Номер 1.14, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.14, страница 14.

Условие.

1.14 Прогулочный катер двигался по реке, скорость течения которой 2 км/ч. По течению реки он проплыл 18 км, а против течения 14 км, затратив на весь путь 1 ч 20 мин.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменную. Пусть собственная скорость катера равна $x$ км/ч. Поскольку скорость течения реки равна 2 км/ч, то скорость катера по течению составит $(x + 2)$ км/ч, а скорость катера против течения — $(x - 2)$ км/ч. Важным условием является то, что катер может двигаться против течения, следовательно, его собственная скорость должна быть больше скорости течения: $x > 2$.

Общее время, затраченное на весь путь, указано как 1 час 20 минут. Для удобства вычислений переведем это время полностью в часы:

$1 \text{ час } 20 \text{ минут } = 1 + \frac{20}{60} \text{ часа } = 1 + \frac{1}{3} \text{ часа } = \frac{4}{3}$ часа.

Время движения по течению можно найти, разделив расстояние на скорость по течению: $t_1 = \frac{18}{x + 2}$ ч. Аналогично, время движения против течения равно $t_2 = \frac{14}{x - 2}$ ч. Сумма этих двух отрезков времени равна общему времени в пути, что позволяет составить уравнение:

$\frac{18}{x + 2} + \frac{14}{x - 2} = \frac{4}{3}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$:

$\frac{18(x - 2) + 14(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{4}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{18x - 36 + 14x + 28}{x^2 - 4} = \frac{4}{3}$

$\frac{32x - 8}{x^2 - 4} = \frac{4}{3}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$3(32x - 8) = 4(x^2 - 4)$

$96x - 24 = 4x^2 - 16$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 - 96x - 16 + 24 = 0$

$4x^2 - 96x + 8 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 4:

$x^2 - 24x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 576 - 8 = 568$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{24 \pm \sqrt{568}}{2}$

Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{568} = \sqrt{4 \cdot 142} = 2\sqrt{142}$.

$x = \frac{24 \pm 2\sqrt{142}}{2} = 12 \pm \sqrt{142}$

Мы получили два корня:

$x_1 = 12 + \sqrt{142}$

$x_2 = 12 - \sqrt{142}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли корни условию $x > 2$.

Корень $x_1 = 12 + \sqrt{142}$ очевидно больше 12, так как $\sqrt{142} > 0$. Следовательно, $x_1 > 2$ и этот корень является решением задачи.

Для корня $x_2 = 12 - \sqrt{142}$ оценим значение $\sqrt{142}$. Поскольку $11^2 = 121$ и $12^2 = 144$, то $11 < \sqrt{142} < 12$. Следовательно, значение $x_2 = 12 - \sqrt{142}$ находится между $12-12=0$ и $12-11=1$. Так как $x_2 < 2$, этот корень не удовлетворяет условию задачи, так как при такой скорости катер не смог бы двигаться против течения.

Таким образом, единственным решением является $x = 12 + \sqrt{142}$.

Ответ: собственная скорость катера равна $(12 + \sqrt{142})$ км/ч.