Номер 3.23, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями - номер 3.23, страница 28.

Условие.

3.23 a) $\frac{x^2 - 3}{(x - 2)^4} - \frac{5x - 1}{(x - 2)^4} + \frac{x + 6}{(x - 2)^4};$

б) $\frac{8m^2 + 3m - 2}{4m^2 + 4m + 1} - \frac{5m - 7}{-4m^2 - 4m - 1} - \frac{4m - 9}{(1 + 2m)^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $ \frac{x^2 - 3}{(x - 2)^4} - \frac{5x - 1}{(x - 2)^4} + \frac{x + 6}{(x - 2)^4} $

Поскольку все дроби имеют одинаковый знаменатель $ (x - 2)^4 $, мы можем объединить их числители, выполнив соответствующие арифметические операции. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью, который изменит знаки в её числителе.

$ \frac{(x^2 - 3) - (5x - 1) + (x + 6)}{(x - 2)^4} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{x^2 - 3 - 5x + 1 + x + 6}{(x - 2)^4} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{x^2 + (-5x + x) + (-3 + 1 + 6)}{(x - 2)^4} = \frac{x^2 - 4x + 4}{(x - 2)^4} $

Заметим, что числитель $ x^2 - 4x + 4 $ является полным квадратом разности $ (x - 2)^2 $, так как $ x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2 $.

Подставим это в наше выражение:

$ \frac{(x - 2)^2}{(x - 2)^4} $

Сократим дробь, используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ (x - 2)^{2-4} = (x - 2)^{-2} = \frac{1}{(x - 2)^2} $

При этом область допустимых значений $ x \neq 2 $ сохраняется.

Ответ: $ \frac{1}{(x - 2)^2} $

б) $ \frac{8m^2 + 3m - 2}{4m^2 + 4m + 1} - \frac{5m - 7}{-4m^2 - 4m - 1} - \frac{4m - 9}{(1 + 2m)^2} $

Сначала преобразуем знаменатели, чтобы привести их к общему виду.

Первый знаменатель: $ 4m^2 + 4m + 1 $ - это полный квадрат суммы $ (2m + 1)^2 $.

Второй знаменатель: $ -4m^2 - 4m - 1 $. Вынесем $ -1 $ за скобки: $ -(4m^2 + 4m + 1) = -(2m + 1)^2 $.

Третий знаменатель: $ (1 + 2m)^2 $ равен $ (2m + 1)^2 $.

Перепишем исходное выражение с преобразованными знаменателями:

$ \frac{8m^2 + 3m - 2}{(2m + 1)^2} - \frac{5m - 7}{-(2m + 1)^2} - \frac{4m - 9}{(2m + 1)^2} $

Минус перед второй дробью и минус в её знаменателе дают плюс:

$ \frac{8m^2 + 3m - 2}{(2m + 1)^2} + \frac{5m - 7}{(2m + 1)^2} - \frac{4m - 9}{(2m + 1)^2} $

Теперь все дроби имеют общий знаменатель $ (2m + 1)^2 $. Объединим числители:

$ \frac{(8m^2 + 3m - 2) + (5m - 7) - (4m - 9)}{(2m + 1)^2} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{8m^2 + 3m - 2 + 5m - 7 - 4m + 9}{(2m + 1)^2} $

$ \frac{8m^2 + (3m + 5m - 4m) + (-2 - 7 + 9)}{(2m + 1)^2} = \frac{8m^2 + 4m}{(2m + 1)^2} $

Вынесем в числителе общий множитель $ 4m $ за скобки:

$ \frac{4m(2m + 1)}{(2m + 1)^2} $

Сократим дробь на общий множитель $ (2m + 1) $ (при условии, что $ 2m + 1 \neq 0 $, то есть $ m \neq -0.5 $):

$ \frac{4m}{2m + 1} $

Ответ: $ \frac{4m}{2m + 1} $