Страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

63 Из пункта А в пункт В со скоростью 60 км/ч выехал мотоциклист. Через 30 мин навстречу ему из пункта В выехал другой мотоциклист, скорость которого составляла 50 км/ч. Какое время ехал второй мотоциклист до встречи с первым, если расстояние между пунктами А и В равно 162 км?

1. Найдем расстояние, которое проехал первый мотоциклист за 30 минут до выезда второго.
Сначала переведем 30 минут в часы: $30 \text{ мин} = 0,5 \text{ ч}$.
Скорость первого мотоциклиста $v_1 = 60 \text{ км/ч}$.
За 0,5 часа он проехал расстояние $S_1$, равное:
$S_1 = v_1 \times t_1 = 60 \text{ км/ч} \times 0,5 \text{ ч} = 30 \text{ км}$.

2. Определим расстояние между мотоциклистами в момент выезда второго.
Изначальное расстояние между пунктами А и В составляло $S_{общ} = 162 \text{ км}$.
Когда второй мотоциклист выехал, первый уже проехал 30 км. Следовательно, расстояние между ними сократилось и стало:
$S_{ост} = S_{общ} - S_1 = 162 \text{ км} - 30 \text{ км} = 132 \text{ км}$.

3. Вычислим скорость сближения мотоциклистов.
Мотоциклисты движутся навстречу друг другу, поэтому их относительная скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей.
Скорость первого мотоциклиста $v_1 = 60 \text{ км/ч}$.
Скорость второго мотоциклиста $v_2 = 50 \text{ км/ч}$.
Скорость сближения $v_{сбл}$:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 50 \text{ км/ч} = 110 \text{ км/ч}$.

4. Найдем время, которое ехал второй мотоциклист до встречи.
Это время можно найти, разделив оставшееся между ними расстояние на их скорость сближения. Это и есть искомое время $t_2$.
$t_2 = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{132 \text{ км}}{110 \text{ км/ч}} = 1,2 \text{ ч}$.

Ответ: 1,2 ч.

64 Катер шёл по течению реки $5 \text{ ч}$, а затем против течения $3 \text{ ч}$. Найдите собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки $3 \text{ км/ч}$, а всего пройдено $126 \text{ км}$.

Для решения задачи введем переменную. Пусть собственная скорость катера равна $x$ км/ч.

Скорость течения реки по условию равна 3 км/ч.

Когда катер идет по течению, его скорость складывается с скоростью течения. Скорость катера по течению составляет:
$v_{по} = x + 3$ км/ч.
Катер шел по течению 5 часов. За это время он прошел расстояние:
$S_{по} = (x + 3) \times 5$ км.

Когда катер идет против течения, из его скорости вычитается скорость течения. Скорость катера против течения составляет:
$v_{против} = x - 3$ км/ч.
Катер шел против течения 3 часа. За это время он прошел расстояние:
$S_{против} = (x - 3) \times 3$ км.

Общее расстояние, пройденное катером, является суммой расстояний, пройденных по течению и против течения. По условию, общее расстояние равно 126 км. Мы можем составить уравнение:
$S_{по} + S_{против} = 126$
$(x + 3) \times 5 + (x - 3) \times 3 = 126$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$:
1. Раскроем скобки:
$5x + 15 + 3x - 9 = 126$
2. Приведем подобные слагаемые:
$(5x + 3x) + (15 - 9) = 126$
$8x + 6 = 126$
3. Перенесем свободный член (6) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$8x = 126 - 6$
$8x = 120$
4. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 8:
$x = 120 / 8$
$x = 15$

Таким образом, собственная скорость катера составляет 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

65 Из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода и встретились через 3 ч 45 мин. Если бы первый вышел на 2 ч раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 ч после выхода второго. Найдите скорости пешеходов.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого пешехода (вышедшего из пункта А), а $v_2$ км/ч — скорость второго пешехода (вышедшего из пункта В).

Анализ первого условия

По первому условию, пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 часа 45 минут. Расстояние между пунктами А и В составляет 30 км.
Переведем время в часы: 3 ч 45 мин = $3 + \frac{45}{60}$ ч = $3 + \frac{3}{4}$ ч = 3.75 ч.
При движении навстречу друг другу их скорости складываются. Скорость сближения равна $v_1 + v_2$.
За время $t = 3.75$ ч они вместе преодолели расстояние $S = 30$ км. Составим первое уравнение на основе формулы $S = v \cdot t$:
$(v_1 + v_2) \cdot 3.75 = 30$
Из этого уравнения можно выразить сумму скоростей:
$v_1 + v_2 = \frac{30}{3.75}$
$v_1 + v_2 = 8$

Анализ второго условия

По второму условию, если бы первый пешеход вышел на 2 часа раньше второго, то встреча произошла бы через 2.5 часа после выхода второго.
Это означает, что время в пути для второго пешехода составило 2.5 ч.
Первый пешеход был в пути на 2 часа дольше, то есть его время в пути составило $2.5 + 2 = 4.5$ ч.
Расстояние, пройденное первым пешеходом: $S_1 = v_1 \cdot 4.5$ км.
Расстояние, пройденное вторым пешеходом: $S_2 = v_2 \cdot 2.5$ км.
Сумма расстояний, которые они прошли до встречи, равна общему расстоянию между пунктами: $S_1 + S_2 = 30$ км.
Составим второе уравнение:
$4.5v_1 + 2.5v_2 = 30$

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 8 \\ 4.5v_1 + 2.5v_2 = 30 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $v_2$:
$v_2 = 8 - v_1$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$4.5v_1 + 2.5(8 - v_1) = 30$
Теперь решим это уравнение относительно $v_1$:
$4.5v_1 + 20 - 2.5v_1 = 30$
$(4.5 - 2.5)v_1 = 30 - 20$
$2v_1 = 10$
$v_1 = \frac{10}{2} = 5$ км/ч.
Теперь, зная $v_1$, найдем $v_2$:
$v_2 = 8 - v_1 = 8 - 5 = 3$ км/ч.

Ответ: Скорость первого пешехода равна 5 км/ч, а скорость второго пешехода — 3 км/ч.

66 Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5 % и 40 %. Сколько нужно взять стали каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с 30%-ным содержанием никеля?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — масса (в тоннах) лома стали первого сорта (с 5% содержанием никеля), а $y$ — масса (в тоннах) лома стали второго сорта (с 40% содержанием никеля).

По условию, общая масса полученной стали должна составлять 140 тонн. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 140$

Теперь составим уравнение, исходя из массы чистого никеля. Масса никеля в стали первого сорта составляет $0.05x$ тонн, а в стали второго сорта — $0.40y$ тонн. В итоговом сплаве массой 140 тонн должно содержаться 30% никеля, то есть его масса составит $140 \cdot 0.30 = 42$ тонны. Это дает нам второе уравнение:

$0.05x + 0.40y = 42$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 140 \\ 0.05x + 0.40y = 42 \end{cases}$

Для удобства вычислений умножим второе уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$\begin{cases} x + y = 140 \\ 5x + 40y = 4200 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 140 - y$

Подставим это выражение во второе (преобразованное) уравнение:

$5(140 - y) + 40y = 4200$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$700 - 5y + 40y = 4200$

$35y = 4200 - 700$

$35y = 3500$

$y = \frac{3500}{35}$

$y = 100$

Итак, масса стали второго сорта (с 40% никеля) составляет 100 тонн.

Теперь найдем массу стали первого сорта, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 140 - 100$

$x = 40$

Масса стали первого сорта (с 5% никеля) составляет 40 тонн.

Проверка:

Общая масса: $40 \text{ т} + 100 \text{ т} = 140 \text{ т}$.

Масса никеля: $40 \cdot 0.05 + 100 \cdot 0.40 = 2 + 40 = 42$ т.

Процентное содержание никеля в итоговом сплаве: $\frac{42}{140} \cdot 100\% = 0.3 \cdot 100\% = 30\%$.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: необходимо взять 40 тонн стали с 5%-ным содержанием никеля и 100 тонн стали с 40%-ным содержанием никеля.

67 Двое рабочих изготовили вместе 1020 деталей. Первый работал 15 дней, а второй — 14 дней. Сколько деталей изготовлял каждый рабочий за один день, если первый за 3 дня изготовлял на 60 деталей больше, чем второй за 2 дня?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — количество деталей, которое изготавливал первый рабочий за один день.

Пусть $y$ — количество деталей, которое изготавливал второй рабочий за один день.

Первый рабочий работал 15 дней, значит, он изготовил $15x$ деталей. Второй рабочий работал 14 дней и изготовил $14y$ деталей. Вместе они изготовили 1020 деталей. Это позволяет нам составить первое уравнение:

$15x + 14y = 1020$

По второму условию, первый рабочий за 3 дня изготовил на 60 деталей больше, чем второй за 2 дня. Количество деталей, изготовленных первым рабочим за 3 дня, равно $3x$. Количество деталей, изготовленных вторым рабочим за 2 дня, равно $2y$. На основе этого составим второе уравнение:

$3x - 2y = 60$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 15x + 14y = 1020 \\ 3x - 2y = 60 \end{cases}$

Для решения системы можно использовать метод подстановки или сложения. Удобно домножить второе уравнение на 7, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:

$7 \cdot (3x - 2y) = 7 \cdot 60$

$21x - 14y = 420$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(15x + 14y) + (21x - 14y) = 1020 + 420$

$36x = 1440$

Найдем $x$:

$x = \frac{1440}{36}$

$x = 40$

Итак, производительность первого рабочего составляет 40 деталей в день.

Теперь подставим найденное значение $x = 40$ во второе исходное уравнение ($3x - 2y = 60$), чтобы найти $y$:

$3 \cdot 40 - 2y = 60$

$120 - 2y = 60$

$2y = 120 - 60$

$2y = 60$

$y = \frac{60}{2}$

$y = 30$

Производительность второго рабочего составляет 30 деталей в день.

Ответ: первый рабочий изготавливал 40 деталей за один день, а второй рабочий — 30 деталей за один день.

68 При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 3. Найдите это число, если известно, что при перестановке его цифр получается число, меньшее искомого на 36.

Пусть искомое двузначное число записывается как $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. По определению, $a$ — это целое число от 1 до 9, а $b$ — целое число от 0 до 9.

Из первого условия задачи известно, что при делении числа на сумму его цифр ($a+b$) получается частное 7 и остаток 3. Это можно записать в виде уравнения:

$10a + b = 7 \cdot (a + b) + 3$

Упростим это уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$10a + b = 7a + 7b + 3$

$10a - 7a = 7b - b + 3$

$3a = 6b + 3$

Разделим обе части на 3, чтобы выразить $a$ через $b$:

$a = 2b + 1$

Из второго условия задачи известно, что число, полученное при перестановке цифр, на 36 меньше искомого. Число с переставленными цифрами записывается как $10b + a$. Составим второе уравнение:

$(10a + b) - (10b + a) = 36$

Упростим его:

$10a + b - 10b - a = 36$

$9a - 9b = 36$

Разделим обе части на 9:

$a - b = 4$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a = 2b + 1 \\ a - b = 4 \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$(2b + 1) - b = 4$

$b + 1 = 4$

$b = 3$

Зная $b$, найдем $a$ из уравнения $a = 2b + 1$:

$a = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$

Итак, мы нашли цифры: $a=7$ и $b=3$. Следовательно, искомое число — 73.

Выполним проверку.

1. Сумма цифр: $7 + 3 = 10$. Делим число 73 на 10: $73 \div 10 = 7$ (остаток 3). Условие выполнено.

2. Число с переставленными цифрами — 37. Разность: $73 - 37 = 36$. Условие выполнено.

Ответ: 73.