Номер 1.24, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.24, страница 15.

Условие.

Установите, при каких значениях переменной алгебраическая дробь имеет смысл:

1.24 a) $\frac{3x^2}{x^2 + 3}$

б) $\frac{15b + 1}{b^2(b^2 + 1)}$

в) $\frac{x^2 - 1}{x^2 + 5}$

г) $\frac{8m - 3}{m^2(m^2 + 4)}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Алгебраическая дробь имеет смысл (определена) тогда и только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Чтобы найти значения переменной, при которых дробь имеет смысл, необходимо найти значения, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их из множества всех действительных чисел.

а) $\frac{3x^2}{x^2 + 3}$

Найдем значения переменной $x$, при которых знаменатель $x^2 + 3$ равен нулю.

$x^2 + 3 = 0$

$x^2 = -3$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным ($x^2 \geq 0$). Следовательно, выражение $x^2 + 3$ всегда положительно (а именно, $x^2 + 3 \geq 3$). Знаменатель никогда не равен нулю.

Ответ: дробь имеет смысл при любых значениях $x$.

б) $\frac{15b + 1}{b^2(b^2 + 1)}$

Найдем значения переменной $b$, при которых знаменатель $b^2(b^2 + 1)$ равен нулю.

$b^2(b^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $b^2 = 0 \Rightarrow b = 0$.

2) $b^2 + 1 = 0 \Rightarrow b^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $b^2 \geq 0$.

Таким образом, знаменатель обращается в ноль только при $b = 0$.

Ответ: при всех значениях $b$, кроме $b=0$.

в) $\frac{x^2 - 1}{x^2 + 5}$

Найдем значения переменной $x$, при которых знаменатель $x^2 + 5$ равен нулю.

$x^2 + 5 = 0$

$x^2 = -5$

Уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, $x^2 + 5 \geq 5$, и знаменатель никогда не равен нулю.

Ответ: дробь имеет смысл при любых значениях $x$.

г) $\frac{8m - 3}{m^2(m^2 + 4)}$

Найдем значения переменной $m$, при которых знаменатель $m^2(m^2 + 4)$ равен нулю.

$m^2(m^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $m^2 = 0 \Rightarrow m = 0$.

2) $m^2 + 4 = 0 \Rightarrow m^2 = -4$. Уравнение не имеет действительных корней, так как $m^2 \geq 0$.

Значит, знаменатель равен нулю только при $m = 0$.

Ответ: при всех значениях $m$, кроме $m=0$.