Номер 2.46, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.46, страница 24.

Условие.

2.46 а) $\frac{c + 6b}{ac + 2bc - 6ab - 3a^2}$, $\frac{2b}{a + 2b}$ и $\frac{c}{c - 3a}$;

б) $\frac{3a - b}{4a + 2c}$, $\frac{2a + c}{6a + 2b}$ и $\frac{6a^2}{6a^2 + 2ab + 3ac + bc}$;

в) $\frac{1}{y - 5z}$, $\frac{z}{x + 2y}$ и $\frac{2x + z}{xy - 10yz - 5xz + 2y^2}$;

г) $\frac{a - 1}{a^2 - ab + bc - ac}$, $\frac{a + c}{2b - 2a}$ и $\frac{a - b}{3a - 3c}$;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения данных задач будем исходить из предположения, что для каждой группы из трёх дробей необходимо доказать тождество вида $A \pm B = C$, где $A, B, C$ — данные дроби. В некоторых случаях в условии могут содержаться опечатки, которые мы выявим в процессе решения.

а)

Даны три дроби:$A = \frac{c+6b}{ac+2bc-6ab-3a^2}$, $B = \frac{2b}{a+2b}$, $C = \frac{c}{c-3a}$.

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби:$ac + 2bc - 6ab - 3a^2 = c(a+2b) - 3a(2b+a) = (a+2b)(c-3a)$.

Знаменатель первой дроби является произведением знаменателей двух других дробей. Это указывает на то, что первая дробь может быть результатом сложения или вычитания двух других. Проверим это.Рассмотрим разность дробей $C$ и $B$:

$\frac{c}{c-3a} - \frac{2b}{a+2b} = \frac{c(a+2b)}{(c-3a)(a+2b)} - \frac{2b(c-3a)}{(a+2b)(c-3a)}$

Приводим к общему знаменателю $(a+2b)(c-3a)$:

$\frac{c(a+2b) - 2b(c-3a)}{(a+2b)(c-3a)} = \frac{ac + 2bc - 2bc + 6ab}{(a+2b)(c-3a)} = \frac{ac + 6ab}{(a+2b)(c-3a)}$

Раскроем скобки в числителе, вынеся общий множитель $a$:

$\frac{a(c+6b)}{(a+2b)(c-3a)}$

Сравним полученный результат с первой дробью $A = \frac{c+6b}{(a+2b)(c-3a)}$.

Результат отличается от первой дроби на множитель $a$ в числителе. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка в числителе первой дроби. Предполагая, что в числителе первой дроби должен быть $a(c+6b)$, докажем тождество:$\frac{a(c+6b)}{ac+2bc-6ab-3a^2} = \frac{c}{c-3a} - \frac{2b}{a+2b}$.

Мы уже преобразовали правую часть и получили выражение, равное левой части (с исправленной опечаткой). Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Вероятно, в условии опечатка. Правильное тождество: $\frac{a(c+6b)}{ac+2bc-6ab-3a^2} = \frac{c}{c-3a} - \frac{2b}{a+2b}$.

б)

Даны три дроби:$A = \frac{3a-b}{4a+2c}$, $B = \frac{2a+c}{6a+2b}$, $C = \frac{6a^2}{6a^2+2ab+3ac+bc}$.

Разложим знаменатели на множители:

$D_A = 4a+2c = 2(2a+c)$

$D_B = 6a+2b = 2(3a+b)$

$D_C = 6a^2+2ab+3ac+bc = 2a(3a+b)+c(3a+b) = (3a+b)(2a+c)$

Общий знаменатель для всех трёх дробей равен $2(2a+c)(3a+b)$. Попробуем найти линейную зависимость между дробями. Проверим, выполняется ли тождество $A \pm B = C$ или другие комбинации.

Рассмотрим разность $A - B$:

$\frac{3a-b}{2(2a+c)} - \frac{2a+c}{2(3a+b)} = \frac{(3a-b)(3a+b) - (2a+c)^2}{2(2a+c)(3a+b)}$

$= \frac{(9a^2-b^2) - (4a^2+4ac+c^2)}{2(2a+c)(3a+b)} = \frac{5a^2-b^2-4ac-c^2}{2(2a+c)(3a+b)}$

Чтобы это выражение было равно дроби $C$, его числитель должен быть равен числителю дроби $C$, приведённой к тому же знаменателю: $C = \frac{6a^2 \cdot 2}{2(2a+c)(3a+b)} = \frac{12a^2}{2(2a+c)(3a+b)}$.Так как $5a^2-b^2-4ac-c^2 \neq 12a^2$, тождество $A-B=C$ неверно.

Проверка других комбинаций ($A+B=C$, $B-A=C$ и т.д.) также не приводит к тождеству. Например, для $B-A=C$ числитель был бы $-(5a^2-b^2-4ac-c^2)$, что также не равно $12a^2$.Проверим $A+C=B$:$\frac{3a-b}{2(2a+c)} + \frac{6a^2}{(2a+c)(3a+b)} = \frac{(3a-b)(3a+b) + 2(6a^2)}{2(2a+c)(3a+b)} = \frac{9a^2-b^2+12a^2}{2(2a+c)(3a+b)} = \frac{21a^2-b^2}{2(2a+c)(3a+b)}$.Числитель дроби $B$, приведённой к общему знаменателю: $(2a+c)^2 = 4a^2+4ac+c^2$. Равенство не выполняется.По-видимому, в условии этого пункта также содержится ошибка, которая не позволяет установить простое тождество.

Ответ: Среди данных дробей не удаётся установить простое тождество вида $A \pm B = C$. Вероятно, в условии задачи имеется ошибка.

в)

Даны три дроби:$A = \frac{1}{y-5z}$, $B = \frac{z}{x+2y}$, $C = \frac{2x+z}{xy-10yz-5xz+2y^2}$.

Разложим на множители знаменатель третьей дроби:

$xy-10yz-5xz+2y^2 = (xy+2y^2) - (5xz+10yz) = y(x+2y) - 5z(x+2y) = (x+2y)(y-5z)$.

Как и в пункте а), знаменатель дроби $C$ является произведением знаменателей дробей $A$ и $B$. Проверим, является ли $C$ суммой или разностью $A$ и $B$.

Рассмотрим сумму $A+B$:

$\frac{1}{y-5z} + \frac{z}{x+2y} = \frac{1(x+2y) + z(y-5z)}{(y-5z)(x+2y)} = \frac{x+2y+zy-5z^2}{(x+2y)(y-5z)}$.

Сравнивая числитель $x+2y+zy-5z^2$ с числителем дроби $C$, который равен $2x+z$, мы видим, что они не равны.Рассмотрим разность $A-B$:

$\frac{1}{y-5z} - \frac{z}{x+2y} = \frac{1(x+2y) - z(y-5z)}{(y-5z)(x+2y)} = \frac{x+2y-zy+5z^2}{(y-5z)(x+2y)}$.

Этот числитель также не равен $2x+z$. Проверка других комбинаций ($C-A=B$ и т.д.) также не приводит к тождеству. Например, $C-A = \frac{2x+z-(x+2y)}{(x+2y)(y-5z)} = \frac{x-2y+z}{(x+2y)(y-5z)}$, что не равно $B$.Следовательно, как и в предыдущем пункте, установить простое тождество не удаётся.

Ответ: Среди данных дробей не удаётся установить простое тождество вида $A \pm B = C$. Вероятно, в условии задачи имеется ошибка.

г)

Даны три дроби:$A = \frac{a-1}{a^2-ab+bc-ac}$, $B = \frac{a+c}{2b-2a}$, $C = \frac{a-b}{3a-3c}$.

Разложим знаменатели на множители:

$D_A = a^2-ab-ac+bc = a(a-b)-c(a-b) = (a-b)(a-c)$.

$D_B = 2b-2a = -2(a-b)$.

$D_C = 3a-3c = 3(a-c)$.

Знаменатели всех трёх дробей содержат множители $(a-b)$ и $(a-c)$. Попробуем установить между дробями тождественную связь. Общий знаменатель $6(a-b)(a-c)$.

Проверим комбинацию $A \pm B = C$. Например, $A-B$:

$\frac{a-1}{(a-b)(a-c)} - \frac{a+c}{-2(a-b)} = \frac{a-1}{(a-b)(a-c)} + \frac{a+c}{2(a-b)}$

Приводим к общему знаменателю $2(a-b)(a-c)$:

$\frac{2(a-1) + (a+c)(a-c)}{2(a-b)(a-c)} = \frac{2a-2+a^2-c^2}{2(a-b)(a-c)} = \frac{a^2+2a-2-c^2}{2(a-b)(a-c)}$.

Это выражение должно быть равно дроби $C = \frac{a-b}{3(a-c)}$. Очевидно, что это не так.Проверим другую комбинацию. Например, $\frac{1}{3}C - \frac{1}{2}B$:$\frac{1}{3} \cdot \frac{a-b}{3(a-c)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{a+c}{-2(a-b)}$ ... это усложнение.Попробуем найти такую комбинацию, которая могла бы привести к $A$.Рассмотрим выражение $-\frac{1}{2}B - \frac{1}{3}C$:$-\frac{1}{2} \cdot \frac{a+c}{-2(a-b)} - \frac{1}{3} \cdot \frac{a-b}{3(a-c)} = \frac{a+c}{4(a-b)} - \frac{a-b}{9(a-c)}$. Это не приводит к простому результату.Как и в предыдущих пунктах, простое тождество вида $A \pm B = C$ не выполняется. Вероятно, в условии задачи также имеется ошибка.

Ответ: Среди данных дробей не удаётся установить простое тождество вида $A \pm B = C$. Вероятно, в условии задачи имеется ошибка.