Номер 34, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 34, страница 7.

Условие.

34 а) $\frac{4p^2 - 2p + 1}{8p^3 + 1}$;

б) $\frac{27a^3 + 8}{2 + 3a}$;

в) $\frac{9 + 12z + 16z^2}{27 - 64z^3}$;

г) $\frac{5 + 2m}{125 + 8m^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы упростить дробь $\frac{4p^2 - 2p + 1}{8p^3 + 1}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель представляет собой сумму кубов.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Представим знаменатель в виде $8p^3 + 1 = (2p)^3 + 1^3$.
Применяя формулу, где $a = 2p$ и $b = 1$, получаем:
$8p^3 + 1 = (2p + 1)((2p)^2 - 2p \cdot 1 + 1^2) = (2p + 1)(4p^2 - 2p + 1)$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{4p^2 - 2p + 1}{(2p + 1)(4p^2 - 2p + 1)}$
Сократим общий множитель $(4p^2 - 2p + 1)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\sout{4p^2 - 2p + 1}}{(2p + 1)(\sout{4p^2 - 2p + 1})} = \frac{1}{2p + 1}$.
Ответ: $\frac{1}{2p + 1}$

б) Чтобы упростить дробь $\frac{27a^3 + 8}{2 + 3a}$, разложим числитель на множители. Числитель представляет собой сумму кубов.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Представим числитель в виде $27a^3 + 8 = (3a)^3 + 2^3$.
Применяя формулу, где $x = 3a$ и $y = 2$, получаем:
$27a^3 + 8 = (3a + 2)((3a)^2 - 3a \cdot 2 + 2^2) = (3a + 2)(9a^2 - 6a + 4)$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{(3a + 2)(9a^2 - 6a + 4)}{2 + 3a}$
Так как $3a + 2 = 2 + 3a$, сократим общий множитель:
$\frac{(\sout{3a + 2})(9a^2 - 6a + 4)}{\sout{2 + 3a}} = 9a^2 - 6a + 4$.
Ответ: $9a^2 - 6a + 4$

в) Чтобы упростить дробь $\frac{9 + 12z + 16z^2}{27 - 64z^3}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель представляет собой разность кубов.
Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Представим знаменатель в виде $27 - 64z^3 = 3^3 - (4z)^3$.
Применяя формулу, где $a = 3$ и $b = 4z$, получаем:
$27 - 64z^3 = (3 - 4z)(3^2 + 3 \cdot 4z + (4z)^2) = (3 - 4z)(9 + 12z + 16z^2)$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{9 + 12z + 16z^2}{(3 - 4z)(9 + 12z + 16z^2)}$
Сократим общий множитель $(9 + 12z + 16z^2)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\sout{9 + 12z + 16z^2}}{(3 - 4z)(\sout{9 + 12z + 16z^2})} = \frac{1}{3 - 4z}$.
Ответ: $\frac{1}{3 - 4z}$

г) Чтобы упростить дробь $\frac{5 + 2m}{125 + 8m^3}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель представляет собой сумму кубов.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Представим знаменатель в виде $125 + 8m^3 = 5^3 + (2m)^3$.
Применяя формулу, где $a = 5$ и $b = 2m$, получаем:
$125 + 8m^3 = (5 + 2m)(5^2 - 5 \cdot 2m + (2m)^2) = (5 + 2m)(25 - 10m + 4m^2)$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{5 + 2m}{(5 + 2m)(25 - 10m + 4m^2)}$
Сократим общий множитель $(5 + 2m)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\sout{5 + 2m}}{(\sout{5 + 2m})(25 - 10m + 4m^2)} = \frac{1}{25 - 10m + 4m^2}$.
Ответ: $\frac{1}{25 - 10m + 4m^2}$