Номер 1.9, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.9, страница 13.

Условие.

1.9 Придумайте примеры алгебраических дробей, которые имели бы смысл при:

а) $x \neq 3$;

б) $y \neq 0, y \neq 12$;

в) $z \neq -4, z \neq -7, z \neq 0$;

г) любом значении x.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Алгебраическая дробь имеет смысл тогда, когда её знаменатель не равен нулю. По условию, дробь должна быть определена для всех значений $x$, кроме $x = 3$. Это означает, что знаменатель дроби должен обращаться в ноль именно при $x = 3$. Простейшее выражение, которое удовлетворяет этому условию, — это $x - 3$. В качестве числителя можно взять любое число или выражение, которое не обращается в ноль одновременно со знаменателем (хотя и это возможно, но усложняет пример). Возьмем в числитель, например, 1.
Ответ: $\frac{1}{x-3}$

б) Дробь должна иметь смысл при $y \neq 0$ и $y \neq 12$. Это значит, что знаменатель должен быть равен нулю при $y = 0$ и при $y = 12$. Чтобы знаменатель обращался в ноль при $y = 0$, он должен содержать множитель $y$. Чтобы он обращался в ноль при $y = 12$, он должен содержать множитель $(y - 12)$. Таким образом, знаменатель может быть произведением этих множителей: $y(y - 12)$. Числитель может быть любым, например, константой 7.
Ответ: $\frac{7}{y(y - 12)}$

в) Дробь должна иметь смысл при $z \neq -4$, $z \neq -7$ и $z \neq 0$. Следовательно, знаменатель этой дроби должен обращаться в ноль при $z = -4$, $z = -7$ и $z = 0$. Для этого знаменатель должен содержать множители, которые обнуляются при этих значениях $z$:

• при $z = 0$ множитель $z$;
• при $z = -4$ множитель $(z - (-4)) = z + 4$;
• при $z = -7$ множитель $(z - (-7)) = z + 7$.

Знаменателем может быть произведение этих трех множителей: $z(z+4)(z+7)$. В качестве числителя возьмем любое выражение, например, $z^2$.
Ответ: $\frac{z^2}{z(z+4)(z+7)}$

г) Дробь должна иметь смысл при любом значении $x$. Это означает, что ее знаменатель никогда не должен обращаться в ноль. Нужно найти выражение от $x$, которое не равно нулю ни при каком действительном значении $x$. Например, выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Если прибавить к нему любое положительное число (например, 1), то сумма $x^2 + 1$ будет всегда строго положительной ($x^2 + 1 \ge 1$), а значит, никогда не будет равна нулю. В качестве числителя можно взять любое выражение, например, $3x$.
Ответ: $\frac{3x}{x^2+1}$