Страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

3.27 Докажите, что выражение $\frac{x^2 - 3}{(x - 2)^4} - \frac{5x - 1}{(x - 2)^4} + \frac{x + 6}{(x - 2)^4}$ при всех допустимых значениях переменной принимает положительные значения.

Для того чтобы доказать, что данное выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной, необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ), а затем упростить выражение и проанализировать его знак.

Исходное выражение: $$ \frac{x^2 - 3}{(x - 2)^4} - \frac{5x - 1}{(x - 2)^4} + \frac{x + 6}{(x - 2)^4} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель дроби не должен равняться нулю. $$ (x - 2)^4 \neq 0 $$ Это условие выполняется, если: $$ x - 2 \neq 0 $$ $$ x \neq 2 $$ Таким образом, выражение определено для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 2$.

Так как все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним действия с их числителями: $$ \frac{(x^2 - 3) - (5x - 1) + (x + 6)}{(x - 2)^4} $$ Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знаки, и приведём подобные слагаемые: $$ \frac{x^2 - 3 - 5x + 1 + x + 6}{(x - 2)^4} = \frac{x^2 + (-5x + x) + (-3 + 1 + 6)}{(x - 2)^4} = \frac{x^2 - 4x + 4}{(x - 2)^4} $$

Заметим, что числитель полученной дроби $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности $(x - 2)^2$. Подставим это в выражение: $$ \frac{(x - 2)^2}{(x - 2)^4} $$

Так как в области допустимых значений $x \neq 2$, то $(x - 2)^2 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(x - 2)^2$: $$ \frac{(x - 2)^2}{(x - 2)^4} = \frac{1}{(x - 2)^2} $$

Теперь проанализируем знак итогового выражения $\frac{1}{(x - 2)^2}$ для всех $x$ из ОДЗ.

• Числитель дроби равен 1, то есть является положительным числом.
• Знаменатель дроби $(x - 2)^2$ является квадратом выражения $x - 2$. Так как $x \neq 2$, то $x - 2 \neq 0$. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда строго положителен. Следовательно, $(x - 2)^2 > 0$ при всех допустимых значениях $x$.

В результате мы получили дробь, у которой и числитель, и знаменатель являются положительными числами при всех допустимых значениях переменной. Частное двух положительных чисел всегда положительно.

Это доказывает, что исходное выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной $x$.

Ответ: После упрощения выражение приводится к виду $\frac{1}{(x - 2)^2}$. При всех допустимых значениях переменной ($x \neq 2$), знаменатель $(x - 2)^2$ строго положителен (как квадрат ненулевого числа), а числитель 1 также положителен. Следовательно, всё выражение принимает только положительные значения.

3.28 Докажите, что выражение $ \frac{2 - y^2}{(y - 3)^4} - \frac{7 - 5y}{(y - 3)^4} - \frac{4 - y}{(y - 3)^4} $ при всех до-пустимых значениях переменной принимает отрицательные значения.

Чтобы доказать, что данное выражение принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях переменной, сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), а затем упростим само выражение и проанализируем его знак.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Исходное выражение содержит дроби, в знаменателе которых стоит $(y - 3)^4$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
$(y - 3)^4 \neq 0$
Это условие выполняется, если $y - 3 \neq 0$, то есть $y \neq 3$.
Таким образом, область допустимых значений — это все действительные числа, кроме $y = 3$.

2. Упрощение выражения

Поскольку все три дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем объединить их в одну, выполнив соответствующие действия с числителями:
$\frac{2 - y^2}{(y - 3)^4} - \frac{7 - 5y}{(y - 3)^4} - \frac{4 - y}{(y - 3)^4} = \frac{(2 - y^2) - (7 - 5y) - (4 - y)}{(y - 3)^4}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$2 - y^2 - 7 + 5y - 4 + y = -y^2 + (5y + y) + (2 - 7 - 4) = -y^2 + 6y - 9$
Вынесем знак «–» за скобки, чтобы получить более удобное для анализа выражение:
$-y^2 + 6y - 9 = -(y^2 - 6y + 9)$
Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности: $y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y - 3)^2$.
Следовательно, числитель равен $-(y - 3)^2$.
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{-(y - 3)^2}{(y - 3)^4}$
Сократим дробь на $(y - 3)^2$. Это действие возможно, так как в ОДЗ $y \neq 3$, а значит $(y - 3)^2 \neq 0$.
$\frac{-(y - 3)^2}{(y - 3)^4} = -\frac{1}{(y - 3)^{4-2}} = -\frac{1}{(y - 3)^2}$

3. Анализ знака полученного выражения

Мы получили упрощенное выражение: $-\frac{1}{(y - 3)^2}$.
Рассмотрим знаменатель $(y - 3)^2$. Для любого допустимого значения $y$ (т.е. $y \neq 3$), разность $y - 3$ не будет равна нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда является положительным числом.
Значит, $(y - 3)^2 > 0$ при всех $y \in \text{ОДЗ}$.
Поскольку числитель $1$ положителен и знаменатель $(y - 3)^2$ также положителен, то сама дробь $\frac{1}{(y - 3)^2}$ всегда будет положительной.
Перед этой положительной дробью стоит знак «минус», следовательно, всё выражение $-\frac{1}{(y - 3)^2}$ всегда будет принимать отрицательные значения.
Таким образом, доказано, что исходное выражение при всех допустимых значениях переменной принимает отрицательные значения.
Ответ: Исходное выражение после упрощения равно $-\frac{1}{(y - 3)^2}$. Так как $(y-3)^2 > 0$ для всех допустимых значений $y$ ($y \neq 3$), то значение всего выражения $-\frac{1}{(y - 3)^2}$ всегда будет меньше нуля. Что и требовалось доказать.

3.29 Докажите тождество:

$\frac{x^3 + y^3}{(x - y)^2} + \frac{3xy^2 - y^3}{(y - x)^2} + \frac{3xy^2}{2xy - x^2 - y^2} = \frac{x^3}{(x - y)^2}$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, приводя все дроби к общему знаменателю.

1. Рассмотрим знаменатели каждой дроби:

• Знаменатель первой дроби: $(x - y)^2$.
• Знаменатель второй дроби: $(y - x)^2 = (-(x - y))^2 = (x - y)^2$.
• Знаменатель третьей дроби: $2xy - x^2 - y^2 = -(x^2 - 2xy + y^2) = -(x - y)^2$.

2. Теперь перепишем левую часть уравнения, используя преобразованные знаменатели, чтобы привести все дроби к общему знаменателю $(x-y)^2$:

$ \frac{x^3 + y^3}{(x - y)^2} + \frac{3xy^2 - y^3}{(y - x)^2} + \frac{3xy^2}{2xy - x^2 - y^2} = \frac{x^3 + y^3}{(x - y)^2} + \frac{3xy^2 - y^3}{(x - y)^2} + \frac{3xy^2}{-(x - y)^2} $

3. Знак "минус" в знаменателе третьей дроби можно вынести перед дробью:

$ \frac{x^3 + y^3}{(x - y)^2} + \frac{3xy^2 - y^3}{(x - y)^2} - \frac{3xy^2}{(x - y)^2} $

4. Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель, мы можем объединить их числители:

$ \frac{(x^3 + y^3) + (3xy^2 - y^3) - 3xy^2}{(x - y)^2} $

5. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{x^3 + y^3 + 3xy^2 - y^3 - 3xy^2}{(x - y)^2} $

Взаимно уничтожаются слагаемые $y^3$ и $-y^3$, а также $3xy^2$ и $-3xy^2$:

$ \frac{x^3 + (y^3 - y^3) + (3xy^2 - 3xy^2)}{(x - y)^2} = \frac{x^3}{(x - y)^2} $

6. В результате преобразования левой части мы получили выражение, идентичное правой части тождества:

$ \frac{x^3}{(x - y)^2} = \frac{x^3}{(x - y)^2} $

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как после преобразования левая часть выражения равна правой.

Выполните сложение или вычитание алгебраических дробей:

4.1 a) $\frac{1}{2} + \frac{5}{6}$;

б) $\frac{3}{8} - \frac{7}{32}$;

в) $\frac{4}{49} - \frac{6}{7}$;

г) $\frac{13}{100} + \frac{17}{20}$.

а)

Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{1}{2} + \frac{5}{6}$, их необходимо привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 2 и 6 равен 6. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 3:

$\frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{5}{6} = \frac{3}{6} + \frac{5}{6}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{3+5}{6} = \frac{8}{6}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{8 \div 2}{6 \div 2} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

б)

Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{3}{8} - \frac{7}{32}$, приведем их к общему знаменателю. НОЗ для 8 и 32 равен 32. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 4:

$\frac{3}{8} - \frac{7}{32} = \frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 4} - \frac{7}{32} = \frac{12}{32} - \frac{7}{32}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{12-7}{32} = \frac{5}{32}$

Полученная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{5}{32}$

в)

Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{4}{49} - \frac{6}{7}$, приведем их к общему знаменателю. НОЗ для 49 и 7 равен 49. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель 7:

$\frac{4}{49} - \frac{6}{7} = \frac{4}{49} - \frac{6 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{4}{49} - \frac{42}{49}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{4-42}{49} = \frac{-38}{49} = -\frac{38}{49}$

Полученная дробь является несократимой.

Ответ: $-\frac{38}{49}$

г)

Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{13}{100} + \frac{17}{20}$, приведем их к общему знаменателю. НОЗ для 100 и 20 равен 100. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель 5:

$\frac{13}{100} + \frac{17}{20} = \frac{13}{100} + \frac{17 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{13}{100} + \frac{85}{100}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{13+85}{100} = \frac{98}{100}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{98 \div 2}{100 \div 2} = \frac{49}{50}$

Ответ: $\frac{49}{50}$

4.2 а) $ \frac{x}{4} + \frac{y}{5} $;

б) $ \frac{a}{8} - \frac{b}{6} $;

в) $ \frac{m}{9} + \frac{n}{4} $;

г) $ \frac{c}{10} - \frac{d}{4} $.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{x}{4}$ и $\frac{y}{5}$ наименьшим общим знаменателем будет наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4 и 5. Поскольку 4 и 5 — взаимно простые числа, их НОК равно их произведению: $4 \cdot 5 = 20$.
Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби дополнительный множитель равен $20 \div 4 = 5$. Для второй дроби — $20 \div 5 = 4$.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель и сложим полученные дроби:
$\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = \frac{x \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{y \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5x}{20} + \frac{4y}{20} = \frac{5x + 4y}{20}$.
Ответ: $\frac{5x+4y}{20}$.

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{a}{8} - \frac{b}{6}$, приведем их к общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей 8 и 6. НОК(8, 6) = 24.
Дополнительный множитель для первой дроби: $24 \div 8 = 3$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $24 \div 6 = 4$.
Выполним преобразование и вычитание дробей:
$\frac{a}{8} - \frac{b}{6} = \frac{a \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{b \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{3a}{24} - \frac{4b}{24} = \frac{3a - 4b}{24}$.
Ответ: $\frac{3a-4b}{24}$.

в) Для сложения дробей $\frac{m}{9} + \frac{n}{4}$ найдем общий знаменатель. Знаменатели 9 и 4 — взаимно простые числа, поэтому их НОК равно их произведению: $9 \cdot 4 = 36$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $36 \div 9 = 4$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $36 \div 4 = 9$.
Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:
$\frac{m}{9} + \frac{n}{4} = \frac{m \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{n \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{4m}{36} + \frac{9n}{36} = \frac{4m + 9n}{36}$.
Ответ: $\frac{4m+9n}{36}$.

г) Для вычитания дробей $\frac{c}{10} - \frac{d}{4}$ найдем общий знаменатель. Найдем НОК для знаменателей 10 и 4. НОК(10, 4) = 20.
Дополнительный множитель для первой дроби: $20 \div 10 = 2$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $20 \div 4 = 5$.
Выполним преобразование и вычитание дробей:
$\frac{c}{10} - \frac{d}{4} = \frac{c \cdot 2}{10 \cdot 2} - \frac{d \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{2c}{20} - \frac{5d}{20} = \frac{2c - 5d}{20}$.
Ответ: $\frac{2c-5d}{20}$.

4.3 a) $\frac{x}{5} + \frac{2x}{3}$;

б) $\frac{3b}{28} - \frac{b}{4}$;

в) $\frac{6m}{7} - \frac{m}{11}$;

г) $\frac{m}{42} + \frac{5m}{6}$.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{x}{5}$ и $\frac{2x}{3}$ наименьшим общим знаменателем будет $5 \cdot 3 = 15$. Найдем дополнительные множители: для первой дроби это $15 \div 5 = 3$, для второй — $15 \div 3 = 5$. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:
$\frac{x}{5} + \frac{2x}{3} = \frac{x \cdot 3}{15} + \frac{2x \cdot 5}{15} = \frac{3x}{15} + \frac{10x}{15}$.
Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{3x + 10x}{15} = \frac{13x}{15}$.
Ответ: $\frac{13x}{15}$

б) Для вычитания дробей $\frac{3b}{28}$ и $\frac{b}{4}$ приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 28 и 4 — это 28, так как 28 делится на 4. Дополнительный множитель для первой дроби — $1$. Для второй дроби — $28 \div 4 = 7$.
$\frac{3b}{28} - \frac{b}{4} = \frac{3b}{28} - \frac{b \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{3b}{28} - \frac{7b}{28}$.
Выполним вычитание числителей:
$\frac{3b - 7b}{28} = \frac{-4b}{28}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{-4b \div 4}{28 \div 4} = \frac{-b}{7} = -\frac{b}{7}$.
Ответ: $-\frac{b}{7}$

в) Для вычитания дробей $\frac{6m}{7}$ и $\frac{m}{11}$ найдем общий знаменатель. Так как 7 и 11 — взаимно простые числа, их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $7 \cdot 11 = 77$. Дополнительный множитель для первой дроби — $11$, для второй — $7$.
$\frac{6m}{7} - \frac{m}{11} = \frac{6m \cdot 11}{77} - \frac{m \cdot 7}{77} = \frac{66m}{77} - \frac{7m}{77}$.
Вычтем числители:
$\frac{66m - 7m}{77} = \frac{59m}{77}$.
Ответ: $\frac{59m}{77}$

г) Чтобы сложить дроби $\frac{m}{42}$ и $\frac{5m}{6}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 42 и 6 — это 42, так как 42 делится на 6. Дополнительный множитель для первой дроби — $1$, для второй — $42 \div 6 = 7$.
$\frac{m}{42} + \frac{5m}{6} = \frac{m}{42} + \frac{5m \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{m}{42} + \frac{35m}{42}$.
Сложим числители:
$\frac{m + 35m}{42} = \frac{36m}{42}$.
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 36 и 42 — это 6.
$\frac{36m \div 6}{42 \div 6} = \frac{6m}{7}$.
Ответ: $\frac{6m}{7}$

4.4 а) $\frac{x-1}{3} + \frac{x+1}{4};$

б) $\frac{a+8}{9} + \frac{a-2}{12};$

в) $\frac{c+5}{3} + \frac{2c+9}{8};$

г) $\frac{3-z}{12} - \frac{3z-5}{8}.$

а) $\frac{x-1}{3} + \frac{x+1}{4}$

Для сложения дробей с разными знаменателями приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 3 и 4 является их произведение, то есть 12.

Дополнительный множитель для первой дроби: $12 \div 3 = 4$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $12 \div 4 = 3$.

Умножим числитель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель и сложим полученные выражения под общим знаменателем:

$\frac{x-1}{3} + \frac{x+1}{4} = \frac{4 \cdot (x-1)}{12} + \frac{3 \cdot (x+1)}{12} = \frac{4(x-1) + 3(x+1)}{12}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{4x - 4 + 3x + 3}{12}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4x+3x) + (-4+3)}{12} = \frac{7x-1}{12}$

Ответ: $\frac{7x-1}{12}$

б) $\frac{a+8}{9} + \frac{a-2}{12}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 9 и 12. Наименьшее общее кратное (НОК) для 9 и 12 равно 36.

Дополнительный множитель для первой дроби: $36 \div 9 = 4$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $36 \div 12 = 3$.

Выполним сложение:

$\frac{a+8}{9} + \frac{a-2}{12} = \frac{4(a+8) + 3(a-2)}{36}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{4a + 32 + 3a - 6}{36}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{(4a+3a) + (32-6)}{36} = \frac{7a+26}{36}$

Ответ: $\frac{7a+26}{36}$

в) $\frac{c+5}{3} + \frac{2c+9}{8}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 3 и 8. НОК(3, 8) = 24.

Дополнительный множитель для первой дроби: $24 \div 3 = 8$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $24 \div 8 = 3$.

Выполним сложение:

$\frac{c+5}{3} + \frac{2c+9}{8} = \frac{8(c+5) + 3(2c+9)}{24}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{8c + 40 + 6c + 27}{24}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{(8c+6c) + (40+27)}{24} = \frac{14c+67}{24}$

Ответ: $\frac{14c+67}{24}$

г) $\frac{3-z}{12} - \frac{3z-5}{8}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 8. НОК(12, 8) = 24.

Дополнительный множитель для первой дроби: $24 \div 12 = 2$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $24 \div 8 = 3$.

Выполним вычитание. Обратим внимание, что знак "минус" перед второй дробью относится ко всему ее числителю, поэтому выражение $3(3z-5)$ нужно будет взять в скобки.

$\frac{3-z}{12} - \frac{3z-5}{8} = \frac{2(3-z) - 3(3z-5)}{24}$

Раскроем скобки в числителе, меняя знаки у второго выражения на противоположные:

$\frac{6 - 2z - 9z + 15}{24}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{(-2z-9z) + (6+15)}{24} = \frac{-11z + 21}{24}$

Запишем в более привычном виде:

$\frac{21 - 11z}{24}$

Ответ: $\frac{21 - 11z}{24}$