Номер 1.10, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 1. Основные понятия - номер 1.10, страница 13.

Условие.

Найдите значения переменной, при которых алгебраическая дробь равна нулю (если такие значения существуют):

1.10 a) $\frac{x - 4}{x + 2}$;

б) $\frac{x^2 + 1}{x^2}$;

в) $\frac{2x + 6}{x - 2}$;

г) $\frac{x + 1}{x^2 + 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) Чтобы алгебраическая дробь $\frac{x-4}{x+2}$ была равна нулю, ее числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x - 4 = 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим корень: $x - 4 = 0$, что дает $x = 4$.

Подставим найденное значение $x=4$ во второе условие, чтобы выполнить проверку: $4 + 2 = 6$.

Поскольку $6 \neq 0$, условие выполняется. Следовательно, при $x = 4$ дробь равна нулю.

Ответ: $x=4$.

б) Для дроби $\frac{x^2+1}{x^2}$ условие равенства нулю записывается в виде системы:

$\begin{cases} x^2 + 1 = 0 \\ x^2 \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение системы: $x^2 + 1 = 0$. Перенеся 1 в правую часть, получим $x^2 = -1$.

Это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$).

Поскольку числитель дроби никогда не обращается в ноль, то и вся дробь не может быть равна нулю ни при каком значении переменной.

Ответ: таких значений не существует.

в) Найдем значение переменной, при котором дробь $\frac{2x+6}{x-2}$ равна нулю. Для этого ее числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — нет:

$\begin{cases} 2x + 6 = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $2x + 6 = 0 \implies 2x = -6 \implies x = -3$.

Проверим второе условие, подставив в него найденный корень $x=-3$: $-3 - 2 = -5$.

Так как $-5 \neq 0$, условие выполняется. Значит, при $x = -3$ исходная дробь равна нулю.

Ответ: $x=-3$.

г) Для дроби $\frac{x+1}{x^2+1}$ условие равенства нулю записывается системой:

$\begin{cases} x + 1 = 0 \\ x^2 + 1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим корень: $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$.

Теперь проверим второе условие. Подставим $x = -1$ в знаменатель: $(-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Поскольку $2 \neq 0$, условие выполняется. Стоит отметить, что знаменатель $x^2+1$ всегда строго больше нуля для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+1 \ge 1$.

Следовательно, данная дробь равна нулю при $x = -1$.

Ответ: $x=-1$.