Номер 3.27, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 3.27, страница 29.

Условие.

3.27 Докажите, что выражение $\frac{x^2 - 3}{(x - 2)^4} - \frac{5x - 1}{(x - 2)^4} + \frac{x + 6}{(x - 2)^4}$ при всех допустимых значениях переменной принимает положительные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что данное выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной, необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ), а затем упростить выражение и проанализировать его знак.

Исходное выражение: $$ \frac{x^2 - 3}{(x - 2)^4} - \frac{5x - 1}{(x - 2)^4} + \frac{x + 6}{(x - 2)^4} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель дроби не должен равняться нулю. $$ (x - 2)^4 \neq 0 $$ Это условие выполняется, если: $$ x - 2 \neq 0 $$ $$ x \neq 2 $$ Таким образом, выражение определено для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 2$.

Так как все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним действия с их числителями: $$ \frac{(x^2 - 3) - (5x - 1) + (x + 6)}{(x - 2)^4} $$ Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знаки, и приведём подобные слагаемые: $$ \frac{x^2 - 3 - 5x + 1 + x + 6}{(x - 2)^4} = \frac{x^2 + (-5x + x) + (-3 + 1 + 6)}{(x - 2)^4} = \frac{x^2 - 4x + 4}{(x - 2)^4} $$

Заметим, что числитель полученной дроби $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности $(x - 2)^2$. Подставим это в выражение: $$ \frac{(x - 2)^2}{(x - 2)^4} $$

Так как в области допустимых значений $x \neq 2$, то $(x - 2)^2 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(x - 2)^2$: $$ \frac{(x - 2)^2}{(x - 2)^4} = \frac{1}{(x - 2)^2} $$

Теперь проанализируем знак итогового выражения $\frac{1}{(x - 2)^2}$ для всех $x$ из ОДЗ.

• Числитель дроби равен 1, то есть является положительным числом.
• Знаменатель дроби $(x - 2)^2$ является квадратом выражения $x - 2$. Так как $x \neq 2$, то $x - 2 \neq 0$. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда строго положителен. Следовательно, $(x - 2)^2 > 0$ при всех допустимых значениях $x$.

В результате мы получили дробь, у которой и числитель, и знаменатель являются положительными числами при всех допустимых значениях переменной. Частное двух положительных чисел всегда положительно.

Это доказывает, что исходное выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной $x$.

Ответ: После упрощения выражение приводится к виду $\frac{1}{(x - 2)^2}$. При всех допустимых значениях переменной ($x \neq 2$), знаменатель $(x - 2)^2$ строго положителен (как квадрат ненулевого числа), а числитель 1 также положителен. Следовательно, всё выражение принимает только положительные значения.