Номер 1.29, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.29, страница 16.

Условие.

1.29 a) $ \frac{7a^2}{a^2(3a - 9)(a + 17)} $

б) $ \frac{3b + 4}{(2b + 1)(9b^2 - 16)} $

в) $ \frac{73c^2}{c^3(c + 8)(13c - 39)} $

г) $ \frac{2d - 1}{(4d^2 - 1)(7d + 5)} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Требуется сократить дробь $ \frac{7a^2}{a^2(3a-9)(a+17)} $.

Для сокращения дроби необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители и сократить общие из них.

Рассмотрим знаменатель дроби: $ a^2(3a-9)(a+17) $. В выражении $ (3a-9) $ можно вынести общий множитель 3 за скобки:

$ 3a-9 = 3(a-3) $

Тогда знаменатель примет вид: $ a^2 \cdot 3(a-3)(a+17) $.

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$ \frac{7a^2}{3a^2(a-3)(a+17)} $

Числитель и знаменатель имеют общий множитель $ a^2 $. Сократим дробь на $ a^2 $ (при условии, что $ a \neq 0 $):

$ \frac{7 \cdot a^2}{3 \cdot a^2 (a-3)(a+17)} = \frac{7}{3(a-3)(a+17)} $

Таким образом, мы упростили исходное выражение. Выражение имеет смысл при $ a \neq 0 $, $ a \neq 3 $ и $ a \neq -17 $.

Ответ: $ \frac{7}{3(a-3)(a+17)} $.

б) Требуется сократить дробь $ \frac{3b+4}{(2b+1)(9b^2-16)} $.

Разложим знаменатель на множители. Выражение $ (9b^2-16) $ является разностью квадратов, так как $ 9b^2 = (3b)^2 $ и $ 16 = 4^2 $. Воспользуемся формулой разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ 9b^2 - 16 = (3b)^2 - 4^2 = (3b-4)(3b+4) $

Теперь подставим разложенный на множители двучлен обратно в знаменатель дроби:

$ \frac{3b+4}{(2b+1)(3b-4)(3b+4)} $

Числитель и знаменатель имеют общий множитель $ (3b+4) $. Сократим дробь на этот множитель (при условии, что $ 3b+4 \neq 0 $, то есть $ b \neq -\frac{4}{3} $):

$ \frac{1 \cdot (3b+4)}{(2b+1)(3b-4)(3b+4)} = \frac{1}{(2b+1)(3b-4)} $

Выражение имеет смысл при $ b \neq -\frac{1}{2} $, $ b \neq \frac{4}{3} $ и $ b \neq -\frac{4}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{(2b+1)(3b-4)} $.

в) Требуется сократить дробь $ \frac{73c^2}{c^3(c+8)(13c-39)} $.

Разложим знаменатель на простейшие множители. В выражении $ (13c-39) $ можно вынести общий множитель 13 за скобки:

$ 13c-39 = 13(c-3) $

Подставим это в знаменатель дроби:

$ \frac{73c^2}{c^3(c+8) \cdot 13(c-3)} = \frac{73c^2}{13c^3(c+8)(c-3)} $

Числитель и знаменатель имеют общий множитель $ c^2 $. Сократим дробь на $ c^2 $ (при условии, что $ c \neq 0 $). Учтем, что $ c^3 = c \cdot c^2 $:

$ \frac{73 \cdot c^2}{13 \cdot c \cdot c^2 (c+8)(c-3)} = \frac{73}{13c(c+8)(c-3)} $

Числа 73 и 13 являются простыми, поэтому дальнейшее сокращение невозможно. Выражение имеет смысл при $ c \neq 0 $, $ c \neq -8 $ и $ c \neq 3 $.

Ответ: $ \frac{73}{13c(c+8)(c-3)} $.

г) Требуется сократить дробь $ \frac{2d-1}{(4d^2-1)(7d+5)} $.

Разложим знаменатель на множители. Выражение $ (4d^2-1) $ представляет собой разность квадратов, так как $ 4d^2 = (2d)^2 $ и $ 1 = 1^2 $. Применим формулу $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ 4d^2 - 1 = (2d)^2 - 1^2 = (2d-1)(2d+1) $

Подставим полученное разложение в исходную дробь:

$ \frac{2d-1}{(2d-1)(2d+1)(7d+5)} $

Числитель и знаменатель имеют общий множитель $ (2d-1) $. Сократим дробь на этот множитель (при условии, что $ 2d-1 \neq 0 $, то есть $ d \neq \frac{1}{2} $):

$ \frac{1 \cdot (2d-1)}{(2d-1)(2d+1)(7d+5)} = \frac{1}{(2d+1)(7d+5)} $

Выражение имеет смысл при $ d \neq \frac{1}{2} $, $ d \neq -\frac{1}{2} $ и $ d \neq -\frac{5}{7} $.

Ответ: $ \frac{1}{(2d+1)(7d+5)} $.