Номер 2.37, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.37, страница 23.

Условие.

Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

2.37 a) $ \frac{b}{2a^2} $, $ \frac{7}{6ab} $ и $ \frac{a}{3b^2} $;

б) $ 3t $, $ \frac{2t}{s^2} $ и $ \frac{5}{st} $;

в) $ \frac{3km}{5l^3} $, $ \frac{k^2}{2lm} $ и $ \frac{kl}{4m^3} $;

г) $ \frac{2n}{m^2} $, $ 5mn $ и $ \frac{3m}{n^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы привести дроби $\frac{b}{2a^2}$, $\frac{7}{6ab}$ и $\frac{a}{3b^2}$ к наименьшему общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: $2a^2$, $6ab$ и $3b^2$.

1. Находим НОК для числовых коэффициентов 2, 6 и 3. НОК(2, 6, 3) = 6.

2. Находим НОК для переменных. Для этого берем каждую переменную с наибольшим показателем степени из всех знаменателей: $a^2$ и $b^2$.

3. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению НОК коэффициентов и НОК переменных: $6a^2b^2$.

4. Находим дополнительные множители для каждой дроби и умножаем на них числитель и знаменатель:

Для дроби $\frac{b}{2a^2}$ дополнительный множитель: $\frac{6a^2b^2}{2a^2} = 3b^2$.
$\frac{b \cdot 3b^2}{2a^2 \cdot 3b^2} = \frac{3b^3}{6a^2b^2}$.

Для дроби $\frac{7}{6ab}$ дополнительный множитель: $\frac{6a^2b^2}{6ab} = ab$.
$\frac{7 \cdot ab}{6ab \cdot ab} = \frac{7ab}{6a^2b^2}$.

Для дроби $\frac{a}{3b^2}$ дополнительный множитель: $\frac{6a^2b^2}{3b^2} = 2a^2$.
$\frac{a \cdot 2a^2}{3b^2 \cdot 2a^2} = \frac{2a^3}{6a^2b^2}$.

Ответ: $\frac{3b^3}{6a^2b^2}$, $\frac{7ab}{6a^2b^2}$, $\frac{2a^3}{6a^2b^2}$.

б) Даны выражения $3t$, $\frac{2t}{s^2}$ и $\frac{5}{st}$. Сначала представим $3t$ в виде дроби: $\frac{3t}{1}$.

1. Знаменатели дробей: $1$, $s^2$ и $st$.

2. Наименьший общий знаменатель для этих выражений будет содержать каждую переменную в наибольшей степени, в которой она встречается: $s^2$ и $t$.

3. НОЗ равен $s^2t$.

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

Для дроби $\frac{3t}{1}$ дополнительный множитель: $s^2t$.
$\frac{3t \cdot s^2t}{1 \cdot s^2t} = \frac{3s^2t^2}{s^2t}$.

Для дроби $\frac{2t}{s^2}$ дополнительный множитель: $t$.
$\frac{2t \cdot t}{s^2 \cdot t} = \frac{2t^2}{s^2t}$.

Для дроби $\frac{5}{st}$ дополнительный множитель: $s$.
$\frac{5 \cdot s}{st \cdot s} = \frac{5s}{s^2t}$.

Ответ: $\frac{3s^2t^2}{s^2t}$, $\frac{2t^2}{s^2t}$, $\frac{5s}{s^2t}$.

в) Даны дроби $\frac{3km}{5l^3}$, $\frac{k^2}{2lm}$ и $\frac{kl}{4m^3}$. Знаменатели: $5l^3$, $2lm$, $4m^3$.

1. Находим НОК для числовых коэффициентов 5, 2 и 4. НОК(5, 2, 4) = 20.

2. Находим НОК для переменных: $l^3$ и $m^3$.

3. Наименьший общий знаменатель равен $20l^3m^3$.

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

Для дроби $\frac{3km}{5l^3}$ дополнительный множитель: $\frac{20l^3m^3}{5l^3} = 4m^3$.
$\frac{3km \cdot 4m^3}{5l^3 \cdot 4m^3} = \frac{12km^4}{20l^3m^3}$.

Для дроби $\frac{k^2}{2lm}$ дополнительный множитель: $\frac{20l^3m^3}{2lm} = 10l^2m^2$.
$\frac{k^2 \cdot 10l^2m^2}{2lm \cdot 10l^2m^2} = \frac{10k^2l^2m^2}{20l^3m^3}$.

Для дроби $\frac{kl}{4m^3}$ дополнительный множитель: $\frac{20l^3m^3}{4m^3} = 5l^3$.
$\frac{kl \cdot 5l^3}{4m^3 \cdot 5l^3} = \frac{5kl^4}{20l^3m^3}$.

Ответ: $\frac{12km^4}{20l^3m^3}$, $\frac{10k^2l^2m^2}{20l^3m^3}$, $\frac{5kl^4}{20l^3m^3}$.

г) Даны выражения $\frac{2n}{m^2}$, $5mn$ и $\frac{3m}{n^2}$. Представим $5mn$ как дробь $\frac{5mn}{1}$.

1. Знаменатели дробей: $m^2$, $1$ и $n^2$.

2. Наименьший общий знаменатель для этих выражений будет содержать каждую переменную в наибольшей степени: $m^2$ и $n^2$.

3. НОЗ равен $m^2n^2$.

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

Для дроби $\frac{2n}{m^2}$ дополнительный множитель: $n^2$.
$\frac{2n \cdot n^2}{m^2 \cdot n^2} = \frac{2n^3}{m^2n^2}$.

Для дроби $\frac{5mn}{1}$ дополнительный множитель: $m^2n^2$.
$\frac{5mn \cdot m^2n^2}{1 \cdot m^2n^2} = \frac{5m^3n^3}{m^2n^2}$.

Для дроби $\frac{3m}{n^2}$ дополнительный множитель: $m^2$.
$\frac{3m \cdot m^2}{n^2 \cdot m^2} = \frac{3m^3}{m^2n^2}$.

Ответ: $\frac{2n^3}{m^2n^2}$, $\frac{5m^3n^3}{m^2n^2}$, $\frac{3m^3}{m^2n^2}$.