Номер 39, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 39, страница 7.

Условие.

39 На координатной плоскости отметьте точки $A(2; 4)$ и $C(7; -1)$.

Изобразите квадрат, диагональю которого служит отрезок $AC$.

Найдите координаты вершин квадрата.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть искомый квадрат будет $ABCD$. Нам даны координаты противоположных вершин $A(2; 4)$ и $C(7; -1)$. Для нахождения координат двух других вершин, $B$ и $D$, воспользуемся свойствами диагоналей квадрата: они равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Изображение квадрата на координатной плоскости требует знания координат всех его четырех вершин. Поэтому основной задачей является их нахождение.

Найдите координаты вершин квадрата.

Решение можно разбить на два шага.

Шаг 1: Нахождение центра квадрата.
Центр квадрата, точка $M$, является серединой его диагонали $AC$. Найдем координаты точки $M$, используя формулы для нахождения координат середины отрезка: $x_M = \frac{x_A + x_C}{2}$ и $y_M = \frac{y_A + y_C}{2}$.

Подставим известные координаты вершин $A$ и $C$: $x_M = \frac{2 + 7}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ $y_M = \frac{4 + (-1)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ Таким образом, центр квадрата находится в точке $M(4.5; 1.5)$.

Шаг 2: Нахождение координат вершин B и D.
Вторая диагональ $BD$ также проходит через точку $M$ и перпендикулярна диагонали $AC$. Это означает, что вектор от центра до вершины $B$, $\vec{MB}$, перпендикулярен вектору от центра до вершины $A$, $\vec{MA}$, и равен ему по длине.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{MA}$: $\vec{MA} = (x_A - x_M; y_A - y_M) = (2 - 4.5; 4 - 1.5) = (-2.5; 2.5)$.

Чтобы получить вектор, перпендикулярный вектору $(a; b)$ и равный ему по длине, можно поменять его координаты местами и изменить знак одной из них. Для вектора $\vec{MA} = (-2.5; 2.5)$ перпендикулярными векторами равной длины будут $\vec{v_1} = (2.5; 2.5)$ и $\vec{v_2} = (-2.5; -2.5)$. Эти векторы соответствуют векторам $\vec{MB}$ и $\vec{MD}$.

Теперь найдем координаты вершин $B$ и $D$, прибавляя к координатам центра $M$ координаты найденных векторов.

Для вершины $B$ (используя вектор $(2.5; 2.5)$): $x_B = x_M + 2.5 = 4.5 + 2.5 = 7$ $y_B = y_M + 2.5 = 1.5 + 2.5 = 4$ Получаем вершину $B(7; 4)$.

Для вершины $D$ (используя вектор $(-2.5; -2.5)$): $x_D = x_M - 2.5 = 4.5 - 2.5 = 2$ $y_D = y_M - 2.5 = 1.5 - 2.5 = -1$ Получаем вершину $D(2; -1)$.

Теперь, когда все вершины известны, можно отметить точки $A(2; 4)$, $B(7; 4)$, $C(7; -1)$ и $D(2; -1)$ на координатной плоскости и соединить их, чтобы изобразить искомый квадрат.

Ответ: Координаты вершин квадрата: $A(2; 4)$, $B(7; 4)$, $C(7; -1)$, $D(2; -1)$.