Номер 3.29, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 3.29, страница 29.

Условие.

3.29 Докажите тождество:

$\frac{x^3 + y^3}{(x - y)^2} + \frac{3xy^2 - y^3}{(y - x)^2} + \frac{3xy^2}{2xy - x^2 - y^2} = \frac{x^3}{(x - y)^2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, приводя все дроби к общему знаменателю.

1. Рассмотрим знаменатели каждой дроби:

• Знаменатель первой дроби: $(x - y)^2$.
• Знаменатель второй дроби: $(y - x)^2 = (-(x - y))^2 = (x - y)^2$.
• Знаменатель третьей дроби: $2xy - x^2 - y^2 = -(x^2 - 2xy + y^2) = -(x - y)^2$.

2. Теперь перепишем левую часть уравнения, используя преобразованные знаменатели, чтобы привести все дроби к общему знаменателю $(x-y)^2$:

$ \frac{x^3 + y^3}{(x - y)^2} + \frac{3xy^2 - y^3}{(y - x)^2} + \frac{3xy^2}{2xy - x^2 - y^2} = \frac{x^3 + y^3}{(x - y)^2} + \frac{3xy^2 - y^3}{(x - y)^2} + \frac{3xy^2}{-(x - y)^2} $

3. Знак "минус" в знаменателе третьей дроби можно вынести перед дробью:

$ \frac{x^3 + y^3}{(x - y)^2} + \frac{3xy^2 - y^3}{(x - y)^2} - \frac{3xy^2}{(x - y)^2} $

4. Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель, мы можем объединить их числители:

$ \frac{(x^3 + y^3) + (3xy^2 - y^3) - 3xy^2}{(x - y)^2} $

5. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{x^3 + y^3 + 3xy^2 - y^3 - 3xy^2}{(x - y)^2} $

Взаимно уничтожаются слагаемые $y^3$ и $-y^3$, а также $3xy^2$ и $-3xy^2$:

$ \frac{x^3 + (y^3 - y^3) + (3xy^2 - 3xy^2)}{(x - y)^2} = \frac{x^3}{(x - y)^2} $

6. В результате преобразования левой части мы получили выражение, идентичное правой части тождества:

$ \frac{x^3}{(x - y)^2} = \frac{x^3}{(x - y)^2} $

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как после преобразования левая часть выражения равна правой.