Номер 1.26, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.26, страница 16.

Условие.

1.26 a) $ \frac{a^2 + 5}{(a - 1)^2}; $

б) $ \frac{b^2 + 12}{4b^2 - 4b + 1}; $

в) $ \frac{12c^2 - 7}{(c + 3)^2}; $

г) $ \frac{27m^3 - 15}{4m^2 + 36m + 81}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Данное выражение $\frac{a^2 + 5}{(a - 1)^2}$ является дробным. Дробное выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Найдем значения переменной $a$, при которых знаменатель обращается в ноль.

Приравняем знаменатель к нулю:

$(a - 1)^2 = 0$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$a - 1 = 0$

Отсюда находим $a$:

$a = 1$

Таким образом, при $a = 1$ знаменатель дроби равен нулю, и выражение не имеет смысла. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, кроме $a=1$.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $a$ таких, что $a \neq 1$.

---

б) Рассмотрим выражение $\frac{b^2 + 12}{4b^2 - 4b + 1}$. Это дробь, которая имеет смысл, если ее знаменатель отличен от нуля. Найдем значения $b$, при которых знаменатель равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю:

$4b^2 - 4b + 1 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности. Используем формулу сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=2b$ и $y=1$:

$(2b - 1)^2 = 0$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$2b - 1 = 0$

Решим это линейное уравнение:

$2b = 1$

$b = \frac{1}{2}$

Значит, при $b = \frac{1}{2}$ знаменатель обращается в ноль. Выражение имеет смысл при всех значениях $b$, кроме $b = \frac{1}{2}$.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $b$ таких, что $b \neq \frac{1}{2}$.

---

в) Выражение $\frac{12c^2 - 7}{(c + 3)^2}$ является дробью. Оно определено для всех значений переменной $c$, при которых знаменатель не равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения:

$(c + 3)^2 = 0$

Извлечем квадратный корень:

$c + 3 = 0$

Отсюда:

$c = -3$

Таким образом, выражение не имеет смысла при $c = -3$. Для всех остальных значений $c$ выражение определено.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $c$ таких, что $c \neq -3$.

---

г) Рассмотрим выражение $\frac{27m^3 - 15}{4m^2 + 36m + 81}$. Чтобы найти, при каких значениях переменной это дробное выражение имеет смысл, необходимо исключить значения $m$, при которых знаменатель равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю:

$4m^2 + 36m + 81 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x=2m$ и $y=9$:

$(2m + 9)^2 = 0$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$2m + 9 = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $m$:

$2m = -9$

$m = -\frac{9}{2}$

Следовательно, при $m = -\frac{9}{2}$ знаменатель дроби равен нулю, и выражение не имеет смысла. Для всех других значений $m$ выражение определено.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $m$ таких, что $m \neq -\frac{9}{2}$.