Номер 3.24, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 3.24, страница 28.

Условие.

3.24 a) $\frac{a^2}{(a-b)^2} - \frac{2ab}{b^2 - 2ab + a^2} - \frac{b^2}{(a-b)(b-a)};$

б) $\frac{y^2}{(-x-y)^2} + \frac{x^2}{x^2 + 2xy + y^2} - \frac{2xy}{(x+y)(-x-y)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $ \frac{a^2}{(a-b)^2} - \frac{2ab}{b^2 - 2ab + a^2} - \frac{b^2}{(a-b)(b-a)} $

Для решения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Для этого упростим знаменатели каждого слагаемого.

1. Знаменатель второй дроби $ b^2 - 2ab + a^2 $ является полным квадратом разности. Его можно свернуть по формуле $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $, получив $ (b-a)^2 $. Так как $ (b-a)^2 = (a-b)^2 $, для удобства запишем его как $ (a-b)^2 $.

2. Знаменатель третьей дроби $ (a-b)(b-a) $. Вынесем $ -1 $ за скобки во втором множителе: $ (b-a) = -(a-b) $. Тогда знаменатель примет вид: $ (a-b) \cdot (-(a-b)) = -(a-b)^2 $.

3. Теперь перепишем исходное выражение с преобразованными знаменателями:

$ \frac{a^2}{(a-b)^2} - \frac{2ab}{(a-b)^2} - \frac{b^2}{-(a-b)^2} $

4. Упростим знак в третьей дроби. Минус перед дробью и минус в знаменателе дают плюс:

$ \frac{a^2}{(a-b)^2} - \frac{2ab}{(a-b)^2} + \frac{b^2}{(a-b)^2} $

5. Теперь все дроби имеют общий знаменатель $ (a-b)^2 $. Выполним сложение и вычитание числителей:

$ \frac{a^2 - 2ab + b^2}{(a-b)^2} $

6. Числитель $ a^2 - 2ab + b^2 $ является формулой квадрата разности $ (a-b)^2 $.

7. Подставим свернутую формулу в числитель и сократим дробь:

$ \frac{(a-b)^2}{(a-b)^2} = 1 $

Ответ: 1

б) $ \frac{y^2}{(-x-y)^2} + \frac{x^2}{x^2 + 2xy + y^2} - \frac{2xy}{(x+y)(-x-y)} $

Приведем все дроби к общему знаменателю, предварительно упростив знаменатели.

1. Знаменатель первой дроби $ (-x-y)^2 $. Вынесем $ -1 $ за скобки: $ (-(x+y))^2 = (-1)^2(x+y)^2 = (x+y)^2 $.

2. Знаменатель второй дроби $ x^2 + 2xy + y^2 $ является полным квадратом суммы и сворачивается по формуле $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $.

3. Знаменатель третьей дроби $ (x+y)(-x-y) $. Вынесем $ -1 $ за скобки во втором множителе: $ (-x-y) = -(x+y) $. Тогда знаменатель примет вид: $ (x+y) \cdot (-(x+y)) = -(x+y)^2 $.

4. Перепишем исходное выражение с новыми знаменателями:

$ \frac{y^2}{(x+y)^2} + \frac{x^2}{(x+y)^2} - \frac{2xy}{-(x+y)^2} $

5. Упростим знак в третьей дроби. Минус перед дробью и минус в знаменателе дают плюс:

$ \frac{y^2}{(x+y)^2} + \frac{x^2}{(x+y)^2} + \frac{2xy}{(x+y)^2} $

6. Теперь у всех дробей общий знаменатель $ (x+y)^2 $. Сложим их числители:

$ \frac{y^2 + x^2 + 2xy}{(x+y)^2} $

7. Числитель $ y^2 + x^2 + 2xy $ можно переписать в виде $ x^2 + 2xy + y^2 $, что является формулой квадрата суммы $ (x+y)^2 $.

8. Подставим свернутую формулу в числитель и сократим дробь:

$ \frac{(x+y)^2}{(x+y)^2} = 1 $

Ответ: 1