Номер 1.25, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.25, страница 15.

Условие.

1.25 a) $\frac{3x^2 + 2x + 5}{(3x - 1)(2x + 5)};$

б) $\frac{9y^2 - 5y + 4}{(5y - 3)(31 + 93y)};$

в) $\frac{17s^2 + 24s + 1}{(44s + 1)(32s - 3)};$

г) $\frac{52r^2 + 13r - 5}{(5r - 15)(9r - 25)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы упростить дробь $\frac{3x^2 + 2x + 5}{(3x - 1)(2x + 5)}$, необходимо проверить, имеют ли числитель и знаменатель общие множители. Знаменатель уже разложен на множители $(3x - 1)$ и $(2x + 5)$.

Проанализируем числитель $3x^2 + 2x + 5$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 - 60 = -56$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен $3x^2 + 2x + 5$ не имеет действительных корней и не может быть разложен на линейные множители с действительными коэффициентами. Следовательно, числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Таким образом, данная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{3x^2 + 2x + 5}{(3x - 1)(2x + 5)}$

б)

Рассмотрим дробь $\frac{9y^2 - 5y + 4}{(5y - 3)(31 + 93y)}$.

Сначала упростим знаменатель, вынеся общий множитель $31$ из второй скобки:

$(5y - 3)(31 + 93y) = (5y - 3) \cdot 31(1 + 3y) = 31(5y - 3)(3y + 1)$.

Теперь проанализируем числитель $9y^2 - 5y + 4$. Найдем его дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 25 - 144 = -119$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), числитель не имеет действительных корней и не разлагается на линейные множители. Следовательно, у числителя и знаменателя нет общих множителей.

Дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{9y^2 - 5y + 4}{(5y - 3)(31 + 93y)}$

в)

Рассмотрим дробь $\frac{17s^2 + 24s + 1}{(44s + 1)(32s - 3)}$.

Знаменатель разложен на множители $(44s + 1)$ и $(32s - 3)$. Дробь можно сократить, если числитель $P(s) = 17s^2 + 24s + 1$ делится на один из этих множителей. Это означает, что один из корней знаменателя, $s_1 = -\frac{1}{44}$ или $s_2 = \frac{3}{32}$, также является корнем числителя.

Проверим корень $s_1 = -\frac{1}{44}$, подставив его в числитель:

$17(-\frac{1}{44})^2 + 24(-\frac{1}{44}) + 1 = 17(\frac{1}{1936}) - \frac{24}{44} + 1 = \frac{17}{1936} - \frac{6}{11} + 1 = \frac{17 - 6 \cdot 176 + 1936}{1936} = \frac{17 - 1056 + 1936}{1936} = \frac{897}{1936} \neq 0$.

Проверим корень $s_2 = \frac{3}{32}$:

$17(\frac{3}{32})^2 + 24(\frac{3}{32}) + 1 = 17(\frac{9}{1024}) + \frac{72}{32} + 1 = \frac{153}{1024} + \frac{9}{4} + 1 = \frac{153 + 9 \cdot 256 + 1024}{1024} = \frac{153 + 2304 + 1024}{1024} = \frac{3481}{1024} \neq 0$.

Поскольку ни один из корней знаменателя не обращает числитель в ноль, общих множителей нет. Дробь несократима.

Ответ: $\frac{17s^2 + 24s + 1}{(44s + 1)(32s - 3)}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{52r^2 + 13r - 5}{(5r - 15)(9r - 25)}$.

Упростим знаменатель, вынеся общий множитель $5$ из первой скобки:

$(5r - 15)(9r - 25) = 5(r - 3)(9r - 25)$.

Множители знаменателя: $5$, $(r - 3)$ и $(9r - 25)$. Корни, при которых знаменатель равен нулю: $r_1=3$ и $r_2=\frac{25}{9}$. Проверим, являются ли эти значения корнями числителя $P(r) = 52r^2 + 13r - 5$.

Подставим $r_1 = 3$ в числитель:

$52(3)^2 + 13(3) - 5 = 52 \cdot 9 + 39 - 5 = 468 + 34 = 502 \neq 0$.

Подставим $r_2 = \frac{25}{9}$ в числитель:

$52(\frac{25}{9})^2 + 13(\frac{25}{9}) - 5 = 52(\frac{625}{81}) + \frac{325}{9} - 5 = \frac{32500}{81} + \frac{325 \cdot 9}{81} - \frac{5 \cdot 81}{81} = \frac{32500 + 2925 - 405}{81} = \frac{35020}{81} \neq 0$.

Так как числитель не обращается в ноль при корнях знаменателя, у них нет общих множителей. Дробь несократима.

Ответ: $\frac{52r^2 + 13r - 5}{(5r - 15)(9r - 25)}$