Номер 3.25, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями - номер 3.25, страница 28.

Условие.

3.25 a) $ \frac{5}{(b-4)(5-b)} + \frac{b+1}{(4-b)(5-b)} $

б) $ \frac{2}{(3-a)(2-a)} + \frac{a-4}{(a-3)(a-2)} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{5}{(b-4)(5-b)} + \frac{b+1}{(4-b)(5-b)}$

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Заметим, что множители в знаменателях очень похожи. Связь между ними следующая: $4-b = -(b-4)$.

Воспользуемся этим свойством и преобразуем вторую дробь. Вынесем знак минус из множителя $(4-b)$ в знаменателе перед всей дробью:

$\frac{b+1}{(4-b)(5-b)} = \frac{b+1}{-(b-4)(5-b)} = -\frac{b+1}{(b-4)(5-b)}$

Теперь исходное выражение можно переписать с одинаковыми знаменателями:

$\frac{5}{(b-4)(5-b)} - \frac{b+1}{(b-4)(5-b)}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, вычитая их числители:

$\frac{5 - (b+1)}{(b-4)(5-b)} = \frac{5 - b - 1}{(b-4)(5-b)} = \frac{4-b}{(b-4)(5-b)}$

Упростим полученное выражение. В числителе стоит $4-b$, что является противоположным выражению $b-4$ в знаменателе, то есть $4-b = -(b-4)$. Сократим дробь:

$\frac{-(b-4)}{(b-4)(5-b)} = \frac{-1}{5-b}$

Чтобы избавиться от знака минус перед дробью, можно вынести минус из знаменателя:

$\frac{-1}{5-b} = \frac{-1}{-(b-5)} = \frac{1}{b-5}$

Ответ: $\frac{1}{b-5}$

б) $\frac{2}{(3-a)(2-a)} + \frac{a-4}{(a-3)(a-2)}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Рассмотрим знаменатель первой дроби $(3-a)(2-a)$. Вынесем знак минус из каждого множителя в скобках:

$(3-a) = -(a-3)$

$(2-a) = -(a-2)$

Перемножив их, получим: $(3-a)(2-a) = (-(a-3)) \cdot (-(a-2)) = (a-3)(a-2)$.

Таким образом, знаменатели обеих дробей на самом деле одинаковы. Перепишем первую дробь с новым видом знаменателя:

$\frac{2}{(a-3)(a-2)} + \frac{a-4}{(a-3)(a-2)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{2 + (a-4)}{(a-3)(a-2)} = \frac{2 + a - 4}{(a-3)(a-2)} = \frac{a-2}{(a-3)(a-2)}$

Сократим полученную дробь на общий множитель $(a-2)$ (при условии, что $a \ne 2$):

$\frac{a-2}{(a-3)(a-2)} = \frac{1}{a-3}$

Ответ: $\frac{1}{a-3}$