Номер 1.31, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.31, страница 16.

Условие.

1.31 Докажите, что значение алгебраической дроби равно нулю при всех значениях переменной:

а) $\frac{(a+2)^2 - 4(a+1) - a^2}{a^2 + 1}$;

б) $\frac{9 + x(x - 6) - (x - 3)^2}{x^2 + 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы доказать, что значение алгебраической дроби $\frac{(a + 2)^2 - 4(a + 1) - a^2}{a^2 + 1}$ равно нулю при всех значениях переменной, необходимо показать, что ее числитель тождественно равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Рассмотрим знаменатель дроби: $a^2 + 1$. Так как квадрат любого действительного числа $a$ является неотрицательным ($a^2 \ge 0$), то выражение $a^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 ($a^2 + 1 \ge 1$). Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль, и дробь определена для всех действительных значений $a$.
Теперь упростим выражение в числителе: $(a + 2)^2 - 4(a + 1) - a^2$.
Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, для второго — распределительный закон умножения:
$(a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2) - (4a + 4) - a^2 = (a^2 + 4a + 4) - 4a - 4 - a^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (4a - 4a) + (4 - 4) = 0$
Поскольку числитель тождественно равен нулю, а знаменатель отличен от нуля при любом значении $a$, значение всей дроби равно нулю:
$\frac{0}{a^2 + 1} = 0$
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано, что значение дроби равно 0 при всех значениях переменной.

б)

Рассмотрим алгебраическую дробь $\frac{9 + x(x - 6) - (x - 3)^2}{x^2 + 3}$.
Как и в предыдущем случае, необходимо доказать, что числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
Знаменатель дроби $x^2 + 3$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, и, следовательно, $x^2 + 3 \ge 3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому дробь определена для всех действительных значений $x$.
Упростим выражение в числителе: $9 + x(x - 6) - (x - 3)^2$.
Раскроем скобки. Для второго слагаемого используем распределительный закон, а для третьего — формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$9 + (x^2 - 6x) - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) = 9 + x^2 - 6x - (x^2 - 6x + 9)$
Раскроем оставшиеся скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:
$9 + x^2 - 6x - x^2 + 6x - 9$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-6x + 6x) + (9 - 9) = 0$
Так как числитель тождественно равен нулю, а знаменатель всегда отличен от нуля, значение всей дроби равно нулю:
$\frac{0}{x^2 + 3} = 0$
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано, что значение дроби равно 0 при всех значениях переменной.