Номер 1.27, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.27, страница 16.

Условие.

1.27 a) $ \frac{7a^2 - 5}{(a + 8)(a - 9)(a + 17)} $

б) $ \frac{101b^3 - 58b^2 + 5}{(2b + 1)(3b + 4)(3b - 8)} $

в) $ \frac{73c^3 - 8}{(4c - 2)(7c + 8)(13c + 39)} $

г) $ \frac{d^3 + 4d^2 + 8d - 16}{(d + 1)(4d + 4)(7d + 5)} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) Требуется разложить дробь $\frac{7a^2 - 5}{(a+8)(a-9)(a+17)}$ на сумму простейших дробей. Поскольку знаменатель состоит из трех различных линейных множителей, разложение будет иметь вид: $ \frac{7a^2 - 5}{(a+8)(a-9)(a+17)} = \frac{A}{a+8} + \frac{B}{a-9} + \frac{C}{a+17} $ Для нахождения коэффициентов $A, B, C$ умножим обе части на знаменатель $(a+8)(a-9)(a+17)$: $ 7a^2 - 5 = A(a-9)(a+17) + B(a+8)(a+17) + C(a+8)(a-9) $ Будем подставлять в это равенство корни знаменателя: $a=-8, a=9, a=-17$.

1. При $a = -8$:
$ 7(-8)^2 - 5 = A(-8-9)(-8+17) + B(0) + C(0) $
$ 7(64) - 5 = A(-17)(9) $
$ 448 - 5 = -153A $
$ 443 = -153A \implies A = -\frac{443}{153} $

2. При $a = 9$:
$ 7(9)^2 - 5 = A(0) + B(9+8)(9+17) + C(0) $
$ 7(81) - 5 = B(17)(26) $
$ 567 - 5 = 442B $
$ 562 = 442B \implies B = \frac{562}{442} = \frac{281}{221} $

3. При $a = -17$:
$ 7(-17)^2 - 5 = A(0) + B(0) + C(-17+8)(-17-9) $
$ 7(289) - 5 = C(-9)(-26) $
$ 2023 - 5 = 234C $
$ 2018 = 234C \implies C = \frac{2018}{234} = \frac{1009}{117} $

Подставляем найденные коэффициенты в разложение: $ \frac{7a^2 - 5}{(a+8)(a-9)(a+17)} = -\frac{443}{153(a+8)} + \frac{281}{221(a-9)} + \frac{1009}{117(a+17)} $

Ответ: $ -\frac{443}{153(a+8)} + \frac{281}{221(a-9)} + \frac{1009}{117(a+17)} $

б) Требуется разложить дробь $\frac{101b^3 - 58b^2 + 5}{(2b+1)(3b+4)(3b-8)}$. Степень числителя (3) равна степени знаменателя (3), следовательно, дробь неправильная. Сначала нужно выделить целую часть. Целая часть равна отношению коэффициентов при старших степенях: $ D = \frac{101}{2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{101}{18} $ Разложение ищем в виде: $ \frac{101b^3 - 58b^2 + 5}{(2b+1)(3b+4)(3b-8)} = \frac{101}{18} + \frac{A}{2b+1} + \frac{B}{3b+4} + \frac{C}{3b-8} $ Коэффициенты $A, B, C$ находим методом частных значений (метод Хевисайда).

1. Для $A$ (при $b = -1/2$):
$ A = \left. \frac{101b^3 - 58b^2 + 5}{(3b+4)(3b-8)} \right|_{b=-1/2} = \frac{101(-1/8) - 58(1/4) + 5}{(3(-1/2)+4)(3(-1/2)-8)} = \frac{(-101-116+40)/8}{(-3/2+8/2)(-3/2-16/2)} = \frac{-177/8}{(5/2)(-19/2)} = \frac{-177/8}{-95/4} = \frac{177 \cdot 4}{8 \cdot 95} = \frac{177}{190} $

2. Для $B$ (при $b = -4/3$):
$ B = \left. \frac{101b^3 - 58b^2 + 5}{(2b+1)(3b-8)} \right|_{b=-4/3} = \frac{101(-64/27) - 58(16/9) + 5}{(2(-4/3)+1)(3(-4/3)-8)} = \frac{(-6464 - 2784 + 135)/27}{(-8/3+3/3)(-4-8)} = \frac{-9113/27}{(-5/3)(-12)} = \frac{-9113/27}{20} = -\frac{9113}{540} $

3. Для $C$ (при $b = 8/3$):
$ C = \left. \frac{101b^3 - 58b^2 + 5}{(2b+1)(3b+4)} \right|_{b=8/3} = \frac{101(512/27) - 58(64/9) + 5}{(2(8/3)+1)(3(8/3)+4)} = \frac{(51712 - 11136 + 135)/27}{(16/3+3/3)(8+4)} = \frac{40711/27}{(19/3)(12)} = \frac{40711/27}{76} = \frac{40711}{2052} $

Ответ: $ \frac{101}{18} + \frac{177}{190(2b+1)} - \frac{9113}{540(3b+4)} + \frac{40711}{2052(3b-8)} $

в) Требуется разложить дробь $\frac{73c^3 - 8}{(4c-2)(7c+8)(13c+39)}$. Упростим знаменатель: $(4c-2)(7c+8)(13c+39) = 2(2c-1)(7c+8)13(c+3) = 26(2c-1)(7c+8)(c+3)$. Дробь неправильная, так как степени числителя и знаменателя равны 3. Выделяем целую часть: $ D = \frac{73}{4 \cdot 7 \cdot 13} = \frac{73}{364} $ Разложение ищем в виде: $ \frac{73c^3 - 8}{26(2c-1)(7c+8)(c+3)} = \frac{73}{364} + \frac{A}{2c-1} + \frac{B}{7c+8} + \frac{C}{c+3} $

1. Для $A$ (при $c=1/2$):
$ A = \left. (2c-1)\left(\frac{73c^3 - 8}{26(2c-1)(7c+8)(c+3)}\right) \right|_{c=1/2} = \frac{1}{26} \frac{73(1/8)-8}{(7/2+8)(1/2+3)} = \frac{1}{26} \frac{9/8}{(23/2)(7/2)} = \frac{1}{26}\frac{9/8}{161/4} = \frac{9}{8372} $

2. Для $B$ (при $c=-8/7$):
$ B = \left. (7c+8)\left(\frac{73c^3 - 8}{26(2c-1)(7c+8)(c+3)}\right) \right|_{c=-8/7} = \frac{1}{26} \frac{73(-8/7)^3-8}{(2(-8/7)-1)(-8/7+3)} = \frac{1}{26} \frac{-40120/343}{(-23/7)(13/7)} = \frac{1}{26} \frac{-40120/343}{-299/49} = \frac{20060}{27209} $

3. Для $C$ (при $c=-3$):
$ C = \left. (c+3)\left(\frac{73c^3 - 8}{26(2c-1)(7c+8)(c+3)}\right) \right|_{c=-3} = \frac{1}{26} \frac{73(-27)-8}{(2(-3)-1)(7(-3)+8)} = \frac{1}{26} \frac{-1979}{(-7)(-13)} = -\frac{1979}{2366} $

Ответ: $ \frac{73}{364} + \frac{9}{8372(2c-1)} + \frac{20060}{27209(7c+8)} - \frac{1979}{2366(c+3)} $

г) Требуется разложить дробь $\frac{d^3 + 4d^2 + 8d - 16}{(d+1)(4d+4)(7d+5)}$. Упростим знаменатель: $(d+1) \cdot 4(d+1) \cdot (7d+5) = 4(d+1)^2(7d+5)$. Дробь неправильная. Выделим целую часть: $ D = \frac{1}{4 \cdot 1 \cdot 7} = \frac{1}{28} $ Знаменатель содержит кратный корень, поэтому разложение ищем в виде: $ \frac{d^3 + 4d^2 + 8d - 16}{4(d+1)^2(7d+5)} = \frac{1}{28} + \frac{A}{d+1} + \frac{B}{(d+1)^2} + \frac{C}{7d+5} $

1. Для $B$ (кратный корень $d=-1$):
$ B = \left. (d+1)^2 \left(\frac{d^3 + 4d^2 + 8d - 16}{4(d+1)^2(7d+5)}\right) \right|_{d=-1} = \frac{(-1)^3 + 4(-1)^2 + 8(-1) - 16}{4(7(-1)+5)} = \frac{-1+4-8-16}{4(-2)} = \frac{-21}{-8} = \frac{21}{8} $

2. Для $C$ (корень $d=-5/7$):
$ C = \left. (7d+5) \left(\frac{d^3 + 4d^2 + 8d - 16}{4(d+1)^2(7d+5)}\right) \right|_{d=-5/7} = \frac{(-5/7)^3 + 4(-5/7)^2 + 8(-5/7) - 16}{4(-5/7+1)^2} = \frac{-125/343 + 100/49 - 40/7 - 16}{4(2/7)^2} = \frac{(-125+700-1960-5488)/343}{16/49} = \frac{-6873/343}{16/49} = -\frac{6873}{112} $

3. Для $A$, подставим в разложение значение $d=0$:
$ \frac{0+0+0-16}{4(1)^2(5)} = \frac{1}{28} + \frac{A}{1} + \frac{B}{1^2} + \frac{C}{5} $
$ -\frac{16}{20} = \frac{1}{28} + A + \frac{21}{8} + \frac{-6873/112}{5} $
$ -\frac{4}{5} = \frac{1}{28} + A + \frac{21}{8} - \frac{6873}{560} $
$ A = -\frac{4}{5} - \frac{1}{28} - \frac{21}{8} + \frac{6873}{560} = \frac{-4(112) - 20 - 21(70) + 6873}{560} = \frac{-448-20-1470+6873}{560} = \frac{4935}{560} = \frac{987}{112} = \frac{141}{16} $

Ответ: $ \frac{1}{28} + \frac{141}{16(d+1)} + \frac{21}{8(d+1)^2} - \frac{6873}{112(7d+5)} $