Номер 1.20, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.20, страница 15.

Условие.

1.20 Определите знаки дробей $\frac{x}{y}$, $\frac{x^2}{y}$, $\frac{x}{y^2}$, если известно, что:

а) $x > 0, y > 0;$

б) $x > 0, y < 0;$

в) $x < 0, y > 0;$

г) $x < 0, y < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для определения знаков дробей воспользуемся следующими правилами:
1. Квадрат любого ненулевого числа всегда положителен. То есть, если $x \ne 0$, то $x^2 > 0$, и если $y \ne 0$, то $y^2 > 0$.
2. Знак дроби определяется знаками числителя и знаменателя:
- если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные), дробь положительна.
- если числитель и знаменатель имеют разные знаки (один положителен, другой отрицателен), дробь отрицательна.

а) Дано, что $x > 0$ и $y > 0$.
- Дробь $\frac{x}{y}$: числитель $x > 0$ (положительный), знаменатель $y > 0$ (положительный). Знаки одинаковые, значит, дробь положительна: $\frac{x}{y} > 0$.
- Дробь $\frac{x^2}{y}$: числитель $x^2 > 0$ (квадрат положительного числа), знаменатель $y > 0$ (положительный). Знаки одинаковые, значит, дробь положительна: $\frac{x^2}{y} > 0$.
- Дробь $\frac{x}{y^2}$: числитель $x > 0$ (положительный), знаменатель $y^2 > 0$ (квадрат положительного числа). Знаки одинаковые, значит, дробь положительна: $\frac{x}{y^2} > 0$.
Ответ: все три дроби положительны.

б) Дано, что $x > 0$ и $y < 0$.
- Дробь $\frac{x}{y}$: числитель $x > 0$ (положительный), знаменатель $y < 0$ (отрицательный). Знаки разные, значит, дробь отрицательна: $\frac{x}{y} < 0$.
- Дробь $\frac{x^2}{y}$: числитель $x^2 > 0$ (квадрат положительного числа), знаменатель $y < 0$ (отрицательный). Знаки разные, значит, дробь отрицательна: $\frac{x^2}{y} < 0$.
- Дробь $\frac{x}{y^2}$: числитель $x > 0$ (положительный), знаменатель $y^2 > 0$ (квадрат отрицательного числа). Знаки одинаковые, значит, дробь положительна: $\frac{x}{y^2} > 0$.
Ответ: дроби $\frac{x}{y}$ и $\frac{x^2}{y}$ отрицательны, дробь $\frac{x}{y^2}$ положительна.

в) Дано, что $x < 0$ и $y > 0$.
- Дробь $\frac{x}{y}$: числитель $x < 0$ (отрицательный), знаменатель $y > 0$ (положительный). Знаки разные, значит, дробь отрицательна: $\frac{x}{y} < 0$.
- Дробь $\frac{x^2}{y}$: числитель $x^2 > 0$ (квадрат отрицательного числа), знаменатель $y > 0$ (положительный). Знаки одинаковые, значит, дробь положительна: $\frac{x^2}{y} > 0$.
- Дробь $\frac{x}{y^2}$: числитель $x < 0$ (отрицательный), знаменатель $y^2 > 0$ (квадрат положительного числа). Знаки разные, значит, дробь отрицательна: $\frac{x}{y^2} < 0$.
Ответ: дроби $\frac{x}{y}$ и $\frac{x}{y^2}$ отрицательны, дробь $\frac{x^2}{y}$ положительна.

г) Дано, что $x < 0$ и $y < 0$.
- Дробь $\frac{x}{y}$: числитель $x < 0$ (отрицательный), знаменатель $y < 0$ (отрицательный). Знаки одинаковые, значит, дробь положительна: $\frac{x}{y} > 0$.
- Дробь $\frac{x^2}{y}$: числитель $x^2 > 0$ (квадрат отрицательного числа), знаменатель $y < 0$ (отрицательный). Знаки разные, значит, дробь отрицательна: $\frac{x^2}{y} < 0$.
- Дробь $\frac{x}{y^2}$: числитель $x < 0$ (отрицательный), знаменатель $y^2 > 0$ (квадрат отрицательного числа). Знаки разные, значит, дробь отрицательна: $\frac{x}{y^2} < 0$.
Ответ: дробь $\frac{x}{y}$ положительна, дроби $\frac{x^2}{y}$ и $\frac{x}{y^2}$ отрицательны.