Номер 1.18, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.18, страница 14.

Условие.

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

1.18 Моторная лодка, собственная скорость которой равна 30 км/ч, прошла по течению реки расстояние 48 км и против течения 42 км. Какова скорость течения реки, если известно, что на путь по течению лодка затратила столько же времени, сколько на путь против течения?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

1-й этап: Составление математической модели

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Это искомая величина. По условию, собственная скорость моторной лодки равна 30 км/ч.

Скорость лодки при движении по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = (30 + x)$ км/ч. Скорость лодки при движении против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = (30 - x)$ км/ч.

Лодка прошла по течению расстояние 48 км. Время, затраченное на этот путь, определяется по формуле $t = S/v$: $t_{по} = \frac{48}{30 + x}$ ч.

Против течения лодка прошла расстояние 42 км. Время, затраченное на этот путь: $t_{против} = \frac{42}{30 - x}$ ч.

Согласно условию задачи, время, затраченное на путь по течению и против течения, одинаково. Следовательно, мы можем составить уравнение: $\frac{48}{30 + x} = \frac{42}{30 - x}$

Физический смысл величин накладывает ограничения: скорость течения должна быть положительной и меньше собственной скорости лодки (иначе лодка не сможет двигаться против течения). Таким образом, $0 < x < 30$.

2-й этап: Работа с составленной моделью

Решим полученное рациональное уравнение: $\frac{48}{30 + x} = \frac{42}{30 - x}$

Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Это возможно, так как знаменатели не равны нулю в силу ограничения $0 < x < 30$. $48(30 - x) = 42(30 + x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $48 \cdot 30 - 48x = 42 \cdot 30 + 42x$ $1440 - 48x = 1260 + 42x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой: $1440 - 1260 = 42x + 48x$ $180 = 90x$

Найдем значение $x$: $x = \frac{180}{90}$ $x = 2$

3-й этап: Ответ на вопрос задачи

Найденное значение $x=2$ является корнем уравнения. Проверим, соответствует ли оно наложенным ограничениям $0 < x < 30$. Так как $0 < 2 < 30$, корень подходит по смыслу задачи.

Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Выполним проверку: Время движения по течению: $t_{по} = \frac{48}{30 + 2} = \frac{48}{32} = 1,5$ ч. Время движения против течения: $t_{против} = \frac{42}{30 - 2} = \frac{42}{28} = 1,5$ ч. Время совпадает, $t_{по} = t_{против}$, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 2 км/ч.