Номер 1.15, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.15, страница 14.

Условие.

1.15 Из пункта $A$ в пункт $B$, находящийся на расстоянии $120 \text{ км}$ от пункта $A$, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного из них на $20 \text{ км/ч}$ больше скорости другого, поэтому он приехал в пункт $B$ на $1 \text{ ч}$ раньше.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

1.15

Обозначим скорость одного (более медленного) автомобиля как $x$ км/ч. Согласно условию, скорость второго автомобиля на 20 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 20)$ км/ч. Оба автомобиля должны проехать расстояние $S = 120$ км.

Время, которое затрачивает на путь первый (медленный) автомобиль, вычисляется по формуле $t = S/v$ и равно $t_1 = \frac{120}{x}$ часов.

Время, которое затрачивает на путь второй (быстрый) автомобиль, равно $t_2 = \frac{120}{x+20}$ часов.

Из условия известно, что быстрый автомобиль прибыл в пункт В на 1 час раньше. Это означает, что время в пути у медленного автомобиля на 1 час больше, чем у быстрого. На основе этого можно составить уравнение:

$t_1 - t_2 = 1$

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x+20} = 1$

Для решения данного дробно-рационального уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $x(x+20)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -20$. Так как $x$ обозначает скорость, она является положительной величиной ($x > 0$), поэтому эти условия выполняются.

$120(x+20) - 120x = x(x+20)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$120x + 2400 - 120x = x^2 + 20x$

$2400 = x^2 + 20x$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 20x - 2400 = 0$

Решим это уравнение, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-20 + \sqrt{10000}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 100}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$x_2 = \frac{-20 - \sqrt{10000}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 100}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -60$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи. Таким образом, скорость медленного автомобиля составляет $x = 40$ км/ч.

Скорость быстрого автомобиля равна $x + 20 = 40 + 20 = 60$ км/ч.

Выполним проверку: время медленного автомобиля $120/40 = 3$ часа. Время быстрого автомобиля $120/60 = 2$ часа. Разница во времени $3 - 2 = 1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость одного автомобиля 40 км/ч, скорость другого — 60 км/ч.