Номер 48, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 48, страница 9.

Условие.

48 Постройте график функции $y = x^2$.

Найдите:

а) значения функции при значении аргумента, равном -3; 1; 2;

б) значения аргумента, если значение функции равно 0; 1; 9;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 0];

г) координаты точки пересечения параболы и прямой $y = 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = x^2$ (параболы с вершиной в начале координат и ветвями вверх) найдем несколько точек. Составим таблицу значений: если аргумент $x$ принимает значения -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, то соответствующие значения функции $y$ будут 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. Отметив точки с координатами $(-3, 9)$, $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$ на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим искомый график. На основе этого графика или с помощью вычислений найдем требуемые значения.

а) значения функции при значении аргумента, равном -3; 1; 2;
Чтобы найти значения функции $y = x^2$ при заданных значениях аргумента $x$, необходимо подставить эти значения в уравнение функции.
При $x = -3$: $y = (-3)^2 = 9$.
При $x = 1$: $y = 1^2 = 1$.
При $x = 2$: $y = 2^2 = 4$.
Ответ: 9; 1; 4.

б) значения аргумента, если значение функции равно 0; 1; 9;
Чтобы найти значения аргумента $x$ при заданных значениях функции $y$, необходимо решить уравнение $x^2 = y$ для каждого значения $y$.
Если $y = 0$: $x^2 = 0$, следовательно, $x = 0$.
Если $y = 1$: $x^2 = 1$, следовательно, $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x = 1$ и $x = -1$.
Если $y = 9$: $x^2 = 9$, следовательно, $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x = 3$ и $x = -3$.
Ответ: при $y=0$ значение $x=0$; при $y=1$ значения $x = \pm1$; при $y=9$ значения $x = \pm3$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 0];
Рассмотрим функцию $y = x^2$ на отрезке $x \in [-2; 0]$. Вершина параболы, являющаяся её точкой минимума, находится в точке $(0, 0)$. Поскольку точка $x=0$ принадлежит заданному отрезку, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается именно в ней.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.
На интервале $(-\infty, 0]$ функция $y = x^2$ является монотонно убывающей. Следовательно, на отрезке $[-2; 0]$ наибольшее значение достигается на его левом конце, то есть при $x = -2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = (-2)^2 = 4$.
Ответ: Наибольшее значение функции равно 4, а наименьшее равно 0.

г) координаты точки пересечения параболы и прямой y = 4.
Для нахождения координат точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = 4$ необходимо решить систему уравнений. Приравняем выражения для $y$:
$x^2 = 4$
Решая это уравнение, получаем $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Для каждого из этих значений $x$ соответствующее значение $y$ равно 4. Таким образом, мы имеем две точки пересечения.
Ответ: $(-2; 4)$ и $(2; 4)$.