Номер 3.17, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 3.17, страница 27.

Условие.

3.17 a) $ \frac{a^2}{a-3} - \frac{6a - 9}{a-3}; $

б) $ \frac{c^2 + 100}{c - 10} + \frac{20c}{10 - c}; $

в) $ \frac{b^2}{b+5} + \frac{10b + 25}{b+5}; $

г) $ \frac{d^2 + 49}{7 - d} + \frac{14d}{d - 7}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{a^2}{a-3} - \frac{6a-9}{a-3}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей. Обратите внимание, что второй числитель нужно взять в скобки, чтобы правильно раскрыть знаки.

$\frac{a^2 - (6a-9)}{a-3} = \frac{a^2 - 6a + 9}{a-3}$

Числитель $a^2 - 6a + 9$ является полным квадратом разности. Используем формулу сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$a^2 - 6a + 9 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = (a-3)^2$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим:

$\frac{(a-3)^2}{a-3} = a-3$

Данное выражение определено при $a-3 \neq 0$, то есть $a \neq 3$.

Ответ: $a-3$

б) $\frac{c^2+100}{c-10} + \frac{20c}{10-c}$

Знаменатели дробей $c-10$ и $10-c$ являются противоположными выражениями, так как $10-c = -(c-10)$. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:

$\frac{c^2+100}{c-10} + \frac{20c}{-(c-10)} = \frac{c^2+100}{c-10} - \frac{20c}{c-10}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{c^2+100-20c}{c-10} = \frac{c^2-20c+100}{c-10}$

Числитель $c^2-20c+100$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$c^2 - 20c + 100 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 10 + 10^2 = (c-10)^2$

Подставим и сократим дробь:

$\frac{(c-10)^2}{c-10} = c-10$

Данное выражение определено при $c-10 \neq 0$, то есть $c \neq 10$.

Ответ: $c-10$

в) $\frac{b^2}{b+5} + \frac{10b+25}{b+5}$

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому сложим их числители:

$\frac{b^2 + 10b + 25}{b+5}$

Числитель $b^2 + 10b + 25$ является полным квадратом суммы. Используем формулу сокращенного умножения $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$b^2 + 10b + 25 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 5 + 5^2 = (b+5)^2$

Подставим разложенный числитель в дробь и сократим:

$\frac{(b+5)^2}{b+5} = b+5$

Данное выражение определено при $b+5 \neq 0$, то есть $b \neq -5$.

Ответ: $b+5$

г) $\frac{d^2+49}{7-d} + \frac{14d}{d-7}$

Знаменатели $7-d$ и $d-7$ являются противоположными выражениями: $d-7 = -(7-d)$. Приведем дроби к общему знаменателю $7-d$. Для этого изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:

$\frac{d^2+49}{7-d} + \frac{14d}{-(7-d)} = \frac{d^2+49}{7-d} - \frac{14d}{7-d}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{d^2+49-14d}{7-d} = \frac{d^2-14d+49}{7-d}$

Числитель $d^2-14d+49$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$d^2 - 14d + 49 = d^2 - 2 \cdot d \cdot 7 + 7^2 = (d-7)^2$

Подставим и сократим дробь. Заметим, что $(d-7)^2 = (-(7-d))^2 = (7-d)^2$.

$\frac{(d-7)^2}{7-d} = \frac{(7-d)^2}{7-d} = 7-d$

Другой способ сокращения: $\frac{(d-7)^2}{7-d} = \frac{(d-7)(d-7)}{-(d-7)} = -(d-7) = 7-d$.

Данное выражение определено при $7-d \neq 0$, то есть $d \neq 7$.

Ответ: $7-d$