Номер 1.17, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.17, страница 14.

Условие.

1.17 С двух турбаз одновременно вышли две группы туристов, которые должны были встретиться на берегу реки. До этого места первой группе нужно идти 12 км, а второй — 10 км. Известно, что скорость первой группы была на 1 км/ч меньше скорости второй и что она прибыла на берег реки на 1 ч позже второй группы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные. Пусть скорость второй группы туристов равна $x$ км/ч.Поскольку скорость первой группы была на 1 км/ч меньше скорости второй, то скорость первой группы составляет $(x - 1)$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому $x-1 > 0$, что означает $x > 1$.

Время, которое первая группа затратила на путь в 12 км, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{12}{x-1}$ ч.

Время, которое вторая группа затратила на путь в 10 км, составляет $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{10}{x}$ ч.

По условию задачи, первая группа прибыла на 1 час позже второй. Это означает, что время первой группы на 1 час больше времени второй: $t_1 = t_2 + 1$.

Подставим выражения для времени в это равенство и получим уравнение:

$\frac{12}{x-1} = \frac{10}{x} + 1$

Перенесем слагаемое с переменной в левую часть:

$\frac{12}{x-1} - \frac{10}{x} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-1)$:

$\frac{12x - 10(x-1)}{x(x-1)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{12x - 10x + 10}{x^2 - x} = 1$

$\frac{2x + 10}{x^2 - x} = 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 - x$, учитывая, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$ (что следует из условия $x > 1$):

$2x + 10 = x^2 - x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2x - 10 = 0$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$

Так как $x$ представляет собой скорость, она не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -2$ не является решением задачи.

Таким образом, скорость второй группы туристов равна $x = 5$ км/ч.

Скорость первой группы туристов равна $x - 1 = 5 - 1 = 4$ км/ч.

Проверка: время первой группы $t_1 = 12/4 = 3$ ч. Время второй группы $t_2 = 10/5 = 2$ ч. Разница во времени $3 - 2 = 1$ ч, что соответствует условию.

Ответ: скорость первой группы туристов — 4 км/ч, скорость второй группы — 5 км/ч.