Страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Установите, при каких значениях переменной не имеет смысла алгебраическая дробь:

1.5 а) $\frac{a - 5}{a + 5}$;

б) $\frac{5c}{4 + 10c}$;

в) $\frac{3x - 9}{1 + x}$;

г) $\frac{15m + 4}{4m + 15}$.

Алгебраическая дробь не имеет смысла тогда и только тогда, когда ее знаменатель равен нулю, так как деление на ноль не определено. Чтобы найти значения переменной, при которых дробь не имеет смысла, необходимо приравнять ее знаменатель к нулю и решить полученное уравнение.

a) Рассмотрим дробь $\frac{a - 5}{a + 5}$.

Знаменатель этой дроби равен $a + 5$. Найдем значение $a$, при котором он обращается в ноль:

$a + 5 = 0$

$a = -5$

Следовательно, при $a = -5$ данная алгебраическая дробь не имеет смысла.

Ответ: при $a = -5$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{5c}{4 + 10c}$.

Знаменатель дроби равен $4 + 10c$. Приравняем его к нулю:

$4 + 10c = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$10c = -4$

$c = -\frac{4}{10}$

$c = -0.4$

Следовательно, при $c = -0.4$ данная алгебраическая дробь не имеет смысла.

Ответ: при $c = -0.4$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{3x - 9}{1 + x}$.

Знаменатель дроби равен $1 + x$. Приравняем его к нулю:

$1 + x = 0$

Отсюда находим:

$x = -1$

Следовательно, при $x = -1$ данная алгебраическая дробь не имеет смысла.

Ответ: при $x = -1$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{15m + 4}{4m + 15}$.

Знаменатель дроби равен $4m + 15$. Приравняем его к нулю:

$4m + 15 = 0$

Решим это уравнение относительно $m$:

$4m = -15$

$m = -\frac{15}{4}$

$m = -3.75$

Следовательно, при $m = -3.75$ данная алгебраическая дробь не имеет смысла.

Ответ: при $m = -3.75$.

1.6 а) $ \frac{9x^2}{x(x+2)} $;

б) $ \frac{45z^3+5}{3z(23z+69)} $;

в) $ \frac{8y^2}{y(y-4)} $;

г) $ \frac{72t^2-17}{2t(15t-60)} $.

Заданные выражения являются алгебраическими дробями. Область определения алгебраической дроби — это множество всех значений переменных, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Чтобы найти, при каких значениях переменной выражение имеет смысл, нужно найти значения, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их.

а) Дана дробь $\frac{9x^2}{x(x + 2)}$.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения переменной $x$:

$x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

1) $x = 0$

2) $x + 2 = 0 \implies x = -2$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $0$ и $-2$.

Ответ: $x \neq 0, x \neq -2$.

б) Дана дробь $\frac{45z^3 + 5}{3z(23z + 69)}$.

Найдем значения переменной $z$, при которых знаменатель равен нулю:

$3z(23z + 69) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $3z = 0 \implies z = 0$

2) $23z + 69 = 0 \implies 23z = -69 \implies z = -\frac{69}{23} \implies z = -3$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $z$, кроме $0$ и $-3$.

Ответ: $z \neq 0, z \neq -3$.

в) Дана дробь $\frac{8y^2}{y(y - 4)}$.

Приравняем знаменатель к нулю:

$y(y - 4) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $y = 0$

2) $y - 4 = 0 \implies y = 4$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $y$, кроме $0$ и $4$.

Ответ: $y \neq 0, y \neq 4$.

г) Дана дробь $\frac{72t^2 - 17}{2t(15t - 60)}$.

Найдем значения $t$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$2t(15t - 60) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $2t = 0 \implies t = 0$

2) $15t - 60 = 0 \implies 15t = 60 \implies t = \frac{60}{15} \implies t = 4$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $t$, кроме $0$ и $4$.

Ответ: $t \neq 0, t \neq 4$.

1.7 а) $\frac{3a^2 + 5}{(a + 2)(a + 3)};$

б) $\frac{8b^3 + 14}{(2b - 7)(3b + 9)};$

в) $\frac{31c^2}{(c + 12)(c - 19)};$

г) $\frac{99d^2 - 53}{(3d - 4)(5d + 45)}.$

а)

Данная алгебраическая дробь $\frac{3a^2 + 5}{(a + 2)(a + 3)}$ имеет смысл при всех значениях переменной a, при которых ее знаменатель не равен нулю. Знаменатель дроби равен $(a + 2)(a + 3)$.

Найдем значения a, при которых знаменатель обращается в ноль:

$(a + 2)(a + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$a + 2 = 0$ или $a + 3 = 0$

Решая эти уравнения, получаем:

$a = -2$ или $a = -3$

Следовательно, область допустимых значений переменной a — это все действительные числа, кроме $a = -2$ и $a = -3$.

Ответ: все действительные числа, кроме $a = -2$ и $a = -3$.

б)

Дробь $\frac{8b^3 + 14}{(2b - 7)(3b + 9)}$ имеет смысл, если ее знаменатель $(2b - 7)(3b + 9)$ не равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения переменной b:

$(2b - 7)(3b + 9) = 0$

Это уравнение выполняется, если один из множителей равен нулю:

$2b - 7 = 0$ или $3b + 9 = 0$

Решим каждое уравнение:

$2b = 7 \implies b = \frac{7}{2} = 3.5$

$3b = -9 \implies b = -\frac{9}{3} = -3$

Таким образом, переменная b может принимать любые значения, кроме $b = 3.5$ и $b = -3$.

Ответ: все действительные числа, кроме $b = 3.5$ и $b = -3$.

в)

Выражение $\frac{31c^2}{(c + 12)(c - 19)}$ определено для всех значений c, для которых знаменатель $(c + 12)(c - 19)$ не обращается в ноль.

Найдем значения c, которые обращают знаменатель в ноль:

$(c + 12)(c - 19) = 0$

Из этого следует, что:

$c + 12 = 0$ или $c - 19 = 0$

$c = -12$ или $c = 19$

Значит, допустимыми значениями являются все числа, за исключением $c = -12$ и $c = 19$.

Ответ: все действительные числа, кроме $c = -12$ и $c = 19$.

г)

Область определения дроби $\frac{99d^2 - 53}{(3d - 4)(5d + 45)}$ состоит из всех значений d, при которых знаменатель не равен нулю.

Найдем корни знаменателя, решив уравнение:

$(3d - 4)(5d + 45) = 0$

Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю:

$3d - 4 = 0$ или $5d + 45 = 0$

Решаем каждое уравнение отдельно:

$3d = 4 \implies d = \frac{4}{3}$

$5d = -45 \implies d = -\frac{45}{5} = -9$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех d, кроме $d = \frac{4}{3}$ и $d = -9$.

Ответ: все действительные числа, кроме $d = \frac{4}{3}$ и $d = -9$.

1.8 Найдите допустимые значения переменной для заданной алгебраической дроби:

а) $\frac{4x^2 - 2x - 3}{(x - 3)(x + 3)}$

б) $\frac{35p - 24}{p^2 - 16}$

в) $\frac{17s + 1}{(s - 2)(2 + s)}$

г) $\frac{t^2 + 4t - 1}{t^2 - 36}$

Допустимые значения переменной для алгебраической дроби — это все те значения, при которых её знаменатель не равен нулю. Чтобы найти эти значения, для каждого выражения необходимо приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение. Значения переменной, которые являются корнями этого уравнения, будут недопустимыми.

Дана дробь $\frac{4x^2 - 2x - 3}{(x - 3)(x + 3)}$.

Знаменатель дроби равен $(x - 3)(x + 3)$. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$(x - 3)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

или

$x + 3 = 0 \implies x = -3$

Следовательно, допустимыми значениями переменной $x$ являются все числа, кроме 3 и -3.

Ответ: все числа, кроме $x=3$ и $x=-3$.

Дана дробь $\frac{35p - 24}{p^2 - 16}$.

Знаменатель дроби равен $p^2 - 16$. Найдем значения $p$, при которых он равен нулю:

$p^2 - 16 = 0$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(p - 4)(p + 4) = 0$

Отсюда получаем:

$p - 4 = 0 \implies p = 4$

или

$p + 4 = 0 \implies p = -4$

Таким образом, допустимыми значениями переменной $p$ являются все числа, кроме 4 и -4.

Ответ: все числа, кроме $p=4$ и $p=-4$.

Дана дробь $\frac{17s + 1}{(s - 2)(2 + s)}$.

Знаменатель дроби равен $(s - 2)(2 + s)$. Найдем значения $s$, при которых знаменатель равен нулю:

$(s - 2)(2 + s) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$s - 2 = 0 \implies s = 2$

или

$2 + s = 0 \implies s = -2$

Следовательно, допустимыми значениями переменной $s$ являются все числа, кроме 2 и -2.

Ответ: все числа, кроме $s=2$ и $s=-2$.

Дана дробь $\frac{t^2 + 4t - 1}{t^2 - 36}$.

Знаменатель дроби равен $t^2 - 36$. Найдем значения $t$, при которых он обращается в ноль:

$t^2 - 36 = 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(t - 6)(t + 6) = 0$

Отсюда получаем:

$t - 6 = 0 \implies t = 6$

или

$t + 6 = 0 \implies t = -6$

Таким образом, допустимыми значениями переменной $t$ являются все числа, кроме 6 и -6.

Ответ: все числа, кроме $t=6$ и $t=-6$.

1.9 Придумайте примеры алгебраических дробей, которые имели бы смысл при:

а) $x \neq 3$;

б) $y \neq 0, y \neq 12$;

в) $z \neq -4, z \neq -7, z \neq 0$;

г) любом значении x.

а) Алгебраическая дробь имеет смысл тогда, когда её знаменатель не равен нулю. По условию, дробь должна быть определена для всех значений $x$, кроме $x = 3$. Это означает, что знаменатель дроби должен обращаться в ноль именно при $x = 3$. Простейшее выражение, которое удовлетворяет этому условию, — это $x - 3$. В качестве числителя можно взять любое число или выражение, которое не обращается в ноль одновременно со знаменателем (хотя и это возможно, но усложняет пример). Возьмем в числитель, например, 1.
Ответ: $\frac{1}{x-3}$

б) Дробь должна иметь смысл при $y \neq 0$ и $y \neq 12$. Это значит, что знаменатель должен быть равен нулю при $y = 0$ и при $y = 12$. Чтобы знаменатель обращался в ноль при $y = 0$, он должен содержать множитель $y$. Чтобы он обращался в ноль при $y = 12$, он должен содержать множитель $(y - 12)$. Таким образом, знаменатель может быть произведением этих множителей: $y(y - 12)$. Числитель может быть любым, например, константой 7.
Ответ: $\frac{7}{y(y - 12)}$

в) Дробь должна иметь смысл при $z \neq -4$, $z \neq -7$ и $z \neq 0$. Следовательно, знаменатель этой дроби должен обращаться в ноль при $z = -4$, $z = -7$ и $z = 0$. Для этого знаменатель должен содержать множители, которые обнуляются при этих значениях $z$:

• при $z = 0$ множитель $z$;
• при $z = -4$ множитель $(z - (-4)) = z + 4$;
• при $z = -7$ множитель $(z - (-7)) = z + 7$.

Знаменателем может быть произведение этих трех множителей: $z(z+4)(z+7)$. В качестве числителя возьмем любое выражение, например, $z^2$.
Ответ: $\frac{z^2}{z(z+4)(z+7)}$

г) Дробь должна иметь смысл при любом значении $x$. Это означает, что ее знаменатель никогда не должен обращаться в ноль. Нужно найти выражение от $x$, которое не равно нулю ни при каком действительном значении $x$. Например, выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Если прибавить к нему любое положительное число (например, 1), то сумма $x^2 + 1$ будет всегда строго положительной ($x^2 + 1 \ge 1$), а значит, никогда не будет равна нулю. В качестве числителя можно взять любое выражение, например, $3x$.
Ответ: $\frac{3x}{x^2+1}$

Найдите значения переменной, при которых алгебраическая дробь равна нулю (если такие значения существуют):

1.10 a) $\frac{x - 4}{x + 2}$;

б) $\frac{x^2 + 1}{x^2}$;

в) $\frac{2x + 6}{x - 2}$;

г) $\frac{x + 1}{x^2 + 1}$.

a) Чтобы алгебраическая дробь $\frac{x-4}{x+2}$ была равна нулю, ее числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x - 4 = 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим корень: $x - 4 = 0$, что дает $x = 4$.

Подставим найденное значение $x=4$ во второе условие, чтобы выполнить проверку: $4 + 2 = 6$.

Поскольку $6 \neq 0$, условие выполняется. Следовательно, при $x = 4$ дробь равна нулю.

Ответ: $x=4$.

б) Для дроби $\frac{x^2+1}{x^2}$ условие равенства нулю записывается в виде системы:

$\begin{cases} x^2 + 1 = 0 \\ x^2 \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение системы: $x^2 + 1 = 0$. Перенеся 1 в правую часть, получим $x^2 = -1$.

Это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$).

Поскольку числитель дроби никогда не обращается в ноль, то и вся дробь не может быть равна нулю ни при каком значении переменной.

Ответ: таких значений не существует.

в) Найдем значение переменной, при котором дробь $\frac{2x+6}{x-2}$ равна нулю. Для этого ее числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — нет:

$\begin{cases} 2x + 6 = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $2x + 6 = 0 \implies 2x = -6 \implies x = -3$.

Проверим второе условие, подставив в него найденный корень $x=-3$: $-3 - 2 = -5$.

Так как $-5 \neq 0$, условие выполняется. Значит, при $x = -3$ исходная дробь равна нулю.

Ответ: $x=-3$.

г) Для дроби $\frac{x+1}{x^2+1}$ условие равенства нулю записывается системой:

$\begin{cases} x + 1 = 0 \\ x^2 + 1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим корень: $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$.

Теперь проверим второе условие. Подставим $x = -1$ в знаменатель: $(-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Поскольку $2 \neq 0$, условие выполняется. Стоит отметить, что знаменатель $x^2+1$ всегда строго больше нуля для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+1 \ge 1$.

Следовательно, данная дробь равна нулю при $x = -1$.

Ответ: $x=-1$.

1.11 а) $\frac{3x^2}{x(x-2)}$;

б) $\frac{x^2-4}{x-2}$;

в) $\frac{x(x+3)}{(x+3)^2}$;

г) $\frac{x(x+1)}{x^2-1}$.

а) Чтобы упростить дробь $\frac{3x^2}{x(x-2)}$, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе. В данном случае общим множителем является $x$. Сократим дробь на $x$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$ (чтобы знаменатель не был равен нулю).
$\frac{3x^2}{x(x-2)} = \frac{3x \cdot x}{x(x-2)} = \frac{3x}{x-2}$
Ответ: $\frac{3x}{x-2}$

б) Чтобы упростить дробь $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$, разложим числитель на множители. Числитель представляет собой разность квадратов, которая раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$
Теперь подставим разложенный числитель в дробь и сократим на общий множитель $(x-2)$, при условии, что $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$
Ответ: $x+2$

в) Чтобы упростить дробь $\frac{x(x+3)}{(x+3)^2}$, представим знаменатель в виде произведения $(x+3)(x+3)$.
$\frac{x(x+3)}{(x+3)^2} = \frac{x(x+3)}{(x+3)(x+3)}$
Сократим дробь на общий множитель $(x+3)$, при условии, что $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.
$\frac{x}{x+3}$
Ответ: $\frac{x}{x+3}$

г) Чтобы упростить дробь $\frac{x(x+1)}{x^2 - 1}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель является разностью квадратов, поэтому используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x-1)(x+1)$
Подставим разложенный знаменатель в дробь и сократим на общий множитель $(x+1)$, при условии, что $x^2-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
$\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x}{x-1}$
Ответ: $\frac{x}{x-1}$