Номер 1.32, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.32, страница 16.

Условие.

1.32 Докажите, что алгебраическая дробь не имеет смысла ни при каких значениях переменной:

a) $\frac{2x - 5}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9) - x(x^2 + 3) + 3(9 + x)}$

б) $\frac{3a - 1}{2(4 - a) - (a + 2)(a^2 - 2a + 4) + a(a^2 + 2)}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Алгебраическая дробь не имеет смысла (не определена), если ее знаменатель равен нулю. Найдем область допустимых значений переменной $x$, для этого приравняем знаменатель к нулю и решим уравнение. Если окажется, что знаменатель равен нулю при любом $x$, то дробь не имеет смысла ни при каких значениях переменной.

Рассмотрим и упростим знаменатель дроби:

$D_1 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) - x(x^2 + 3) + 3(9 + x)$

Выражение $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$ является формулой разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. Применив ее, получаем:

$(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$

Раскроем скобки в остальных частях выражения:

$-x(x^2 + 3) = -x^3 - 3x$

$3(9 + x) = 27 + 3x$

Подставим полученные выражения обратно в знаменатель:

$D_1 = (x^3 - 27) + (-x^3 - 3x) + (27 + 3x)$

Приведем подобные слагаемые:

$D_1 = x^3 - 27 - x^3 - 3x + 27 + 3x = (x^3 - x^3) + (-3x + 3x) + (-27 + 27) = 0$

Знаменатель дроби тождественно равен нулю для любого значения $x$.

Ответ: Поскольку знаменатель дроби всегда равен нулю, а на ноль делить нельзя, данная алгебраическая дробь не имеет смысла ни при каких значениях переменной $x$, что и требовалось доказать.

б)

Аналогично пункту а), проверим, при каких значениях переменной $a$ знаменатель дроби обращается в ноль.

Рассмотрим и упростим знаменатель дроби:

$D_2 = 2(4 - a) - (a + 2)(a^2 - 2a + 4) + a(a^2 + 2)$

Выражение $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$ является формулой суммы кубов $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. Применив ее, получаем:

$(a + 2)(a^2 - 2a + 4) = a^3 + 2^3 = a^3 + 8$

Раскроем скобки в остальных частях выражения:

$2(4 - a) = 8 - 2a$

$a(a^2 + 2) = a^3 + 2a$

Подставим полученные выражения обратно в знаменатель:

$D_2 = (8 - 2a) - (a^3 + 8) + (a^3 + 2a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$D_2 = 8 - 2a - a^3 - 8 + a^3 + 2a = (-a^3 + a^3) + (-2a + 2a) + (8 - 8) = 0$

Знаменатель дроби тождественно равен нулю для любого значения $a$.

Ответ: Поскольку знаменатель дроби всегда равен нулю, данная алгебраическая дробь не имеет смысла ни при каких значениях переменной $a$, что и требовалось доказать.