Номер 65, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 65, страница 11.

Условие.

65 Из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода и встретились через 3 ч 45 мин. Если бы первый вышел на 2 ч раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 ч после выхода второго. Найдите скорости пешеходов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого пешехода (вышедшего из пункта А), а $v_2$ км/ч — скорость второго пешехода (вышедшего из пункта В).

Анализ первого условия

По первому условию, пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 часа 45 минут. Расстояние между пунктами А и В составляет 30 км.
Переведем время в часы: 3 ч 45 мин = $3 + \frac{45}{60}$ ч = $3 + \frac{3}{4}$ ч = 3.75 ч.
При движении навстречу друг другу их скорости складываются. Скорость сближения равна $v_1 + v_2$.
За время $t = 3.75$ ч они вместе преодолели расстояние $S = 30$ км. Составим первое уравнение на основе формулы $S = v \cdot t$:
$(v_1 + v_2) \cdot 3.75 = 30$
Из этого уравнения можно выразить сумму скоростей:
$v_1 + v_2 = \frac{30}{3.75}$
$v_1 + v_2 = 8$

Анализ второго условия

По второму условию, если бы первый пешеход вышел на 2 часа раньше второго, то встреча произошла бы через 2.5 часа после выхода второго.
Это означает, что время в пути для второго пешехода составило 2.5 ч.
Первый пешеход был в пути на 2 часа дольше, то есть его время в пути составило $2.5 + 2 = 4.5$ ч.
Расстояние, пройденное первым пешеходом: $S_1 = v_1 \cdot 4.5$ км.
Расстояние, пройденное вторым пешеходом: $S_2 = v_2 \cdot 2.5$ км.
Сумма расстояний, которые они прошли до встречи, равна общему расстоянию между пунктами: $S_1 + S_2 = 30$ км.
Составим второе уравнение:
$4.5v_1 + 2.5v_2 = 30$

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 8 \\ 4.5v_1 + 2.5v_2 = 30 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $v_2$:
$v_2 = 8 - v_1$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$4.5v_1 + 2.5(8 - v_1) = 30$
Теперь решим это уравнение относительно $v_1$:
$4.5v_1 + 20 - 2.5v_1 = 30$
$(4.5 - 2.5)v_1 = 30 - 20$
$2v_1 = 10$
$v_1 = \frac{10}{2} = 5$ км/ч.
Теперь, зная $v_1$, найдем $v_2$:
$v_2 = 8 - v_1 = 8 - 5 = 3$ км/ч.

Ответ: Скорость первого пешехода равна 5 км/ч, а скорость второго пешехода — 3 км/ч.