Номер 3.28, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 3.28, страница 29.

Условие.

3.28 Докажите, что выражение $ \frac{2 - y^2}{(y - 3)^4} - \frac{7 - 5y}{(y - 3)^4} - \frac{4 - y}{(y - 3)^4} $ при всех до-пустимых значениях переменной принимает отрицательные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы доказать, что данное выражение принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях переменной, сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), а затем упростим само выражение и проанализируем его знак.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Исходное выражение содержит дроби, в знаменателе которых стоит $(y - 3)^4$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
$(y - 3)^4 \neq 0$
Это условие выполняется, если $y - 3 \neq 0$, то есть $y \neq 3$.
Таким образом, область допустимых значений — это все действительные числа, кроме $y = 3$.

2. Упрощение выражения

Поскольку все три дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем объединить их в одну, выполнив соответствующие действия с числителями:
$\frac{2 - y^2}{(y - 3)^4} - \frac{7 - 5y}{(y - 3)^4} - \frac{4 - y}{(y - 3)^4} = \frac{(2 - y^2) - (7 - 5y) - (4 - y)}{(y - 3)^4}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$2 - y^2 - 7 + 5y - 4 + y = -y^2 + (5y + y) + (2 - 7 - 4) = -y^2 + 6y - 9$
Вынесем знак «–» за скобки, чтобы получить более удобное для анализа выражение:
$-y^2 + 6y - 9 = -(y^2 - 6y + 9)$
Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности: $y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y - 3)^2$.
Следовательно, числитель равен $-(y - 3)^2$.
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{-(y - 3)^2}{(y - 3)^4}$
Сократим дробь на $(y - 3)^2$. Это действие возможно, так как в ОДЗ $y \neq 3$, а значит $(y - 3)^2 \neq 0$.
$\frac{-(y - 3)^2}{(y - 3)^4} = -\frac{1}{(y - 3)^{4-2}} = -\frac{1}{(y - 3)^2}$

3. Анализ знака полученного выражения

Мы получили упрощенное выражение: $-\frac{1}{(y - 3)^2}$.
Рассмотрим знаменатель $(y - 3)^2$. Для любого допустимого значения $y$ (т.е. $y \neq 3$), разность $y - 3$ не будет равна нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда является положительным числом.
Значит, $(y - 3)^2 > 0$ при всех $y \in \text{ОДЗ}$.
Поскольку числитель $1$ положителен и знаменатель $(y - 3)^2$ также положителен, то сама дробь $\frac{1}{(y - 3)^2}$ всегда будет положительной.
Перед этой положительной дробью стоит знак «минус», следовательно, всё выражение $-\frac{1}{(y - 3)^2}$ всегда будет принимать отрицательные значения.
Таким образом, доказано, что исходное выражение при всех допустимых значениях переменной принимает отрицательные значения.
Ответ: Исходное выражение после упрощения равно $-\frac{1}{(y - 3)^2}$. Так как $(y-3)^2 > 0$ для всех допустимых значений $y$ ($y \neq 3$), то значение всего выражения $-\frac{1}{(y - 3)^2}$ всегда будет меньше нуля. Что и требовалось доказать.