Номер 3.18, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями - номер 3.18, страница 27.

Условие.

3.18 a) $ \frac{n^2 + n}{n^3 - 8} + \frac{n + 4}{n^3 - 8} $;

б) $ \frac{x^2 + 2}{1 + x^3} - \frac{3}{1 + x^3} $;

в) $ \frac{m^2 + 9}{m^3 + 27} - \frac{3m}{m^3 + 27} $;

г) $ \frac{3y^2 - 1}{8y^3 - 1} + \frac{y^2}{8y^3 - 1} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $n^3 - 8$, поэтому для их сложения необходимо сложить их числители:
$\frac{n^2 + n}{n^3 - 8} + \frac{n + 4}{n^3 - 8} = \frac{(n^2 + n) + (n + 4)}{n^3 - 8} = \frac{n^2 + 2n + 4}{n^3 - 8}$.

Знаменатель $n^3 - 8$ можно разложить на множители как разность кубов, используя формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$n^3 - 8 = n^3 - 2^3 = (n - 2)(n^2 + 2n + 4)$.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в выражение и сократим дробь на общий множитель $(n^2 + 2n + 4)$:
$\frac{n^2 + 2n + 4}{(n - 2)(n^2 + 2n + 4)} = \frac{1}{n - 2}$.

Ответ: $\frac{1}{n - 2}$

б)

Поскольку у дробей одинаковый знаменатель $1 + x^3$, для их вычитания необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй:
$\frac{x^2 + 2}{1 + x^3} - \frac{3}{1 + x^3} = \frac{(x^2 + 2) - 3}{1 + x^3} = \frac{x^2 - 1}{1 + x^3}$.

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель раскладывается как разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, а знаменатель — как сумма кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
Числитель: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Знаменатель: $1 + x^3 = (1 + x)(1 - x + x^2)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(x+1)$:
$\frac{(x - 1)(x + 1)}{(1 + x)(x^2 - x + 1)} = \frac{x - 1}{x^2 - x + 1}$.

Ответ: $\frac{x - 1}{x^2 - x + 1}$

в)

Дроби имеют общий знаменатель $m^3 + 27$, поэтому выполним вычитание их числителей:
$\frac{m^2 + 9}{m^3 + 27} - \frac{3m}{m^3 + 27} = \frac{m^2 + 9 - 3m}{m^3 + 27} = \frac{m^2 - 3m + 9}{m^3 + 27}$.

Знаменатель $m^3 + 27$ разложим на множители как сумму кубов по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$m^3 + 27 = m^3 + 3^3 = (m + 3)(m^2 - 3m + 9)$.

Подставим разложение в дробь и выполним сокращение на общий множитель $(m^2 - 3m + 9)$:
$\frac{m^2 - 3m + 9}{(m + 3)(m^2 - 3m + 9)} = \frac{1}{m + 3}$.

Ответ: $\frac{1}{m + 3}$

г)

Дроби имеют общий знаменатель $8y^3 - 1$, поэтому выполним сложение их числителей:
$\frac{3y^2 - 1}{8y^3 - 1} + \frac{y^2}{8y^3 - 1} = \frac{(3y^2 - 1) + y^2}{8y^3 - 1} = \frac{4y^2 - 1}{8y^3 - 1}$.

Разложим числитель как разность квадратов, а знаменатель как разность кубов:
Числитель: $4y^2 - 1 = (2y)^2 - 1^2 = (2y - 1)(2y + 1)$.
Знаменатель: $8y^3 - 1 = (2y)^3 - 1^3 = (2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим на общий множитель $(2y-1)$:
$\frac{(2y - 1)(2y + 1)}{(2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)} = \frac{2y + 1}{4y^2 + 2y + 1}$.

Ответ: $\frac{2y + 1}{4y^2 + 2y + 1}$