Номер 66, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 66, страница 11.

Условие.

66 Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5 % и 40 %. Сколько нужно взять стали каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с 30%-ным содержанием никеля?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — масса (в тоннах) лома стали первого сорта (с 5% содержанием никеля), а $y$ — масса (в тоннах) лома стали второго сорта (с 40% содержанием никеля).

По условию, общая масса полученной стали должна составлять 140 тонн. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 140$

Теперь составим уравнение, исходя из массы чистого никеля. Масса никеля в стали первого сорта составляет $0.05x$ тонн, а в стали второго сорта — $0.40y$ тонн. В итоговом сплаве массой 140 тонн должно содержаться 30% никеля, то есть его масса составит $140 \cdot 0.30 = 42$ тонны. Это дает нам второе уравнение:

$0.05x + 0.40y = 42$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 140 \\ 0.05x + 0.40y = 42 \end{cases}$

Для удобства вычислений умножим второе уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$\begin{cases} x + y = 140 \\ 5x + 40y = 4200 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 140 - y$

Подставим это выражение во второе (преобразованное) уравнение:

$5(140 - y) + 40y = 4200$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$700 - 5y + 40y = 4200$

$35y = 4200 - 700$

$35y = 3500$

$y = \frac{3500}{35}$

$y = 100$

Итак, масса стали второго сорта (с 40% никеля) составляет 100 тонн.

Теперь найдем массу стали первого сорта, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 140 - 100$

$x = 40$

Масса стали первого сорта (с 5% никеля) составляет 40 тонн.

Проверка:

Общая масса: $40 \text{ т} + 100 \text{ т} = 140 \text{ т}$.

Масса никеля: $40 \cdot 0.05 + 100 \cdot 0.40 = 2 + 40 = 42$ т.

Процентное содержание никеля в итоговом сплаве: $\frac{42}{140} \cdot 100\% = 0.3 \cdot 100\% = 30\%$.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: необходимо взять 40 тонн стали с 5%-ным содержанием никеля и 100 тонн стали с 40%-ным содержанием никеля.