Номер 1.28, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.28, страница 16.

Условие.

1.28 a) $ \frac{3b + 2}{3b(3b - 2)^2} $

б) $ \frac{14k^2 + 14}{(k^2 - 9)(k^2 + 1)} $

в) $ \frac{2s - 1}{2s(2s + 1)^2} $

г) $ \frac{8m^2 + 16}{(m^2 + 2)(m^2 - 4)} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дана дробь $\frac{3b+2}{3b(3b-2)^2}$. Чтобы сократить алгебраическую дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие из них.
Числитель дроби, $3b+2$, представляет собой многочлен первой степени, который обращается в ноль при $b = -2/3$.
Знаменатель дроби, $3b(3b-2)^2$, обращается в ноль при $b=0$ и при $3b-2=0$, то есть $b=2/3$.
Поскольку корни числителя и знаменателя не совпадают, у них нет общих многочленных множителей. Таким образом, данная дробь является несократимой.
Ответ: Дробь $\frac{3b+2}{3b(3b-2)^2}$ несократима.

б) Рассмотрим дробь $\frac{14k^2 + 14}{(k^2 - 9)(k^2 + 1)}$.
Для начала, вынесем общий множитель 14 за скобки в числителе:
$14k^2 + 14 = 14(k^2 + 1)$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{14(k^2 + 1)}{(k^2 - 9)(k^2 + 1)}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этой дроби определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(k^2 - 9)(k^2 + 1) \neq 0$. Так как $k^2+1$ всегда больше нуля, то условие сводится к $k^2 - 9 \neq 0$, то есть $k \neq \pm 3$.
В числителе и знаменателе есть общий множитель $(k^2 + 1)$. Сократим дробь на этот множитель:
$\frac{14\cancel{(k^2 + 1)}}{(k^2 - 9)\cancel{(k^2 + 1)}} = \frac{14}{k^2 - 9}$.
Ответ: $\frac{14}{k^2 - 9}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{2s-1}{2s(2s+1)^2}$.
Проверим возможность ее сокращения, найдя корни числителя и знаменателя.
Числитель $2s-1$ обращается в ноль при $s = 1/2$.
Знаменатель $2s(2s+1)^2$ обращается в ноль при $s=0$ и при $2s+1=0$, то есть $s=-1/2$.
Так как корни числителя и знаменателя не совпадают, у них нет общих множителей (кроме константы). Следовательно, дробь сократить нельзя.
Ответ: Дробь $\frac{2s-1}{2s(2s+1)^2}$ несократима.

г) Дана дробь $\frac{8m^2 + 16}{(m^2 + 2)(m^2 - 4)}$.
В числителе вынесем общий множитель 8 за скобки:
$8m^2 + 16 = 8(m^2 + 2)$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{8(m^2 + 2)}{(m^2 + 2)(m^2 - 4)}$.
ОДЗ этой дроби: $(m^2 + 2)(m^2 - 4) \neq 0$. Так как $m^2+2 > 0$ для любых $m$, то $m^2 - 4 \neq 0$, откуда $m \neq \pm 2$.
В числителе и знаменателе есть общий множитель $(m^2 + 2)$. Сократим дробь на этот множитель:
$\frac{8\cancel{(m^2 + 2)}}{\cancel{(m^2 + 2)}(m^2 - 4)} = \frac{8}{m^2 - 4}$.
Знаменатель можно также разложить по формуле разности квадратов: $m^2 - 4 = (m-2)(m+2)$.
Ответ: $\frac{8}{m^2 - 4}$.