Номер 1.30, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.30, страница 16.

Условие.

1.30 При каких значениях переменной алгебраическая дробь $ \frac{2m^2 - 2}{m(m + 1)(m - 2)} $ обращается в нуль, а при каких — не имеет смысла?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Когда дробь обращается в нуль:
Алгебраическая дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
1. Найдем значения переменной $m$, при которых числитель $2m^2 - 2$ равен нулю:
$2m^2 - 2 = 0$
$2(m^2 - 1) = 0$
$m^2 - 1 = 0$
$(m - 1)(m + 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения: $m_1 = 1$ и $m_2 = -1$.
2. Теперь найдем значения $m$, при которых знаменатель $m(m+1)(m-2)$ обращается в нуль. Эти значения являются недопустимыми.
$m(m+1)(m-2) = 0$
Это равенство выполняется при $m=0$, $m=-1$ или $m=2$.
3. Сопоставим результаты. Из значений, которые обращают числитель в нуль ($m=1$ и $m=-1$), нужно исключить те, которые являются недопустимыми.
- При $m = 1$, знаменатель равен $1(1+1)(1-2) = -2$, что не равно нулю. Следовательно, это значение является решением.
- При $m = -1$, знаменатель равен $-1(-1+1)(-1-2) = 0$. При этом значении дробь не определена (имеет вид $\frac{0}{0}$), поэтому оно не является решением.
Таким образом, дробь обращается в нуль только при $m=1$.
Ответ: при $m=1$.

Когда дробь не имеет смысла:
Алгебраическая дробь не имеет смысла (не определена), когда ее знаменатель равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти эти значения:
$m(m+1)(m-2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из его множителей равен нулю.
1) $m = 0$
2) $m + 1 = 0 \Rightarrow m = -1$
3) $m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2$
Следовательно, при этих трех значениях переменной дробь не имеет смысла.
Ответ: при $m=0, m=-1, m=2$.