Номер 2.40, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.40, страница 23.

Условие.

2.40 a) $\frac{3ab}{(a-b)(a+b)}$, $\frac{a^2}{a+b}$ И $\frac{b^2}{a-b}$;

б) $\frac{4c}{c^2 - 25}$, $\frac{c-5}{c+5}$ И $\frac{c+5}{c-5}$;

в) $\frac{c-1}{(c-2)(c+2)}$, $\frac{c^2}{c-2}$ И $\frac{4}{c+2}$;

г) $\frac{a+x}{a-x}$, $\frac{2ax}{a^2-x^2}$ И $\frac{a-x}{a+x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) Задача состоит в том, чтобы привести дроби $\frac{3ab}{(a-b)(a+b)}$, $\frac{a^2}{a+b}$ и $\frac{b^2}{a-b}$ к общему знаменателю.
1. Находим наименьший общий знаменатель (НОЗ). Для этого рассмотрим знаменатели каждой дроби:
Первый знаменатель: $(a-b)(a+b)$.
Второй знаменатель: $a+b$.
Третий знаменатель: $a-b$.
НОЗ должен содержать все множители каждого знаменателя. Таким образом, НОЗ равен $(a-b)(a+b)$.
2. Приводим каждую дробь к НОЗ.
- Первая дробь $\frac{3ab}{(a-b)(a+b)}$ уже имеет общий знаменатель. Дополнительный множитель для нее равен 1.
- Для второй дроби $\frac{a^2}{a+b}$ дополнительным множителем является $(a-b)$. Умножим ее числитель и знаменатель на $(a-b)$:
$\frac{a^2}{a+b} = \frac{a^2(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2(a-b)}{(a-b)(a+b)}$.
- Для третьей дроби $\frac{b^2}{a-b}$ дополнительным множителем является $(a+b)$. Умножим ее числитель и знаменатель на $(a+b)$:
$\frac{b^2}{a-b} = \frac{b^2(a+b)}{(a-b)(a+b)}$.
Ответ: $\frac{3ab}{(a-b)(a+b)}$, $\frac{a^2(a-b)}{(a-b)(a+b)}$, $\frac{b^2(a+b)}{(a-b)(a+b)}$.

б) Задача состоит в том, чтобы привести дроби $\frac{4c}{c^2-25}$, $\frac{c-5}{c+5}$ и $\frac{c+5}{c-5}$ к общему знаменателю.
1. Находим НОЗ. Сначала разложим знаменатели на множители:
Первый знаменатель: $c^2-25 = (c-5)(c+5)$ (разность квадратов).
Второй знаменатель: $c+5$.
Третий знаменатель: $c-5$.
НОЗ, содержащий все множители, равен $(c-5)(c+5)$.
2. Приводим каждую дробь к НОЗ.
- Первая дробь $\frac{4c}{c^2-25} = \frac{4c}{(c-5)(c+5)}$ уже имеет общий знаменатель.
- Для второй дроби $\frac{c-5}{c+5}$ дополнительный множитель - $(c-5)$.
$\frac{c-5}{c+5} = \frac{(c-5)(c-5)}{(c+5)(c-5)} = \frac{(c-5)^2}{(c-5)(c+5)}$.
- Для третьей дроби $\frac{c+5}{c-5}$ дополнительный множитель - $(c+5)$.
$\frac{c+5}{c-5} = \frac{(c+5)(c+5)}{(c-5)(c+5)} = \frac{(c+5)^2}{(c-5)(c+5)}$.
Ответ: $\frac{4c}{(c-5)(c+5)}$, $\frac{(c-5)^2}{(c-5)(c+5)}$, $\frac{(c+5)^2}{(c-5)(c+5)}$.

в) Задача состоит в том, чтобы привести дроби $\frac{c-1}{(c-2)(c+2)}$, $\frac{c^2}{c-2}$ и $\frac{4}{c+2}$ к общему знаменателю.
1. Находим НОЗ. Знаменатели дробей: $(c-2)(c+2)$, $c-2$ и $c+2$.
НОЗ равен произведению уникальных множителей: $(c-2)(c+2)$.
2. Приводим дроби к НОЗ.
- Первая дробь $\frac{c-1}{(c-2)(c+2)}$ уже приведена к общему знаменателю.
- Для второй дроби $\frac{c^2}{c-2}$ дополнительный множитель - $(c+2)$.
$\frac{c^2}{c-2} = \frac{c^2(c+2)}{(c-2)(c+2)}$.
- Для третьей дроби $\frac{4}{c+2}$ дополнительный множитель - $(c-2)$.
$\frac{4}{c+2} = \frac{4(c-2)}{(c+2)(c-2)} = \frac{4(c-2)}{(c-2)(c+2)}$.
Ответ: $\frac{c-1}{(c-2)(c+2)}$, $\frac{c^2(c+2)}{(c-2)(c+2)}$, $\frac{4(c-2)}{(c-2)(c+2)}$.

г) Задача состоит в том, чтобы привести дроби $\frac{a+x}{a-x}$, $\frac{2ax}{a^2-x^2}$ и $\frac{a-x}{a+x}$ к общему знаменателю.
1. Находим НОЗ. Разложим знаменатели на множители:
Первый знаменатель: $a-x$.
Второй знаменатель: $a^2-x^2 = (a-x)(a+x)$.
Третий знаменатель: $a+x$.
НОЗ равен $(a-x)(a+x)$.
2. Приводим дроби к НОЗ.
- Для первой дроби $\frac{a+x}{a-x}$ дополнительный множитель - $(a+x)$.
$\frac{a+x}{a-x} = \frac{(a+x)(a+x)}{(a-x)(a+x)} = \frac{(a+x)^2}{(a-x)(a+x)}$.
- Вторая дробь $\frac{2ax}{a^2-x^2} = \frac{2ax}{(a-x)(a+x)}$ уже имеет общий знаменатель.
- Для третьей дроби $\frac{a-x}{a+x}$ дополнительный множитель - $(a-x)$.
$\frac{a-x}{a+x} = \frac{(a-x)(a-x)}{(a+x)(a-x)} = \frac{(a-x)^2}{(a-x)(a+x)}$.
Ответ: $\frac{(a+x)^2}{(a-x)(a+x)}$, $\frac{2ax}{(a-x)(a+x)}$, $\frac{(a-x)^2}{(a-x)(a+x)}$.