Номер 4.44, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.44, страница 35.

Условие.

Упростите выражение:

4.44 a) $\frac{3m + 4}{9m^2 - 4} + \frac{3}{4 - 6m}$;

б) $\frac{x - 12a}{x^2 - 16a^2} - \frac{4a}{4ax - x^2}$;

в) $\frac{3}{2b - 6a} + \frac{3a + 2b}{9a^2 - b^2}$;

г) $\frac{c - 30d}{c^2 - 100d^2} - \frac{10d}{10cd - c^2}\text{.}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{3m+4}{9m^2 - 4} + \frac{3}{4 - 6m}$, сначала разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби, $9m^2 - 4$, является разностью квадратов: $9m^2 - 4 = (3m)^2 - 2^2 = (3m - 2)(3m + 2)$.
В знаменателе второй дроби, $4 - 6m$, вынесем общий множитель за скобки: $4 - 6m = 2(2 - 3m)$. Чтобы получить множитель, схожий с первой дробью, вынесем знак минус: $2(2 - 3m) = -2(3m - 2)$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{3m+4}{(3m - 2)(3m + 2)} + \frac{3}{-2(3m - 2)}$.
Знак минус из знаменателя второй дроби можно перенести перед всей дробью: $\frac{3m+4}{(3m - 2)(3m + 2)} - \frac{3}{2(3m - 2)}$.
Наименьший общий знаменатель для этих дробей равен $2(3m - 2)(3m + 2)$. Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — 2, для второй — $(3m+2)$.
$\frac{2(3m+4)}{2(3m - 2)(3m + 2)} - \frac{3(3m+2)}{2(3m - 2)(3m + 2)} = \frac{2(3m+4) - 3(3m+2)}{2(3m - 2)(3m + 2)}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим его:
$2(3m+4) - 3(3m+2) = 6m + 8 - 9m - 6 = -3m + 2$.
Вынесем минус за скобку в числителе: $-(3m - 2)$.
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $\frac{-(3m - 2)}{2(3m - 2)(3m + 2)}$.
Сократим общий множитель $(3m - 2)$ в числителе и знаменателе: $-\frac{1}{2(3m+2)}$.
Ответ: $-\frac{1}{2(3m+2)}$.

б) Упростим выражение $\frac{x-12a}{x^2 - 16a^2} - \frac{4a}{4ax - x^2}$.
Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби, $x^2 - 16a^2$, это разность квадратов: $x^2 - (4a)^2 = (x - 4a)(x + 4a)$.
В знаменателе второй дроби, $4ax - x^2$, вынесем за скобки общий множитель $x$: $x(4a - x)$. Вынесем знак минус, чтобы получить множитель $(x - 4a)$: $-x(x - 4a)$.
Выражение примет вид: $\frac{x-12a}{(x - 4a)(x + 4a)} - \frac{4a}{-x(x - 4a)}$.
Два знака минус подряд дают плюс: $\frac{x-12a}{(x - 4a)(x + 4a)} + \frac{4a}{x(x - 4a)}$.
Общий знаменатель: $x(x - 4a)(x + 4a)$. Приведем дроби к нему. Дополнительный множитель для первой дроби — $x$, для второй — $(x+4a)$.
$\frac{x(x-12a)}{x(x - 4a)(x + 4a)} + \frac{4a(x+4a)}{x(x - 4a)(x + 4a)} = \frac{x(x-12a) + 4a(x+4a)}{x(x - 4a)(x + 4a)}$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 12ax + 4ax + 16a^2 = x^2 - 8ax + 16a^2$.
Числитель является полным квадратом: $(x - 4a)^2$.
Подставим в дробь: $\frac{(x - 4a)^2}{x(x - 4a)(x + 4a)}$.
Сократим общий множитель $(x - 4a)$: $\frac{x-4a}{x(x+4a)}$.
Ответ: $\frac{x-4a}{x(x+4a)}$.

в) Упростим выражение $\frac{3}{2b - 6a} + \frac{3a + 2b}{9a^2 - b^2}$.
Разложим знаменатели на множители.
В первом знаменателе, $2b - 6a$, вынесем общий множитель $2$: $2(b - 3a) = -2(3a - b)$.
Второй знаменатель, $9a^2 - b^2$, является разностью квадратов: $(3a - b)(3a + b)$.
Подставим в исходное выражение: $\frac{3}{-2(3a - b)} + \frac{3a+2b}{(3a - b)(3a + b)} = -\frac{3}{2(3a - b)} + \frac{3a+2b}{(3a - b)(3a + b)}$.
Общий знаменатель равен $2(3a - b)(3a + b)$. Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(3a+b)$, для второй — $2$.
$\frac{-3(3a+b)}{2(3a - b)(3a + b)} + \frac{2(3a+2b)}{2(3a - b)(3a + b)} = \frac{-3(3a+b) + 2(3a+2b)}{2(3a - b)(3a + b)}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$-9a - 3b + 6a + 4b = -3a + b$.
Вынесем минус за скобку: $-(3a - b)$.
Подставим в дробь: $\frac{-(3a - b)}{2(3a - b)(3a + b)}$.
Сократим общий множитель $(3a - b)$: $-\frac{1}{2(3a+b)}$.
Ответ: $-\frac{1}{2(3a+b)}$.

г) Упростим выражение $\frac{c - 30d}{c^2 - 100d^2} - \frac{10d}{10cd - c^2}$.
Разложим знаменатели на множители.
Первый знаменатель, $c^2 - 100d^2$, это разность квадратов: $c^2 - (10d)^2 = (c - 10d)(c + 10d)$.
Во втором знаменателе, $10cd - c^2$, вынесем общий множитель $c$: $c(10d - c) = -c(c - 10d)$.
Подставим в выражение: $\frac{c - 30d}{(c - 10d)(c + 10d)} - \frac{10d}{-c(c - 10d)}$.
Два знака минус дают плюс: $\frac{c - 30d}{(c - 10d)(c + 10d)} + \frac{10d}{c(c - 10d)}$.
Общий знаменатель: $c(c - 10d)(c + 10d)$. Приведем дроби к нему. Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $(c+10d)$.
$\frac{c(c - 30d)}{c(c - 10d)(c + 10d)} + \frac{10d(c+10d)}{c(c - 10d)(c + 10d)} = \frac{c(c - 30d) + 10d(c+10d)}{c(c - 10d)(c + 10d)}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$c^2 - 30cd + 10cd + 100d^2 = c^2 - 20cd + 100d^2$.
Полученный числитель — это полный квадрат: $(c - 10d)^2$.
Подставим в дробь: $\frac{(c - 10d)^2}{c(c - 10d)(c + 10d)}$.
Сократим общий множитель $(c - 10d)$: $\frac{c-10d}{c(c+10d)}$.
Ответ: $\frac{c-10d}{c(c+10d)}$.