Номер 1.16, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 1. Основные понятия - номер 1.16, страница 14.

Условие.

1.16 Из города в посёлок, находящийся на расстоянии 40 км от города, выехал грузовик, а через 10 мин вслед за ним отправился легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. В посёлок они прибыли одновременно.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_г$ — скорость грузовика в км/ч, а $v_л$ — скорость легкового автомобиля в км/ч.

По условию, расстояние от города до посёлка составляет $S = 40$ км. Скорость легкового автомобиля на 20 км/ч больше скорости грузовика, что можно записать в виде уравнения:

$v_л = v_г + 20$

Грузовик выехал на 10 минут раньше легкового автомобиля. Переведем 10 минут в часы, так как скорость дана в км/ч:

$10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$

Время, которое затратил на путь грузовик, вычисляется по формуле $t = S/v$ и равно $t_г = \frac{40}{v_г}$.

Время, которое затратил на путь легковой автомобиль, равно $t_л = \frac{40}{v_л}$.

Так как грузовик был в пути на $\frac{1}{6}$ часа дольше и они прибыли в посёлок одновременно, мы можем составить уравнение, связывающее их время в пути:

$t_г = t_л + \frac{1}{6}$

Подставим в это уравнение выражения для времени через скорость:

$\frac{40}{v_г} = \frac{40}{v_л} + \frac{1}{6}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_л = v_г + 20 \\ \frac{40}{v_г} = \frac{40}{v_л} + \frac{1}{6} \end{cases}$

Подставим выражение для $v_л$ из первого уравнения во второе. Для удобства вычислений временно обозначим $v_г$ как $x$:

$\frac{40}{x} = \frac{40}{x + 20} + \frac{1}{6}$

Перенесем слагаемые с переменной в одну часть уравнения, чтобы решить его:

$\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 20} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 20)$:

$\frac{40(x + 20) - 40x}{x(x + 20)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{40x + 800 - 40x}{x^2 + 20x} = \frac{1}{6}$

$\frac{800}{x^2 + 20x} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$x^2 + 20x = 800 \cdot 6$

$x^2 + 20x = 4800$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 20x - 4800 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm 140}{2}$

Первый корень:

$x_1 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$

Второй корень:

$x_2 = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Поскольку скорость ($x = v_г$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -80$ не соответствует условию задачи. Таким образом, скорость грузовика равна 60 км/ч.

$v_г = 60$ км/ч.

Теперь найдем скорость легкового автомобиля, используя первое уравнение системы:

$v_л = v_г + 20 = 60 + 20 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость грузовика — 60 км/ч, скорость легкового автомобиля — 80 км/ч.