Номер 1.23, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.23, страница 15.

Условие.

1.23 а) $ \frac{a^2 - b^2}{(a + b)^2} $ при $ a = 4, b = -2; $

б) $ \frac{c^3 + dc}{c^2d + d^2} $ при $ c = -2, d = 10; $

в) $ \frac{x^2 + y^2}{x^4 - y^4} $ при $ x = 13, y = 12; $

г) $ \frac{m^4 - n^4}{m^3n - mn^3} $ при $ m = 2, n = -1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Сначала упростим данное выражение. Числитель $a^2 - b^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Знаменатель представляет собой квадрат суммы $(a + b)^2$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$\frac{a^2 - b^2}{(a + b)^2} = \frac{(a - b)(a + b)}{(a + b)(a + b)}$

При условии, что $a + b \neq 0$, можно сократить дробь на $(a + b)$:

$\frac{a - b}{a + b}$

Подставим заданные значения $a = 4$ и $b = -2$ в упрощенное выражение. Сначала проверим условие $a + b \neq 0$: $4 + (-2) = 2 \neq 0$.

$\frac{4 - (-2)}{4 + (-2)} = \frac{4 + 2}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: 3

б) Упростим выражение, вынеся общие множители в числителе и знаменателе. В числителе $c^3 + dc$ вынесем за скобки $c$: $c(c^2 + d)$. В знаменателе $c^2d + d^2$ вынесем за скобки $d$: $d(c^2 + d)$.

Получаем дробь:

$\frac{c(c^2 + d)}{d(c^2 + d)}$

При условии, что $c^2 + d \neq 0$, можно сократить дробь на $(c^2 + d)$, получив $\frac{c}{d}$. Проверим условие для заданных значений $c = -2$ и $d = 10$: $(-2)^2 + 10 = 4 + 10 = 14 \neq 0$.

Подставим значения в упрощенное выражение:

$\frac{-2}{10} = -0,2$

Ответ: -0,2

в) Сначала упростим данное выражение. Знаменатель $x^4 - y^4$ можно представить как разность квадратов $(x^2)^2 - (y^2)^2$. Используя формулу разности квадратов, раскладываем знаменатель на множители:

$x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{x^2 + y^2}{x^4 - y^4} = \frac{x^2 + y^2}{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)}$

При условии, что $x^2 + y^2 \neq 0$, можно сократить дробь на $(x^2 + y^2)$: $\frac{1}{x^2 - y^2}$. Проверим условие для заданных значений $x = 13$ и $y = 12$: $13^2 + 12^2 = 169 + 144 = 313 \neq 0$.

Подставим значения в упрощенное выражение. Знаменатель $13^2 - 12^2$ также является разностью квадратов:

$\frac{1}{13^2 - 12^2} = \frac{1}{(13 - 12)(13 + 12)} = \frac{1}{1 \cdot 25} = \frac{1}{25}$

Ответ: $\frac{1}{25}$

г) Упростим выражение, разложив на множители числитель и знаменатель. Числитель $m^4 - n^4$ — это разность квадратов: $(m^2 - n^2)(m^2 + n^2) = (m - n)(m + n)(m^2 + n^2)$. В знаменателе $m^3n - mn^3$ вынесем за скобки общий множитель $mn$: $mn(m^2 - n^2) = mn(m - n)(m + n)$.

Подставим разложенные части в исходную дробь:

$\frac{(m - n)(m + n)(m^2 + n^2)}{mn(m - n)(m + n)}$

При условии, что $m, n, (m-n), (m+n)$ не равны нулю, можно сократить дробь на $(m - n)(m + n)$: $\frac{m^2 + n^2}{mn}$. Проверим условия для $m = 2$ и $n = -1$: $2\neq0$, $-1\neq0$, $2-(-1)=3\neq0$, $2+(-1)=1\neq0$. Все условия выполнены.

Подставим значения в упрощенное выражение:

$\frac{2^2 + (-1)^2}{2 \cdot (-1)} = \frac{4 + 1}{-2} = \frac{5}{-2} = -2,5$

Ответ: -2,5