Номер 1.21, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.21, страница 15.

Условие.

1.21 Докажите, что при любых значениях переменной:

а) значение дроби $ \frac{5}{a^2 + 7} $ положительно;

б) значение дроби $ \frac{-3}{b^2 + 4} $ отрицательно;

в) значение дроби $ \frac{(x - 3)^2}{a^2 + 8} $ неотрицательно;

г) значение дроби $ \frac{(y - 6)^2}{-y^2 - 3} $ неположительно.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) значение дроби $\frac{5}{a^2 + 7}$ положительно;

Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{5}{a^2 + 7}$ всегда положительно, проанализируем её числитель и знаменатель.
Числитель дроби равен 5. Это число положительное: $5 > 0$.
Знаменатель дроби равен $a^2 + 7$. Квадрат любого действительного числа $a$ является неотрицательным, то есть $a^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 7, результат будет строго положительным: $a^2 + 7 \ge 0 + 7$, следовательно, $a^2 + 7 \ge 7$. Таким образом, знаменатель всегда положителен.
Частное от деления положительного числа (числителя) на положительное число (знаменатель) всегда является положительным числом. Следовательно, значение дроби $\frac{5}{a^2 + 7}$ всегда положительно.
Ответ: Доказано, что значение дроби положительно при любых значениях $a$.

б) значение дроби $\frac{-3}{b^2 + 4}$ отрицательно;

Рассмотрим дробь $\frac{-3}{b^2 + 4}$.
Числитель дроби равен -3. Это число отрицательное: $-3 < 0$.
Знаменатель дроби равен $b^2 + 4$. Так как $b^2 \ge 0$ для любого действительного числа $b$, то сумма $b^2 + 4$ всегда будет больше или равна 4: $b^2 + 4 \ge 4$. Это означает, что знаменатель всегда строго положителен.
Частное от деления отрицательного числа (числителя) на положительное число (знаменатель) всегда является отрицательным числом. Следовательно, значение дроби $\frac{-3}{b^2 + 4}$ всегда отрицательно.
Ответ: Доказано, что значение дроби отрицательно при любых значениях $b$.

в) значение дроби $\frac{(x - 3)^2}{a^2 + 8}$ неотрицательно;

Рассмотрим дробь $\frac{(x - 3)^2}{a^2 + 8}$. "Неотрицательно" означает "больше или равно нулю" ($ \ge 0 $).
Числитель дроби равен $(x - 3)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным. Поэтому при любом значении $x$ выражение $(x - 3)^2 \ge 0$.
Знаменатель дроби равен $a^2 + 8$. Так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, то сумма $a^2 + 8$ всегда будет больше или равна 8: $a^2 + 8 \ge 8$. Таким образом, знаменатель всегда строго положителен.
Частное от деления неотрицательного числа (числителя) на положительное число (знаменатель) всегда является неотрицательным числом. Оно равно нулю, если числитель равен нулю (при $x = 3$), и положительно во всех остальных случаях. Следовательно, значение дроби $\frac{(x - 3)^2}{a^2 + 8}$ всегда неотрицательно.
Ответ: Доказано, что значение дроби неотрицательно при любых значениях $x$ и $a$.

г) значение дроби $\frac{(y - 6)^2}{-y^2 - 3}$ неположительно.

Рассмотрим дробь $\frac{(y - 6)^2}{-y^2 - 3}$. "Неположительно" означает "меньше или равно нулю" ($ \le 0 $).
Числитель дроби равен $(y - 6)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, поэтому $(y - 6)^2 \ge 0$ при любом значении $y$.
Знаменатель дроби равен $-y^2 - 3$. Преобразуем его: $-y^2 - 3 = -(y^2 + 3)$. Выражение $y^2$ всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$), поэтому $y^2 + 3$ всегда положительно ($y^2 + 3 \ge 3$). Следовательно, выражение $-(y^2 + 3)$ всегда отрицательно.
Частное от деления неотрицательного числа (числителя) на отрицательное число (знаменатель) всегда является неположительным числом. Оно равно нулю, если числитель равен нулю (при $y = 6$), и отрицательно во всех остальных случаях. Следовательно, значение дроби $\frac{(y - 6)^2}{-y^2 - 3}$ всегда неположительно.
Ответ: Доказано, что значение дроби неположительно при любых значениях $y$.