного множества решений числа, которые делятся на 3 без остатка:

3, 6, 9, 12, 15, 18.

Количество благоприятных исходов $M$ равно 6.

3. Вероятность $P$ события вычисляется по формуле классической вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{M}{N} = \frac{6}{20}$

Сократим дробь и представим ее в виде десятичного числа:

$P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3$

Ответ: 0.3